Реферат на тему:
Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих
задач астрофізики
КОСМІЧНА ФІЗИКА
Завданням цієї галузі науки є вивчення властивостей небесних тіл,
міжпланетного, міжзоряного і міжгалактичного середовища на основі знань
про найголовніші фізичні та хімічні властивості матерії. Один з її
підрозділів — астрофізика займається встановленням у вигляді формул
певних співвідношень між окремими параметрами зір і туманностей.
Наприклад, визначають температуру надр зорі, якщо її маса і радіус
відомі тощо. Результати знаходять шляхом розв’язування (за допомогою
ЕОМ) систем складних диференціальних рівнянь. Проте загальні
співвідношення між згаданими параметрами можна дістати на підставі
теорії розмірностей. Деякі з таких задач космічної фізики ми і
розглянемо у цьому розділі.
КРИТЕРІЙ ДЖИНСА
За сучасними уявленнями зорі формуються з уламків газопилових хмар. Ще в
1902 р. Дж. Джинс довів, що нескінченно протяжна хмара не може
перебувати у зрівноваженому стані дуже довго. Адже у міжзоряному
середовищі неперервно виникають і поширюються найрізноманітніші хвильові
рухи, зумовлені зіткненнями газопилових хмар. Відомо ж, що коли через
певне середовище проходить збурення (звукова хвиля), то в ньому
утворюються згущення і розрідження.
— відповідна їй швидкість звуку в цьому середовищі (? — відношення
питомих теплоємностей, В — універсальна газова стала, ? — молекулярна
маса). Джинс установив, що коли довжина хвилі ? звукового збурення менша
деякого критичного значення ?j, причому (G — гравітаційна стала)
(1)
) і стає протозорею, а пізніше — зорею у повному значенні цього слова.
безрозмірних величин (“комплексів”), кожний з яких і буде з точністю
до сталого коефіцієнта визначати певний закон природи. Розглянемо кілька
прикладів, починаючи від критерію Джинса.
Як бачимо, задача про гравітаційну нестійкість туманності
характеризується параметрами ?, G, ?, а, розмірності яких можна записати
так:
– шукані показники степенів. Підставляючи розмірності кожного з
параметрів, запишемо це співвідношення так:
(2)
Оскільки П — величина безрозмірна, то прирівнявши показники степенів до
нуля, дістанемо систему алгебраїчних рівнянь
і їх розв’язки:
Розв’язавши його відносно критичної довжини, знаходимо:
(3)
Як бачимо, теорія розмірностей дає змогу дістати залежність між
параметрами задачі з точністю до множника, величина якого часто близька
до одиниці.
, тобто здобутий раніше (з точністю до сталої величини) вираз (3).
ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ ЗОРІ
На окремих етапах розвитку зір певну роль відіграє таке джерело енергії,
як гравітаційне стискування зорі, що супроводжується “звільненням
потенціальної енергії”. Залежність потенціальної енергії зорі від її
параметрів – маси M і радіуса R можна знайти наближено.
рівне
, знаходимо
Проте це ще не вся робота, яку можна здійснити над половинками зорі.
По-перше, їх можна розсунути на більшу відстань, як кажуть, “на
нескінченність”. По-друге, кожну з цих половинок у свою чергу можна
поділити пополам і також взаємно їх віддалити. Склавши всю виконану
роботу над “розпорошенням” зорі, дістаємо формулу:
(1)
Дж.
Під час стискування газової кулі (якщо тільки зорі утворюються з
фрагментів газопилових хмар) маємо обернену картину: енергія не
витрачається, а виділяється. І, як показує аналіз, майже половина її при
цьому йде на розігрівання зорі, друга половина висвічується.
Формулу для величини потенціальної енергії зорі можна знайти і за
допомогою теорії розмірностей. Задача характеризується чотирма
параметрами з розмірностями:
. Або
Звідси дістаємо систему алгебраїчних рінянь для визначення показників
степенів
та їх розв’язки x= –1, y= –2, z= 1.
Розв’язавши його відносно потенціальної енергії, маємо:
(1′)
.
. Приріст потенціальної енергії за рахунок випадання на Сонце речовини
знаходимо диференціюванням виразу для U по M при сталому значенні R:
, то
і приріст маси dM визначається так:
(2)
), знаходимо, що dM=2,2?1022 кг, тобто 0,0034 маси Землі за рік, або
одна маса Землі за кожні 294 роки.
, а період її обертання
(3)
Щоб знайти приріст періоду dT, формулу (3) необхідно продиференціювати
по М:
(4)
за рік. Оскільки половина звільненої енергії витрачається на
розігрівання надр Сонця, то величини dM і dТ потрібно подвоїти.
