Напруги в тонкостінних циліндричних оболонках при нерівномірному
нагріванні
Температурні напруження в оболонці можуть виникати в наступних випадках:
при нерівномірному нагріванні; при стисненні температурної деформації
накладеними на оболонку зв’язками; при нагріванні багатошарової
оболонки, складеної з різнорідних матеріалів. Однак не всяке
нерівномірне нагрівання викликає температурні напруження. Так,
наприклад, якщо температура буде лінійно змінюватися по довжині
циліндричної оболонки, а по окружності і по товщині буде постійною, то
серединна поверхня із циліндричної перетвориться в кінцеву, напруження ж
при цьому не виникнуть.
Розглянута теорія температурних напруженнях у циліндричних оболонках
заснована на наступних допущеннях.
1. Матеріал оболонки припускають однорідним, а нагрівання оболонки
осесиметричне.
вважаються постійними.
на зовнішній поверхні:
–– середня температура стінки;
— перепад температур.
Крім перерахованих допущень, використовують загальні гіпотези теорії
оболонок Кірхгофа – Лява, а також припущення про малість переміщень у
порівнянні з товщиною й про малість товщини оболонки в порівнянні з її
радіусом.
Вивід основного диференційного рівняння розглянутої задачі аналогічний
виводу, викладеному в п. 13.2.1.
Відмінність складається тільки в тім, що в рівняння закону Гука
необхідно додати додаткові температурні доданки. У результаті замість
залежностей (13.90) – (13.97) одержимо наступні:
. (13.168)
Відповідно вираз поперечної сили (13.101) і основне диференційне
рівняння задачі (13.102) приймають вид
. (13.170)
Для даної оболонки рішенням рівняння (13.170) буде вираз (13.112), а для
короткої – вираз (13.120).
залежить від заданого поля температур і від навантаження. Якщо
температурне поле й навантаження такі, що
то частним рішенням буде
. (13.171)
Методика визначення постійних інтегрування нічим не відрізняється від
розглянутої в п. 13.2.2. Деяке спрощення можуть бути досягнуті шляхом
поділу заданої задачі на дві. У першій задачі розглядають тільки
температурні напруження й деформації, при цьому знаходять тільки частне
рішення (постійні інтегрування вважають рівними нулю). У другої задачі
враховують тільки зовнішній силовий вплив. Постійні інтегрування
вибирають так, щоб сума рішень першої й другої задачі задовольняла
граничним умовам.
(рис. 13.49).
Рис. 13.49. До прикладу 13.17
????????????????
????????????H?H??????
thI
чином, переміщення точок серединної поверхні й окружне зусилля
відповідно до залежності (13.168), дорівнюють нулю. Однак згинальні
моменти в цьому випадку не дорівнюють нулю. Відповідно до залежностей
(13.167):
. (13.172)
Особливість цього стану полягає в тому, що, незважаючи на наявність
згинальних моментів, кривизна серединної поверхні не змінюється (зміну
кривизни, викликана нерівномірним нагріванням, компенсується зміною
кривизни, створюваним згинальними моментами).
Величина напружень у зовнішніх і внутрішніх точках оболонки
;
.
Епюра температурних напружень по товщині стінки для розглянутого випадку
показана на рис. 13.23.
Приклад 13.18. Циліндрична, оболонка зі східчасто змінною товщиною (рис.
13.50, а) нагріта по внутрішній поверхні до температури , а по зовнішній
до температури . По довжині оболонки температура постійна. Дано: ; ; ;
матеріал — сталь; ; ; .
Заданий стан можна представити як рівномірне нагрівання до температури
плюс перепад температур .
а б в
Рис. 13.50. До прикладу 13.18
Рішення.
Так як рівномірний нагрів напруження не викликає, то його надалі не
враховуємо.
Розріжемо оболонку на дві частини й представимо заданий стан як суму
двох станів, зображених на рис. 13.50, б і в. У стані, показаному на
рис. 13.50, б, обидві частини оболонки нагріті із заданим перепадом
температур і додатково навантажені по краях моментами:
на першій ділянці
і на другій ділянці
.
Величина і напрямок цих моментів обрано відповідно до залежності
(13.172); у цьому випадку кожна з ділянок розглядається як частина
відповідної нескінченно довгої оболонки, у якій ніяких переміщень не
виникає.
У стані, показаному на рис. 13.50, в, оболонка навантажена тільки
крайовими навантаженнями в місці розрізу, причому й — силові фактори,
які фактично діють у заданій оболонці, а й додані, щоб компенсувати
моменти, прикладені в стані, зображеному на рис. 13.50, б.
Для визначення силових факторів і досить розглянути тільки стан,
показаний на рис. 13.50, в. Запишемо умови спільності деформацій частин
оболонки; останні полягають у тому, що радіальні переміщення й кути
повороту нормалі на краях повинні бути однакові: .
В останній рівності взятий знак мінус, тому що напрямку осі для першої
і другої частин оболонки — протилежні.
Для визначення переміщень використовуємо залежності (13.114) і (13.115).
Для першої (лівої) частини оболонки при , ,
;
; .
Аналогічно для другої частини при , , ;
;
Підставивши ці вираження в рівняння сполучення ділянок, і з огляду на
те, що
;
;
; ;
; ;
одержимо два рівняння:
;
,
вирішивши які, знайдемо
; .
Далі по формулах (13.114) – (13.118) обчислимо переміщення і внутрішні
силові фактори в стані, представленому на рис. 13.50, в. Склавши їх з
відповідними величинами стану, зображеного на рис. 13.50, б, одержимо
значення силових факторів і переміщень для заданого стану (рис. 13.51).
Рис. 13.51. Значення силових факторів і переміщень
Найбільш напружена точка розташована на зовнішній поверхні більше тонкої
частини, біля східчастого переходу. Зусилля, згинальні моменти і
напруження в цьому місці мають наступні значення:
; ; ;
;
Удалині від східчастого переходу в циліндрі виникають згинальні моменти
й , яким відповідають напруження:
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
