Побудова епюр у ламаних стрижнях
Побудова епюр у ламаних стрижнях
Систему, що складається з жорстко з’єднаних між собою стрижнів, осі яких
не лежать в одній площині, будемо називати ламаним стрижнем. При цьому
обмежимося розглядом тільки таких ламаних стрижнів, окремі елементи яких
стикуються один з одним під прямими кутами, а зовнішні навантаження
прикладені перпендикулярно до осей стрижнів (рис.17,а,б).
Рис.17
У загальному випадку навантаження в поперечних перерізах ламаних
стрижнів можуть виникати всі 6 відомих внутрішніх силових факторів:
поздовжня сила Nz, поперечні сили Qx, Qy, згинальні моменти Mx, My,
крутний момент Mкр(Mz). Дуже часто, особливо в машинобудівних
конструкціях, окремі елементи ламаного стрижня мають незначну довжину,
іноді порівнянну з розмірами поперечного переріза, тобто є “короткими”
стрижнями. У цьому випадку не тільки внутрішні моменти Mx, My, Mкр(Mz),
але й внутрішні сили (Nz, Qx, Qy) істотно впливають на
напружено-деформований стан конструкції, тому для ламаних стрижнів
будемо будувати епюри всіх шести внутрішніх силових факторів.
Для правильної побудови епюр тут обов’язковим є використання ковзної
системи координат, про яку вже говорилося при розгляді
плоско-просторових систем (див.1.17).
Приклад 12. Розглянемо найпростіший випадок навантаження ламаного
стрижня – двома взаємно перпендикулярними зосередженими силами,
прикладеними на вільному кінці (рис.18,а).
Вибираємо ковзну систему координат (рис.18,б). Вісь z завжди спрямована
уздовж поздовжньої осі тої або іншої ділянки ламаного стрижня, а при
переході з однієї ділянки на іншу координатні осі повертаються на 90
градусів, але ніколи не обертаються навколо осі z. Зручніше за все
починати вибір ковзної системи координат з горизонтальної ділянки
ламаного стрижня, що паралельна площини креслення або лежить у цій
площині (ділянка ВС на рис.18,б).
На цій ділянці (а вона аналогічна звичайній балці) вісь y направляється
вертикально (нагору або долілиць), вісь z – уздовж поздовжньої осі
ділянки, а вісь x – перпендикулярно площини yoz, після чого система
координат пересувається на інші ділянки ламаного стрижня.
Побудова епюри Nz.
Побудову цієї й всіх наступний епюр ведемо від вільного кінця. Правило
знаків для Nz залишається таким же, як і для інших систем, а саме:
розтяганню відповідає знак “+”, стиску – “-“.
Ділянка АВ має нульову поздовжню силу, тому що F1, F2 перпендикулярні
поздовжньої осі цієї ділянки:
Nz,1 = Nz,2 = 0.
Ділянка ВС розтягується силою F2:
Nz,3 = Nz,4 = F2.
Ділянка СД стискується силою F1:
Nz,5 = Nz,6 = – F1.
Побудова епюр Qx і Qy.
Поперечну силу Qx формують тільки ті сили, які паралельні осі x на даній
ділянці, а поперечну силу Qy – сили, паралельні осі y. Тут також
зберігається звичайне для Q правило знаків: Qx > 0 (Qy > 0), якщо
зовнішня сила, прикладена до відсіченої частини, прагне повернути
розглянутий переріз за годинниковою стрілкою й Qx < 0 (Qy < 0) – у
протилежному випадку. З обліком сказаного в характерних перерізах маємо:
Рис.18
Побудова епюр Mx, My.
2
4
6
8
D
F
pr–?? EIOOoue
4
8
F
?????????????????????????q? на всіх ділянках ламаного стрижня
розташовується в площині yoz, а епюра My – у площині xoz.
Почнемо з побудови епюри Mx. Тут нас буде цікавити вигин кожної ділянки
в площині yoz (див. ковзну систему координат на рис.18,б) і, відповідно,
плече кожної діючої на відсічену частину навантаження потрібно
вимірювати в цій площині.
На ділянці АВ площина yoz – вертикальна площина, паралельна площини
креслення. У цій площині стрижень АВ навантаження тільки силою F2, тому
що F1 перпендикулярна площини yoz :
Mx,1 = 0;
Mx,2 = F2·a.
На ділянці ВС площину yoz орієнтована так само, як і на ділянці АВ,
причому, всі крапки ВС однаково відстоять від лінії дії сили F2, тому:
Mx,3 = Mx,4 = F2·a.
На ділянці СД площина yoz – вертикальна площина, перпендикулярна площини
креслення. У цій площині стрижень СД навантаження тільки силою F1, тому
що F2 перпендикулярна yoz; всі крапки ділянки СД однаково відстоять (у
розглянутій площині) від лінії дії сили F1, отже:
Mx,5 = Mx,6 = F1·a.
Міркуючи аналогічним образом, будемо будувати епюру My, але тепер
потрібно розглядати вигин кожної ділянки ламаного стрижня в площині xoz.
На ділянці АВ площина xoz – вертикальна площина, перпендикулярна площини
креслення. У цій площині стрижень АВ навантаження тільки силою F1, тому
що F2 перпендикулярна площини xoz:
My,1 = 0;
My,2 = F1·a.
На ділянці ВС площина xoz – горизонтальна площина. У цій площині сила F2
прикладена уздовж поздовжньої осі стрижня ВР і до вигину привести не
може, тому:
My,3 = 0;
My,4 = F1·b.
На ділянці СД площина xoz – це так само горизонтальна площина. Тут до
вигину стрижня СД приводять обидві сили: плече сили F1 постійно й
дорівнює b, а плече сили F2 дорівнює нулю в перерізі 5 і дорівнює з у
перерізі 6:
My,5 = F1·b,
My,6 = F1·b + F2·c.
Іноді при побудові епюр згинальних моментів у ламаних стрижнях виникають
утруднення у визначенні участі того або іншого навантаження у вигині
стрижня або у визначенні плеча того або іншого навантаження. У цих
випадках завжди можна використовувати простий, але ефективний прийом:
спроектувати конструкцію й діючі навантаження на ту площину в якій
згинаєтся стрижень, переходячи тим самим від просторової конструкції до
її проекції, що дозволяє легко визначити плечі кожної з навантажень і їх
“внесок” у вигин розглянутої ділянки. Простежимо використання цього
прийому наприклад, при побудові епюри My на ділянці СД (рис.18,а,б). На
цій ділянці площина xoz, у якій потрібно розглядати вигин стрижня при
побудові My – горизонтальна площина, отже, для реалізації описуваного
прийому необхідно спроектувати конструкцію на горизонтальну площину,
тобто зобразити вид зверху (рис.19).
Рис.19
При цьому сила F2 буде видна спрямованої уздовж стрижня ВР, сила F1 –
перпендикулярно ВР, а стрижень ВА проектується в крапку. Тепер зовсім
очевидно, що всі крапки стрижня СД однаково відстоять від лінії дії сили
F1, що приводить до постійного моменту F1·b:
My,5 = F1·b,
My,6 = F1·b + F2·c.
В обох перерізах стислі праві волокна, тобто отримане той же результат,
що й раніше, але в більше наочному виді.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
