Наближене обчислення визначених інтегралів (реферат)

Наближене обчислення визначених інтегралів

До обчислень визначених інтегралів зводяться багато практичних задач фізики, хімії, екології, механіки й інших природничих наук. На практиці формулою Ньютона-Лейбніца не завжди вдається скористатися. У цьому випадку використовуються методи чисельного інтегрування. Вони засновані на наступних міркуваннях: з геометричної точки зору визначений інтеграл являє собою площу криволінійної трапеції. Ідея методів чисельного інтегрування зводиться до розбивки інтервалу на безліч менших інтервалів і знаходженню шуканої площі як сукупності елементарних площ, отриманих на кожному частинному проміжку розбивки. Залежно від використаної апроксимації виходять різні формули чисельного інтегрування, що мають різну точність. Розглянемо методи трапецій і Сімпсона (парабол).

Метод трапецій

Тут використовується лінійна апроксимація, тобто графік функції представляється у вигляді ламаної, з’єднуючої точки . Формула трапецій при постійному кроці , де n – число ділянок, має вигляд

(5.8)

У МАТLAB дану формулу реалізує програма .

Метод Сімпсона

Якщо підінтегральну функцію замінити параболою, то формула Сімпсона з постійним кроком інтегрування буде у вигляді

(5.9)

У МАТLAB формула Сімпсона реалізується програмою quad. Підінтегральна функція може задаватися за допомогою дескриптора @, тоді вона програмується у файлі-функції, або за допомогою апострофів, тоді вона записується в самій програмі quad. Точність обчислення інтегралів за замовчуванням прийнята рівною .

Приклад 5.6. Обчислити й вивести на друк по методах трапецій і Сімпсона значення інтеграла .

Протокол програми методу трапецій

Результат обчислень

Протокол програми методу Сімпсона

Результат обчислень

Точне значення інтеграла дорівнює 0.785398163. Як видно із приклада 5.6 отримані результати є практично точними, а самі протоколи досить прості.

Варіанти завдань. Обчислити й вивести на друк значення визначеного інтеграла методами трапецій і Сімпсона, дані взяти з табл. 5.11.

Таблиця 5.11

	Підінтегральна функція	Інтервал інтегрування	Точність обчислень інтеграла
1			0.001
2			0.002
3			0.0001
4			0.003
5			0.0015
6			0.002
7			0.001
8			0.001
9			0.0005
10				0.003
11				0.001
12				0.0025
13				0.001
14				0.002
15				0.001
16				0.0015
17				0.002
18				0.001
19				0.0006
20				0.0016
21				0.002
22				0.0014
23				0.002
24				0.0011
25				0.0023
26				0.0015
27				0.001
28				0.002
29				0.0013
30				0.0025

Чисельний розв’язок нелінійних рівнянь

Задача знаходження коренів нелінійних рівнянь зустрічається в різних областях науково-технічних досліджень. Проблема формулюється в такий спосіб. Нехай задана безперервна функція й потрібно знайти корінь рівняння

Будемо припускати, що є інтервал зміни , на якому необхідно дослідити функцію й знайти значення х₀, при якому дорівнює або досить мало відрізняється від нуля.

Дана задача в системі MATLAB може бути розв’язана в такий спосіб. Спочатку необхідно побудувати графік функції на заданому інтервалі й переконатися в існуванні кореня або декількох коренів. Потім застосувати програми пошуку коренів. Якщо існує один корінь і графік перетинає вісь ОХ, то можна застосувати програму fzero. Якщо має більше одного кореня й може стосуватися й перетинати вісь ОХ, то варто застосувати програму fsolve з пакета Optimization Toolbox, що розв’язує задачу методом найменших квадратів. Програма fzero використовує відомі чисельні методи: розподіл відрізка навпіл, січною й зворотної квадратичної інтерполяції.

Приклад 5.7. Знайти корінь нелінійного рівняння на інтервалі .

Протокол програми

% Будуємо графік заданої функції

З’являється вікно із графіком функції (рис. 5.5), з якого видно, що корінь функції на заданому інтервалі існує. Для точного визначення кореня застосовуємо програми fzero і fsolve.

Рис. 5.5

Результат розв’язку

Варіанти завдань. Побудувати графік і знайти корінь нелінійного рівняння. Дані взяти з табл. 5.12.

Таблиця 5.12

	Рівняння f(х) = 0	Відрізок [а; в]
1		2
1		[1.0; ]
2		[2.0; 3.0]
3		[8.0; 9.0]
4		[0.5; 1.0]
5		[0.0; 1.0]
6		[3.0; 3.2]
7		[0.0; 1.0]
8		[0.0; 0.2]
9		[0.8; 1.0]
10		[2.6; 3.0]
11		[1.0; 1.5]
12		[1.0; 2.0]
13		[0.0; 1.0]
14		[0.0; 1.0]
15		[3.0; 4.0]
16		[1.0; 1.2]
17		[1.0; 2.0]
18		[0.0; 1.0]
19		[-0.2; -0.1]
20		[0.1; 0.9]
21		[1.0; 1.4]
22		[3.0; 4.0]
23		[0.0; 1.5]
24		[0.0; 1.0]
25		[0.1; 1.0]
26		[0.4; 0.6]
27		[3.0; 4.0]
28		[4.0; 5.0]
29		[2.0; 3.0]
30		[0.0; 0.48]

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter