Наближені методи розрахунку пластин
Наближені методи рішення задач знаходять в інженерній практиці широке
застосування. У цьому параграфі ці методи викладені стосовно до
розрахунку пластин, однак вони мають більш загальне значення й
застосовуються також для розрахунку оболонок і інших тіл складної форми.
Часто за допомогою наближених методів вдається одержати рішення таких
задач, вирішити які іншими методами неможливо.
Існує кілька різних методів. Багато які з них засновані на принципі
мінімуму енергії або на принципі можливих переміщень (варіаційні
принципи). Обидва ці принципи встановлюють необхідні умови, при яких
механічна система перебуває в рівновазі.
Відповідно до першого принципу енергія системи, що перебуває в стані
стійкої рівноваги, мінімальна. Пояснимо цей принцип на прикладі
найпростішої пружної системи, зображеної на рис. 12.47.
Рис. 12.47. Найпростіша пружна система
. Ця частина енергії системи називається потенціалом навантаження.
У той же час при згині стрижня в ньому накопичується потенційна енергія
деформації. Остання пропорційна квадрату прогину
так як сила пружності лінійно залежить від прогину.
Повна енергія системи складається з потенціалу навантаження і
потенційної енергії деформації, тобто
.
повна енергія досягає мінімуму.
від величини прогину
Це значення прогину і є дійсним значення, що відповідає положенню
статичної рівноваги. При відхиленні системи із цього положення в
будь-яке інше їй необхідно повідомити деяку додаткову енергію, а це, як
відомо, і є ознака стійкої рівноваги.
Умова мінімуму функції математично може бути представлена як умова
рівності нулю похідної цієї функції. Отже, принцип мінімуму енергії
можна сформулювати інакше: механічна система перебуває в стані
рівноваги, якщо похідна від сповненої енергії системи по варьіруємому
параметру дорівнює нулю, тобто
. (12.209)
Якщо ж таких параметрів небагато, то
прогину (на малюнку показано штрихпунктирною лінією).
. Отже, сума робіт всіх сил на можливому переміщенні дорівнює нулю.
тут надалі використовується як знак варіації.
N
4
??]????????????H?H?????Щоб застосувати принцип мінімуму енергії до
розрахунку пластин, необхідно мати вираження потенційної енергії
деформації пластини.
Останнє можна одержати, обчисливши роботу згинаючих і крутних моментів,
на відповідних кутових переміщеннях. Для нескінченно малого елемента
(рис. 12.126) робота моментів
Роботою поперечних сил і через її малість можна зневажити. Множник у
кожному доданку, як звичайно, ураховує пропорційність між навантаженням
і деформацією.
Підставивши в останню рівність значення моментів (12.131) – (12.133), а
також значення кутів повороту нормалі
одержимо величину потенційної енергії деформації в нескінченно малому
елементу об’єму
.
Інтегруючи це вираження по площі пластини, знайдемо повну потенційну
енергію деформації
. (12.210)
Аналогічно можна одержати вираз потенційної енергії деформації в
полярній системі координат
(12.211)
У випадку осесиметричної деформації круглої пластини похідні по варто
дорівняти нулю, тоді
(12.211а)
Вираз (12.210) — (12.211) справедливі також для пластин змінної товщини;
у цьому випадку при обчисленні інтеграла варто враховувати змінність
згинальної жорсткості по площині пластини.
Варто мати на увазі, що при жорсткому закладенні країв пластини інтеграл
,
вхідний у вираз (12.210), звертається в нуль. Цей інтеграл також
дорівнює нулю і для шарнірно обпертої пластини за умови, що її контур
обкреслений прямими лініями. Сказане неважко довести, перетворивши
інтеграл по поверхні в інтеграл по контуру пластини.
Напишемо вираз потенціалу зовнішнього навантаження. При дії на пластину
розподіленого по поверхні тиску .
(12.212)
або в полярних координатах
. (12.213)
При дії зосереджених сил, нормальних до поверхні, і моментів
, (12.214)
де
— прогин у точці додатка -ї сили;
— кут повороту нормалі в точці додатка -го моменту в площині дії цього
моменту;
і — числа сил і моментів.
Повна енергія системи дорівнює сумі потенційної енергії деформації й
потенціалу навантаження
(12.215)
Оскільки й виражені через , повна енергія системи також залежить від
виду функції . Ця остання повинна бути визначена так, щоб вона
задовольняла граничним умовам на контуру й щоб енергія системи була
мінімальною. Тому що енергія системи виражається деяким інтегралом по
поверхні, то задача зводиться до відшукання функції , що надає інтегралу
мінімальне значення. Рішення цієї задачі методами варіаційного
обчислення приводить до диференціального рівняння щодо функції , що
збігає з рівнянням (12.139), а також до рівнянь граничних умов, що
збігають із рівняннями (12.140) – (12.143).
Однак точне рішення задачі одержати не завжди можливо й тому на практиці
широко застосовують наближені методи, засновані або на наближеному
поданні самої шуканої функції, або на наближеному чисельному рішенні
основного диференціального рівняння.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
