Дотичні напруження при згині
Дотичні напруження при вигині
.
в найпростішому випадку поперечного вигину балки. Як уже вказувалося,
задачі про визначення напруг завжди статично невизначені й вимагають
розгляду трьох сторін задачі. Однак можна прийняти такі гіпотези про
розподіл напруг, при яких задача стане статично визначеною. Тоді
необхідність у залученні геометричних і фізичних рівнянь відпаде й
досить розглянути одну тільки статичну сторону задачі.
Проведемо вивід на прикладі балки прямокутного поперечного перерізу. На
мал.8.10,а показана балка, її схема й епюри Q і М.
б
г д
Рис.8.10. До визначення дотичних напружень
Таким чином, у проведених перерізах діють нормальні й дотичні
напруження. Нормальні напруги на лівому і правому торцях виділеного
елемента на підставі залежності (8.10) визначаються формулами
(8.17)
Уведемо два припущення про характер розподілу дотичних напружень у
балках прямокутного перерізу:
усюди паралельні Q;
постійні по ширині й залежать тільки від відстані точки до нейтральної
лінії).
на відстані у від нейтрального шару. Виділений у такий спосіб елемент
показаний на мал.8.10,д.
від неї (мал.8.10,г), діє елементарна осьова сила
Тоді шукана рівнодіюча
являє собою статичний момент площі, укладеної між рівнем у і краєм
балки, то
буде, мабуть, такою ж, як і для першого перерізу.
причому, вони будуть спрямовані так, як показано на мал.8.10,д.
рівномірно розподілені по цій грані й дають зусилля
Вносячи сюди знайдені величини зусиль, одержуємо
або
, знаходимо остаточно
(8.20)
Виведена формула вперше була отримана Д. И. Журавським і має його ім’я.
Незважаючи на те, що покладені в основу її виводу гіпотези справедливі
тільки для вузьких прямокутних перерізів, на практиці нею можна
користуватися для будь-яких перерізів, крім тих місць у перерізі, де є
вузькі прямокутники, розташовані перпендикулярно до Q — полки двотавру,
швелера й т.д. Для довільного перерізу (мал.8.11) величини, що входять у
формулу (8.20), мають наступні значення:
Q = Q(x) — абсолютна величина поперечної сили в тім перерізі, де
обчислюються дотичні напруги;
— момент інерції цього перерізу щодо нейтральної лінії;
;
, від перерізу.
Рис.8.11. Переріз довільної форми
, то відповідно до вихідних допущень воно вважається паралельним Q.
для прямокутного перерізу (мал.8.12).
для прямокутного перерізу
. Статичний момент цієї площі
одержуємо
й
на мал.8.12. Формулу (8.22) можна записати також у вигляді
Подібним чином для круглого перерізу (мал.8.13) одержимо
для круглого перерізу
. Найбільше дотичне напруження буде в точках нейтральної лінії
Рис.8.14. До прикладу 8.1
> @ p r t v ¶ ? ?O?
1/4
A
AE
E
E
I
jth h
h
h
h
h
h
j? h
h
j h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
v OE
I
?
O
O
?????U?I
I
?
O
O
Oe
O
U
Ue
TH
a
a
ae
ae
e
e
i
i
?
o
o
oe
o
eUeOUe3/4Ue±OUeOUe±?Ue‡Ue±OUeOUe±OUeOqO[OQO h
h
jSa h
h
jqTH h
h
??U??ae
e
i
i
o
oe
?????????U?oe
o
`„Agd
1/4z1/4i1/4d1/4i1/4Wi1/4iL h
h
h
h
jy? h
h
jai h
h
j
h
jUae h
h
h
h
jua h
h
h
h
h
h
h
h
jOth h
h
ue h
h
j¬u h
h
j
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
jIo h
h
j1/4
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
, h
h
jO’ h
h
jM% h
h
jN” h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
`„Agd
yt
`„a$gd
`„gd
`„Agd
yt
j @ h
h
jA< h
h
j•9 h
h
7 h
h
h
h
jG4 h
h
h
h
j?1 h
h
h
h
jc. h
h
j-U h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
`„Agd
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
`„Agd
yt
`„a$gd
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
`„Agd
`„gd
yt
h
h
j?< h
h
: h
h
jG7 h
h
j*4 h
h
jg2 h
h
h
h
h
h
j
h
h
), визначаємо по формулі (8.10):
наведена на мал.8.14.
Дотичні напруження в точках поперечного перерізу визначаємо по формулі
Журавського (8.20):
в декількох характерних точках: а) у крайніх волокнах (по лінії АВ);
б) у місці сполучення полки зі стінкою (у точках 1 і 2), причому будемо
вважати, що точки 1 і 2 розташовані нескінченно близько до границі
полиці, але лежать по різні сторони від цієї границі (мал.8.14); в) у
точках нейтральної лінії.
.
. Тоді
Дотичне напруження в точці 1
. Тому дотичне напруження в точці 2
Отже, при переході від точки 1 до точки 2 дотичне напруження різко
зростає.
, а статичний момент варто взяти по сортаменту для половини перерізу.
Тоді
наведена на мал.8.14.
тільки для точок стінки, досить віддалених від полиць. Поблизу полиць
дотичні напруження в стінці зростають через те, що місце сполучення
полки зі стінкою є джерелом концентрації напруг.
Формула (8.20) і розглянуті приклади дозволяють зробити деякі загальні
висновки про розподіл дотичних напружень у перерізах при поперечному
вигині:
залежить від форми поперечного перерізу балки;
завжди дорівнює нулю;
3) найбільшої величини дотичні напруження для більшості видів перерізів
досягають на нейтральній лінії перерізу, причому
— статичний момент половини перерізу.
Найбільше дотичне напруження може бути знайдене також по формулі
(8.27)
Тут k — коефіцієнт, що залежить від форми перерізу. Для прямокутника k =
1,50; для круглого перерізу k = 1,33;
4) формулою Журавського можна користуватися для обчислення дотичних
напружень у будь-яких точках масивних профілів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter