Класифікація коливань. Методи одержання диференційних рівнянь руху
Все різноманіття навколишніх нас коливальних процесів можна
класифікувати за рядом характерних ознак.
Відповідно до закону, по якому розмір, що характеризує коливальний
процес, змінюється в часі, відрізняють періодичні і неперіодичні
коливання.
Періодичні коливання підкоряються закону:
f(t + T)=f(t),
де розмір T називається періодом коливань. Крім того, є широкий
проміжний клас майже періодичних коливань, для яких:
,
– як завгодно малий розмір.
Найпростішими й у той же час такими, що найбільш часто зустрічаються, є
гармонійні коливання (мал.5), що описуються рівнянням:
,
– зрушення фази. Величина, зворотня періоду коливань, називається
секундною частотою і вимірюється в герцах:
.
1 Гц відповідає одному циклу зміни за 1 секунду.
Мал. 5
Часто зустрічаються періодичні, але негармонійні коливання (мал.6). Їх
завжди можна розглядати як суму простих гармонійних коливань. Процес
розкладання періодичних негармонійних коливань на прості гармонійні
складові (гармоніки) називається гармонійним аналізом і виконується за
допомогою рядів Фур’є.
Мал. 6
Крім того, часто зустрічаються наступні види коливань: загасаючі
(мал.7,а), наростаючі (мал.7,б), биття (мал.7,в).
Мал. 7
Всі розглянуті (мал.7) види коливань відбуваються з постійною частотою
при монотонній зміні амплітуди. Можливі також коливання із змінною
частотою і постійною амплітудою або змінними частотою й амплітудою.
Коливання можуть відбуватися щодо нульового відлікового рівня, зміщеного
і змінного.
По способу порушення відрізняють 4 типи коливань: вільні, змушені,
параметричні й автоколивання.
Вільними (або власними) називаються коливання, що виникають в
ізольованій системі внаслідок зовнішнього порушення, що викликають в
точок системи початкове відхилення від положення рівноваги, і
продовжуються потім завдяки наявності пружних внутрішніх сил, що
відновлюють рівновагу.
Змушеними називаються коливання упругої системи, що відбуваються при дії
на неї протягом усього процесу коливань зовнішніх змінних вимушуючих
сил.
Параметричними називаються такі коливання упругої системи, у процесі
яких періодично змінюються фізичні параметри системи – розміри, що
характеризують її масу або жорсткість.
Автоколиваннями упругої системи називаються незатухаючі коливання,
підтримувані такими зовнішніми силами, характер взаємодії яких
визначається самим коливальним процесом.
&
„
?
I
?
O
O
Oe
Ue
TH
<>Ia:
< >
@
B
x
?
Oe
><
B
x
z
Oe
O
u
ue
??
Класифікацію коливань проводять також по виду деформації, що виникає в
елементах коливної системи. Зокрема, стосовно стрижневих систем
розрізняють подовжні, поперечні (згинальні) і крутильні коливання.
Методи одержання диференційних рівнянь руху
Можна виділити 3 способи упорядкування рівнянь руху. Найбільш загальною
формою таких рівнянь є рівняння Лагранжа:
( i = 1,2,… ,n),
(1)
– узагальнена сила; n – число ступенів свободи системи.
Для системи з кінцевим числом ступенів свободи з рівнянь (1) можна
одержати важливі співвідношення місцевого характеру, що зручні при
дослідженні коливальних систем визначених типів.
виражаються через потенційну енергію системи П в вигляді
( i = 1,2,… ,n).
(2)
При цьому рівняння Лагранжа набирають вигляду
( i = 1,2,… ,n).
(3)
Прямий спосіб. По цьому способі із системи (мал.8,а) в думці виділяються
зосереджені маси, і кожна з них розглядається як вільна матеріальна
точка, що знаходиться під дією позиційних відновлюючих сил, що
виражаються через обрані узагальнені координати (мал.8,б); для кожної
точки записується відповідне диференційне рівняння руху.
Зворотний спосіб. Тут після відділення зосереджених мас розглядається
безінерційна система жорстких і пружних зв’язків (так званий “безмасовий
кістяк”), що знаходиться під дією кінетичних реакцій (сил інерції)
відділених частин системи, причому ці сили інерції виражаються через
узагальнені прискорення (мал.8,в). Для безмасового (безінерційного)
кістяка системи формуються статичні співвідношення.
При аналізі вільних коливань деяких консервативних систем з одним
ступенем свободи зручно застосовувати енергетичний спосіб, що заснований
на законі зберігання енергії, відповідно до якого сума кінетичної і
потенційної енергій системи в процесі коливань залишається незмінною.
Мал. 8
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
