.

Диференціальне рівняння зігнутої осі балки (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
6 2791
Скачать документ

Диференціальне рівняння зігнутої осі балки

Диференціальне рівняння вигнутої осі балки

У більшості випадків практичного розрахунку деталей, що працюють на
вигин, необхідно також  робити розрахунок на жорсткість. Під розрахунком
на жорсткість розуміється оцінка пружної піддатливості балки під дією
прикладених навантажень і підбір таких розмірів поперечного перерізу,
при яких переміщення не будуть перевищувати встановлених нормами меж.
Для виконання такого розрахунку необхідно навчитися обчислювати
переміщення точок балки під дією будь-якого зовнішнього навантаження, що
необхідно також для розрахунку статично невизначених балок.

Розглянемо деформацію балки при плоскому вигині. Вісь балки (мал.8.38)
під дією навантаження, розташованого в одній з головних площин інерції
(у площині хоу), викривляється в тій же площині, а поперечні перерізи
повертаються й одночасно одержують поступальні переміщення.

Рис.8.38. Прогин при плоскому вигині

Скривлена вісь балки називається вигнутою віссю, або пружною лінією. На
мал.8.38 і 8.39  пружна лінія зображена тонкою кривою лінією.

Рис.8.39. Кут повороту при вигині

.

, на який кожний переріз повертається стосовно свого первісного
положення, називається кутом повороту перерізу. Кут повороту також може
бути визначений як кут між дотичною до пружної лінії й віссю х
(мал.8.39).

на мал.8.40). Однак у більшості випадків зсуви V  настільки малі, що
ними можна зневажити.

Рис.8.40. Горизонтальне переміщення при вигині

Умовимося осі координат завжди розміщати наступним образом: початок
координат поміщати на лівому кінці балки, вісь х направляти по осі балки
вправо, а вісь w — вгору.

будемо вважати позитивним при повороті перерізу проти годинникової
стрілки.

. Тому що тангенс кута повороту є похідна від ординати прогину

в даному перерізі рівним похідної прогину w(x) по абсцисі перерізу:

(8.40)

Таким чином, для визначення деформації балки в її довільному перерізі
необхідно, насамперед, одержати рівняння пружної лінії

Виходячи з фізичної природи вигнутої осі бруса, можемо затверджувати, що
пружна лінія повинна бути безперервною й гладкою (не має зломів) кривою,
отже, впродовж всієї осі бруса повинні бути неперервні функція w і її
перша похідна. Прогини й кути повороту і є переміщеннями перерізів балок
при вигині. Деформація тої або іншої ділянки балки визначається
скривленням його вигнутої осі, тобто кривизною. Тому що вплив поперечної
сили на кривизну малий, то в загальному випадку поперечного вигину
рівняння (8.9) можна записати у вигляді

(8.41)

З курсу вищої математики відомо наступне рівняння кривизни плоскої
кривої:

Тепер для одержання диференціального рівняння вигнутої осі залишається
прирівняти праві частини виразів (8.41) і (8.42), з’ясувавши попередньо
питання про знак.

Якщо згинальний момент позитивний, то пружна лінія своєю ввігнутою
стороною звернена нагору (мал.8.41,а), отже, при прийнятому напрямку
координатних осей кривизна  — вважається позитивною. При негативному
згинальному моменті кривизна також буде негативною (мал.8.41,б). Якби
вісь  була спрямована вниз, то при позитивному згинальному моменті
кривизна була б негативною (мал.8.41,в), а при негативному моменті —
позитивною (мал.8.41,г).

Рис.8.41. Правило знаків

Зберігаючи прийнятий напрямок осі w вгору, маємо відповідність між
знаком моменту й знаком кривизни, тому можна прирівняти праві частини
рівностей (8.41) і (8.42). Тоді

(8.43)

Якби вісь w була спрямована вниз, то в правій частині варто було б
поставити знак мінус.

Отримане рівняння називається точним рівнянням вигнутої осі бруса. Воно
є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку, інтегрування
якого, як відомо, представляє значні труднощі. У зв’язку із цим і тому
що в переважній більшості розглянутих на практиці завдань прогини малі,
точне рівняння (8.43) заміняють наближеним рівнянням — рівнянням для
малих переміщень.

У знаменнику рівняння (8.43) стоїть сума двох доданків:

При малих деформаціях величина другого доданка в багато разів менше
першого. Дійсно, при розрахунку звичайних машинобудівних або будівельних
елементів норми допустимого прогину становлять 1/100-1/1000 прольоту
залежно від умов роботи балки, а кути повороту, що виходять при цьому,
не перевищують 10.

Навіть прийнявши більшу межу для прогину ( ), найбільшу величину
тангенса  одержимо наступного порядку:

Таким чином, значення  не перевершує 0,0004, тобто досить мало в
порівнянні з одиницею. Цими величинами й можна зневажити без відчутної
для практичних цілей помилки. Тоді одержимо наступне спрощене
диференціальне рівняння пружної лінії:

(8.44)

у якому величина згинального моменту обчислюється для недеформованої
балки. Надалі рівняння (8.44) будемо називати основним диференціальним
рівнянням пружної лінії (для малих деформацій). З його допомогою можна
обчислювати переміщення в балках при будь-яких умовах навантаження.

Вирішуючи завдання аналітичним методом, кути повороту  й прогини
обчислюють послідовним інтегруванням основного диференціального
рівняння (8.44). Проінтегрував рівняння перший раз, одержимо вираз для
кута повороту :

(8.45)

утримуюче одну довільну постійну С. Інтегруючи другий раз, знаходимо
вираз для прогину w(x):

(8.46)

який має довільні постійні С і D. Значення постійних С і D визначають із
умов закріплення балки в такий спосіб:

а) якщо балка має на кінці закладення (мал.8.42), то прогин і кут
повороту в ній дорівнюють нулю:

(8.47)

б)для балки на двох шарнірних опорах (мал.8.39) прогини на цих опорах
дорівнюють нулю:

(8.48)

Рис.8.42. Консольна балка

Помітимо, що рівняння пружної лінії іноді зручно записати в іншій формі,
вважаючи заданим не момент  а  навантаження q(x).

Згадавши, що , і продиференціював рівняння (8.44) два рази, одержимо

(8.49)

Рівняння пружної лінії у формі (8.49) застосовують при розрахунку балок
на пружній основі й при розгляді коливань балок.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019