Конічні оболонки
Осесиметричні конічні оболонки
Застосуємо розв’язні рівняння (13.286) і (13.287) до конічної оболонки.
Координату s для конічної оболонки зручно відраховувати від вершини
конуса, тоді
, (13.293)
і рівняння приймають наступний вид:
(13.295)
або
(13.295a)
де
. З рівнянь (13.292) з урахуванням співвідношення (13.293) треба
(13.298)
Рішення системи рівнянь (13.294) і (13.295) можна представити у вигляді
суми загального рішення відповідної системи однорідних рівнянь і
частного рішення даної системи, тобто
(13.299)
Знайдемо частне рішення системи рівнянь (13.294) і (13.295) для деяких
окремих випадків навантаження.
На оболонку діє рівномірний внутрішній тиск p (рис.13.79, а).
Тоді
тобто
де k — невизначений множник.
і рівняння (13.294) приймає вид
звідки
б
д
в
Рис. 13.79. Окремі випадки навантаження
Отже, для конічної оболонки, навантаженої внутрішнім тиском:
(13.300)
Помітимо, що це рішення повністю збігається з рішенням, що дає
безмоментна теорія.
Конічна оболонка перебуває під дією розподіленого по окружності осьової
сили Р (рис. 13.79, б). Надходячи так само, як і в попередньому випадку,
знайдемо
, і частка рішення рівнянь дорівнює нулю, тобто
Оболонка навантажена силами власної ваги (рис. 13.79, г). Інтенсивність
поверхневого навантаження q і її складові р1 і р2 відповідно рівні:
Частне рішення розв’язних рівнянь для оболонки, замкнутої у вершині, має
вигляд
(13.302)
Якщо ж оболонка незамкнута, то до рішення рівнянь (13.302) варто додати
частне рішення рівнянь (13.301), що відповідає осьовій розтягувальній
силі Р, яка дорівнює вазі відсіченої верхньої частини:
рад/с (рис. 13.79, д). Інтенсивність інерційного навантаження в
довільній точці
Розклавши навантаження на нормальну і дотичну складові, одержимо
По формулі (13.293)
.
, тобто
З рівняння (13.295)
а з рівняння (13.294)
Отже
(13.303)
Перейдемо до визначення загального рішення системи однорідних рівнянь:
(13.304)
Ці два рівняння другого порядку із двома невідомими можна привести до
одного рівняння другого порядку щодо комплексної невідомої.
Для цього помножимо перше рівняння (13.304) на постійний множник а й
складемо із другим:
Перепишемо останнє рівняння в наступному виді:
Множник a підберемо так, щоб вираз у квадратних дужках двох останніх що
складаються були рівні між собою, тобто
звідки
тоді
і диференціальне рівняння прийме вид
— комплексна невідома функція;
.
Напишемо рівняння (13.305) у розгорнутому виді
або
(13.307)
Зробимо заміну незалежної змінної s на z відповідно до рівності
або
(13.308)
де x — дійсна функція від s, тобто
(13.309)
Тоді
Після переходу до змінної z диференціальне рівняння (13.307) приймає вид
(13.310)
Рівняння (13.310) являє собою окремий випадок диференційного рівняння
Бесселя:
(13.311)
де n — індекс рівняння Бесселя.
Рішення рівняння (13.302) виражається через бесселеві функції. Є кілька
різновидів цих функцій (функції Бесселя, Вебера, Ханкеля та ін.); для
більшості з них складені таблиці в широкому діапазоні зміни аргументу.
, які в цьому випадку лінійно незалежні.
. При дійсному х всі ці функції будуть дійсними. Таблиці цих функцій
приводяться в математичних довідниках.
Рішенням рівняння (13.302) є також лінійні комбінації зазначених вище
функцій, зокрема, функції Ханкеля:
функції Ханкеля — комплексні.
Його рішення може бути представлене в наступному виді:
— комплексні постійні інтегрування (тут знаки можуть бути обрані
довільно; у цьому випадку знаки взяті так, щоб остаточні формули були
більш зручними).
(дійсні функції дійсного аргументу x):
(13.313)
де для стислості прийнято:
можна відкинути, тому що це вплине тільки на величину постійних).
У результаті одержимо наступні вирази загального рішення системи
однорідних рівнянь (13.304):
(13.315)
Функції Томсона індексу 2, що входять у вирази (13.314) і (13.315),
можуть бути виражені через функції Томсона індексу 0. Якщо для функцій
індексів 0 прийняти позначення
??
W??
?
c
?Й??c
¤
(індекс 0 звичайно опускається), то залежності, що зв’язують функції
Томсона індексів 2 і 0, запишуться у вигляді
(13.316)
(штрихом позначені похідні по х).
Для функцій Томсона індексу 0 і їх похідних є таблиці.
При малих значеннях аргументу функції Томсона можна також обчислити,
розклавши їх у ряди, а при великих – користуючись їх асимптотичним
поданнями. Використовуючи зазначені асимптотичні подання, можна одержати
наступні наближені вирази функцій Томсона індексу 2 і їх похідних:
(13.317)
Ці вирази справедливі при великих значеннях аргументу, тобто при .
