.

Наближене обчислення визначених інтегралів (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 842
Скачать документ

Наближене обчислення визначених інтегралів

До обчислень визначених інтегралів зводяться багато практичних задач фізики, хімії, екології, механіки й інших природничих наук. На практиці формулою Ньютона-Лейбніца не завжди вдається скористатися. У цьому випадку використовуються методи чисельного інтегрування. Вони засновані на наступних міркуваннях: з геометричної точки зору визначений інтеграл  являє собою площу криволінійної трапеції. Ідея методів чисельного інтегрування зводиться до розбивки інтервалу  на безліч менших інтервалів і знаходженню шуканої площі як сукупності елементарних площ, отриманих на кожному частинному проміжку розбивки. Залежно від використаної апроксимації виходять різні формули чисельного інтегрування, що мають різну точність. Розглянемо методи трапецій і Сімпсона (парабол).

Метод трапецій

Тут використовується лінійна апроксимація, тобто графік функції  представляється у вигляді ламаної, з’єднуючої точки . Формула трапецій при постійному кроці , де n – число ділянок, має вигляд

(5.8)

У МАТLAB дану формулу реалізує програма .

Метод Сімпсона

Якщо підінтегральну функцію замінити параболою, то формула Сімпсона з постійним кроком інтегрування буде у вигляді

(5.9)

У МАТLAB формула Сімпсона реалізується програмою quad. Підінтегральна функція може задаватися за допомогою дескриптора @, тоді вона програмується у файлі-функції, або за допомогою апострофів, тоді вона записується в самій програмі quad. Точність обчислення інтегралів за замовчуванням прийнята рівною .

Приклад 5.6. Обчислити й вивести на друк по методах трапецій і Сімпсона значення інтеграла .

Протокол програми методу трапецій

Результат обчислень

Протокол програми методу Сімпсона

Результат обчислень

Точне значення інтеграла дорівнює 0.785398163. Як видно із приклада 5.6 отримані результати є практично точними, а самі протоколи досить прості.

Варіанти завдань. Обчислити й вивести на друк значення визначеного інтеграла методами трапецій і Сімпсона, дані взяти з табл. 5.11.

Таблиця 5.11

 Підінтегральна функціяІнтервал інтегруванняТочність обчислень інтеграла
10.001
20.002
30.0001
40.003
50.0015
60.002
70.001
80.001
90.0005
100.003
110.001
120.0025
130.001
140.002
150.001
160.0015
170.002
180.001
190.0006
200.0016
210.002
220.0014
230.002
240.0011
250.0023
260.0015
270.001
280.002
290.0013
300.0025

 

Чисельний розв’язок нелінійних рівнянь

Задача знаходження коренів нелінійних рівнянь зустрічається в різних областях науково-технічних досліджень. Проблема формулюється в такий спосіб. Нехай задана безперервна функція  й потрібно знайти корінь рівняння

.

Будемо припускати, що є інтервал зміни , на якому необхідно дослідити функцію  й знайти значення х0, при якому  дорівнює або досить мало відрізняється від нуля.

Дана задача в системі MATLAB може бути розв’язана в такий спосіб. Спочатку необхідно побудувати графік функції  на заданому інтервалі й переконатися в існуванні кореня або декількох коренів. Потім застосувати програми пошуку коренів. Якщо існує один корінь і графік  перетинає вісь ОХ, то можна застосувати програму fzero. Якщо  має більше одного кореня й може стосуватися й перетинати вісь ОХ, то варто застосувати програму fsolve з пакета Optimization Toolbox, що розв’язує задачу методом найменших квадратів. Програма fzero використовує відомі чисельні методи: розподіл відрізка навпіл, січною й зворотної квадратичної інтерполяції.

Приклад 5.7. Знайти корінь нелінійного рівняння  на інтервалі .

Протокол програми

% Будуємо графік заданої функції

З’являється вікно із графіком функції  (рис. 5.5), з якого видно, що корінь функції на заданому інтервалі існує. Для точного визначення кореня застосовуємо програми fzero і fsolve.

Рис. 5.5

Результат розв’язку

Результат розв’язку

Варіанти завдань. Побудувати графік і знайти корінь нелінійного рівняння. Дані взяти з табл. 5.12.

Таблиця 5.12

 Рівняння f(х) = 0Відрізок [ав]
12
1[1.0; ]
2[2.0; 3.0]
3[8.0; 9.0]
4[0.5; 1.0]
5[0.0; 1.0]
6[3.0; 3.2]
7[0.0; 1.0]
8[0.0; 0.2]
9[0.8; 1.0]
10[2.6; 3.0]
11[1.0; 1.5]
12[1.0; 2.0]
13[0.0; 1.0]
14[0.0; 1.0]
15[3.0; 4.0]
16[1.0; 1.2]
17[1.0; 2.0]
18[0.0; 1.0]
19[-0.2; -0.1]
20[0.1; 0.9]
21[1.0; 1.4]
22[3.0; 4.0]
23[0.0; 1.5]
24[0.0; 1.0]
25[0.1; 1.0]
26[0.4; 0.6]
27[3.0; 4.0]
28[4.0; 5.0]
29[2.0; 3.0]
30[0.0; 0.48]

 

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019