і
(5)
Після підстановки числових значень маємо: dR = 15 м. Оскільки, як уже
згадувалося, половина звільненої енергії витрачається на розігрівання
зорі, це число подвоюємо.
І, нарешті, знайдемо час, протягом якого Сонце висвічувало б енергію за
рахунок гравітаційного стискування, якби його світність не змінювалася:
Такий проміжок часу прийнято називати шкалою Гельмгольца. Час начебто і
не малий, але, ще в середині ХІХ століття палеонтологічні дані
переконливо доводили, що насправді вік нашої планети (а отже і Сонця)
набагато більший! Тому то астрономи і фізики і були змушені шукати (і
знайти) нове джерело енергії — синтез в надрах зір ядер важчих хімічних
елементів.
ТЕМПЕРАТУРА ЗОРЯНИХ НАДР
Перевіримо тепер, чи справді температура у надрах зір досягає значень,
достатніх для перебігу там реакцій синтезу складніших хімічних
елементів.
Насамперед необхідно констатувати, що Сонце й інші зорі протягом
мільярдів років перебувають у стані механічної рівноваги. Це означає, що
на будь-якій відстані r від центра зорі сила тяжіння, спрямована до
центра, зрівноважена тиском, величина якого зростає у напрямі до центра
зорі.
. Відповідно до закону всесвітнього тяжіння цей елемент маси
притягується усією масою зорі M(r), яка міститься всередині сфери
радіуса r, із силою
, знаходимо час падіння речовини до центра зорі – так званий
гідродинамічний час:
. Тут, як і раніше, В – газова стала, ? – молярна маса. Для “типового”
хімічного складу зоряних атмосфер (близько 67 % за масою водню і 31 %
гелію), у тому числі й сонячної, ?=0,6.
j
„O
„Ae^„O
gdO A
gd?/©
gdA_µ
gdA_µ
j
. Саме ця різниця тисків і зрівноважує силу тяжіння згаданого елемента
газу. Таким чином, умова рівноваги запишеться так:
(1)
Це рівняння є одним з найважливіших у теорії внутрішньої будови зір. За
його допомогою оцінюють температуру в надрах тієї чи іншої зорі.
. Тоді матимемо:
(2)
то з цих двох останніх співвідношень знаходимо, що
(3)
. Точні обрахунки за допомогою сучасних ЕОМ дають те саме значення. Це
приклад того, як шляхом наближених оцінок можна дістати досить вірогідне
значення певного фізичного параметра.
– стала Больцмана. Якщо маса зорі рівна М, а середня маса частинки m,
то зоря складається М/m частинок. Їх повна теплова енергія
(4)
), знаходимо середнє значення температури речовини зорі:
(5)
.
Як бачимо, температура в надрах зір сягає значення мільйонів градусів,
що цілком достатнє для звільнення енергії внаслідок реакцій синтезу
хімічних елементів.
РИТМИ ПУЛЬСАЦІЙ ЗІР
Розглянемо задачу про визначення періоду Р пульсації зорі масою М і
радіусом R. Використаємо теорію розмірностей. Очевидно, що процес
пульсації зумовлений тяжінням зорі і визначається величиною її маси М,
радіусом R, сталою G. Запишемо розмірності згаданих величин:
(не порушуючи загальності, ми поклали, що показник степеня при Р
дорівнює одиниці).
Запишемо комплекс через розмірності кожного з параметрів:
(1)
Так дістаємо систему алгебраїчних рівнянь:
Шукане співвідношення для періоду пульсації Р:
(2)
(середня густина зорі),
то це співвідношення можна переписати ще й так:
(3)
А це добре відоме в астрофізиці співвідношення “період – середня
густина”, яке і виконується для всіх пульсуючих зір.
, або
(4)
Відповідна система алгебраїчних рівнянь така:
, що дає таку формулу для періоду Р:
(5)
, а замість довжини маятника l — радіус зорі R, то дістанемо формулу
(3) для періоду пульсації зорі. Фізична суть обох явищ – пульсації зорі
й коливання маятника – одна і та сама. Це – механічні рухи у полі
тяжіння, обумовлені невеликими відхиленнями від положення рівноваги.
ЗАДАЧА ПРО СИЛЬНИЙ ВИБУХ
.
:
.
При спалаху наднової оболонка, маса якої сягає величини m?M?,
розлітається в навколишній простір із швидкістю ? = 10 000 км/с.
Кінетична енергія цієї речовини
Як бачимо, «коефіцієнт корисної дії» такого вибуху невеликий: в
кінетичну енергію оболонки переходить усього близько 1 % звільненої
енергії. Не менше 99 % її «викрадають» нейтрино, що виникають у
центральних зонах зорі і, пронизуючи всю її товщу, виходять у міжзоряне
середовище. І вже зовсім мала частка (близько 0,01 Е) висвічується,
тобто поширюється у навколишньому просторі у вигляді квантів
електромагнітного випромінювання.
Згаданий 1 % енергії – це все-таки величезна її частина. Тому після
спалаху зорі формується потужна ударна хвиля, яка й поширюється певний
час (до затухання) у міжзоряному середовищі. Пригадаємо, що ударна хвиля
виникає завжди, як тільки відбулося миттєве виділення значної кількості
енергії. У місці вибуху температура і тиск газу раптово зростають.
Нагрітий газ (його параметри позначають індексом «2») розширюється в бік
холодного (тут параметри позначаються індексом «1»: Т1, р1 і т. д.) із
швидкістю, яка на початку може істотно перевищувати швидкість звуку а1.
Межа, яка розділяє два стани — нагрітий і холодний, зветься фронтом
ударної хвилі, її швидкість позначимо через D. Отже, D>а1.
При переході газу через фронт ударної хвилі виконуються закони
збереження маси, імпульсу і енергії, з яких випливають певні
співвідношення для величин стрибків параметрів газу, які при D>>a1 і
?=5/3 (одноатомний газ) мають такий простий вигляд:
(1)
Тут ?2 – молекулярна маса за фронтом ударної хвилі, В – універсальна
газова стала.
Так, якщо в атмосфері зорі чи в міжзоряному середовищі рухається ударна
хвиля із швидкістю «всього» 100 км/с, то при ?2 = 0,5 (іонізований
водень) температура безпосередньо за фронтом хвилі зростає до величини
T2=110 000 К. Якщо ж D = 1000 км/с, то T2 ? 107 К.
При спалахах наднових зір швидкості речовини, що розлітається у
навколишній простір, сягає значень 10 000 км/с. Це значить, що попереду
самої речовини у міжзоряне середовище рухається ударна хвиля, яка і
нагріває наявний там газ до високих температур. З часом цей газ
поступово охолоджується: на місці спалаху зорі виникає потужне джерело
як радіо-, так і (іноді) оптичного і навіть рентгенівського
випромінювання.
Задачу, яка при цьому виникає, можна зформулювати так: знайти, за яким
законом у міжзоряному середовищі (де густина ?1 ? 2?10-21 кг/м3)
поширюється ударна хвиля? І яку відстань вона проходить там, тобто який
об’єм буде охоплено цим збуренням?
Певну відповідь тут дають розв’язки, отримані ще 1944 р. Л. І. Сєдовим
(СРСР) якраз на основі теорії розмірностей. Простежимо тут, з яких
міркувань вони були отримані.
. У випадку сильної ударної хвилі величиною тиску ?1 перед її фронтом
можна знехтувати порівняно з тиском за фронтом.
Отже, задача описується чотирма такими параметрами: r, t, Q і ?1 Неважко
переконатися, що три з них мають незалежні розмірності, бо
З них і складаємо один безрозмірний комплекс
(2)
що і дає закон руху сильної ударної хвилі в однорідному середовищі.
Підставляючи розмірності величин, знаходимо, що
Прирівнюючи показники степенів нулеві, отримуємо алгебраїчні рівняння
Отже, при П ? 1, що підтверджується зіставленнями із спостереженнями, з
співвідношення (2) і випливає закон руху сильної ударної хвилі в
однорідному середовищі:
(3)
Тоді швидкість фронту хвилі, у свою чергу, визначається, як
(4)
Саме цей розв’язок і дав можливість оцінити, зокрема, вік залишків
спалахів наднових зір. Наприклад, у сузір’ї Лебедя є відома
волокноподібна туманність, радіус якої r = 20 пк, а швидкість розширення
? ? 115 км/с. Співставлення цих даних з розв’язками (3) і (4) приводить
до висновку, що спалах наднової зорі тут відбувся близько 70 000 років
тому.
Як показують спостереження, зараз у відносно недалеких околицях Сонця
налічується понад 100 залишків спалахів наднових зір. За всю історію
нашої Сонячної системи такі космічні катастрофи відбувалися не менш 3–4
рази на відстанях менших ніж 10 пк. І ще в 1957 р. Й.С.Шкловський та
В.І.Красовський висловили думку, що практично раптове вимирання бл. 60
млн. років тому велетенських форм життя на Землі – динозаврів,
іхтіозаврів тощо – якраз і може бути пов’язане зі спалахом наднової зорі
у близьких околицях Сонця. Це – один з прикладів того, що процеси, які
відбуваються далеко за межами нашої планети, можуть мати вплив і на всю
її біосферу…
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