Приведемо вираз внутрішніх силових факторів і кута повороту нормалі для
конічної оболонки, отримані в результаті підсумовування загального
рішення системи однорідних рівнянь і частного рішення рівнянь із правою
частиною:
(13.318)
(13.319)
(13.320)
(13.321)
(штрихом позначені похідні по х).
При рішенні практичних задач корисно мати на увазі, що функції й , а
також їх похідні зі збільшенням х швидко зростають, у той час як функції
й і їх похідні, навпаки, швидко убувають. Якщо оболонка має досить
довгі утворюючі, то можна визначати постійні інтегрування роздільно на
кожному краї оболонки подібно тому, як це робиться при розрахунку довгих
циліндричних оболонок.
Конічну оболонку можна вважати довгою, якщо й . У цьому випадку при
визначенні напруг і деформацій біля верхнього краю (мал. 13.79) можна
вважати , а при визначенні напружень біля нижнього краю
Якщо ж , а , то конічну оболонку можна вважати довгою тільки при
складанних рівняннях граничних умов для нижнього краю. Це значить, що із
граничних умов при можна визначити постійні С1 і С2, вважаючи С3 = С4 =
0. Потім, знаючи С1 і С2, із граничних умов при x = x1 знайти З3 і З4.
Для оболонки, замкнутої у вершині, постійні С3 і С4 дорівнюють нулю (за
винятком случаю, коли до вершини прикладена зосереджена осьова сила).
Приклад. Визначити напруження в конічній кришці (рис. 13.80),
навантаженої рівномірним внутрішнім тиском р. Розміри кришки s1 = 1,55
см; s2 = 12,94 см; h = 0,4 см; = 75°; матеріал — сталь; E = 2·107 Н/ см
2, = 0,3.
Рис. 13.80. До прикладу 13.25
Рішення.
У цьому випадку параметр x визначимо по формулі (13.309):
При s = s1 = 1,55 см x1 = 3,7; при s = s2 = 12,94 см x2 = 10,7.
Частне рішення розв’язних рівнянь знайдемо по формулах (13.300). З
огляду на те, що тиск діє по всій поверхні, починаючи від центра, s0
варто покласти рівним нулю, тоді
Запишемо граничні умови, вважаючи фланець і центральну бобишку абсолютно
жорсткими:
при s = s1 s = s1
при s = s2 s = s2 .
З першої і третьої умов на підставі рівняння (13.319) виходить:
Дві інших умови представимо в наступному виді:
або після підстановки виразів Tt і Tm відповідно до формул (13.320):
Після підстановки значень функцій Томсона, а також величин рівняння
граничних умов приймають вид
Рішення цієї системи рівнянь дає наступні значення постійних:
Завдання визначення постійних можна в цьому випадку спростити, мається
на увазі, що функції ker2 x і kei2 x швидко убувають і при x = 10,7
приймають досить малі значення. Відкинувши в другому й у четвертому
рівняннях члени, що містять ІЗ3 і З4, одержимо два рівняння із двома
невідомими:
з яких знайдемо
Підставивши ці значення в перше й третє рівняння й вирішивши їх,
знайдемо інші дві постійні:
Тепер неважко по формулах (13.320) і (13.321) обчислити внутрішні силові
фактори.
На рис.13.81 наведені епюри по довжині утворюючої. Найбільші напруження
виникають у точках, розташованих на внутрішній поверхні у зовнішнього
краю:
Рис. 13.81. Епюри по довжині утворюючої
У середині утворюючої при напруження мають наступні значення:
Приклад 13.26. Конічна оболонка навантажена крайовими навантаженнями за
схемою, наведеної на рис. 13.9. Дано: s1 = 100 мм; s2 = 300 мм; h = 0,5
см; = 60°. Розрахунки виконаємо двома способами: за допомогою таблиць
функцій Томсона та по асимптотичним формулах (13.317).
Рис. 13.82. До прикладу 13.26
Рішення.
Насамперед, по формулі (13.309) обчислимо параметр для нижнього і
верхнього края:
Через те, що утворюючої даної оболонки досить довгі, напружений стан
біля нижнього краю можна розглядати незалежно від граничних умов на
верхньому краї.
Вважаючи у вираженнях (13.318) і (13.319) С3 = С4 =0 і з огляду на те,
що й при заданому крайовому навантаженні дорівнюють нулю, для області
біля нижнього краю одержимо
Користуючись таблицями, знаходимо значення функцій Томсона індексу 0 при
x2 = 37,0 і перераховуємо на функції , і їх похідні:
Граничні умови при :
або
Тут враховано, що
Підставивши числові значення відомих величин і вирішивши два рівняння із
двома невідомими, знайдемо
При x = x2
Для виявлення характеру зміни силових факторів по довжині твірної варто
задатися рядом значень s, обчислити відповідні значення х і по таблицях
знайти Оскільки C1 і C2 уже відомі, по формулах (13.320) і (13.321)
неважко обчислити силові фактори.
Одержимо рішення даної задачі за допомогою асимптотичних формул
(13.317). Підставивши в ці формули x2 = 37,0, знайдемо
Отримані значення відрізняються від значень, обчислених за допомогою
таблиць, тільки в третьому знаку.
Помітимо, що дана задача більш просто може бути вирішена за допомогою
наближеного методу Штаєрмана – Геккелєра.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
