.

Чисельний метод розрахунку циліндричних оболонок (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
423 1545
Скачать документ

Чисельний метод розрахунку циліндричних оболонок

Чисельний метод розрахунку доцільно застосовувати при змінній товщині стінки оболонки  або при змінному по довжині тиску. Метод, викладений у справжньому параграфі, є загальним і застосовується не тільки для розрахунку циліндричних оболонок, але головним чином для розрахунку більш складних оболонок, з довільною формою меридіанів при довільному законі зміни тиску і товщини уздовж меридіана.

Напружено-деформований стан у довільній точці оболонки повністю визначається вектором стану X . Приймемо в якості незалежної змінної й компонентів вектора стану наступні безрозмірні величини:

(13.146)

де  — згинальна жорсткість у деякій фіксованій точці, наприклад, при ;

D — згинальна жорсткість у поточному перетині. Ці компоненти відрізняються від колишніх тільки постійними множниками, які введені з метою спрощення рівнянь.

Для чисельного рішення вихідні рівняння необхідно перетворити таким чином, щоб похідні компонентів вектора X були виражені через самі компоненти. На підставі рівнянь (13.97) – (13.100):

Перейшовши до безрозмірних змінних, одержимо

(13.147)

де .

Система диференціальних рівнянь (13.147) еквівалентна одному диференціальному рівнянню четвертого порядку (13.102). Цю систему можна записати в матричній формі

, (13.148)

де X — стовпець шуканих функцій, що характеризують напружено-деформований стан у поточному перетині;

(13.149)

F — квадратна матриця (4 х 4);

(13.150)

G — стовпець функцій навантаження;

(13.151)

Для циліндричної оболонки

  (13.152)

Чисельне інтегрування системи рівнянь (13.148) при заданих початкових умовах виконується за допомогою комп’ютерних програм і не викликає утруднень. Однак у розглянутих задачах (у задачах типу Коші) у початковій точці бувають відомі тільки два компоненти вектора X, а інші два підлягають визначенню відповідно до граничних умов при .

Це утруднення можна перебороти, застосувавши спосіб трьох розрахунків, відповідно до якого вектор X представляють у вигляді суми (13.144), а невизначені коефіцієнти  підбирають так, щоб компоненти сумарного вектора X задовольняли граничним умовам при .

При значній довжині оболонки, однак, спосіб трьох розрахунків стає недостатньо точним, тому що при наявності в рішенні швидко зростаючих функцій виникає необхідність обчислення малих різниць великих величин.

Більш ефективним методом чисельного рішення подібних задач є метод прогону. Сутність цього методу полягає в наступному.

Розсічемо подумки оболонку на дві частини і розглянемо частину, обмежену початковою точкою і поточним перетином. Напружено-деформований стан у поточному перетині повністю характеризується вектором стану  [див. (13.149)]. Кінцева мета складається у визначенні компонентів цього вектора, однак на початковому етапі поставимо трохи іншу задачу. Шуканий вектор  розіб’ємо на два вектори  й , по два компоненти в кожному.

Як складові вектора  приймемо  й  (тобто переміщення  й ); тоді компонентами вектора  будуть  і  (тобто силові фактори  й ). Можна, а при деяких варіантах граничних умов і більш зручно як компоненти вектора  прийняти  й  або  й , тоді складовими вектора  будуть два інших.

Очевидно, що між  і  існує лінійна залежність

. (13.153)

Відповідно до цієї залежності при заданих початкових умовах усякому значенню силових факторів  і  в поточному перетині відповідають певні значення переміщень  і  в тім же перетині. Отже,  являє собою матрицю впливу, а  — стовпець функцій навантаження.

Визначимо спочатку  і  як функції від . При цьому будемо виходити з того, що вектор  повинен задовольняти диференційному рівнянню (13.148), а також граничним умовам при .

Диференційне рівняння (13.148) розіб’ємо на два рівняння

; (13.154)
, (13.155)

де  — квадратні блоки в матриці (13.150);

(13.156)

 

і  — стовпці по двох елементам;

(13.157)

Граничні умови при  в загальному випадку можна представити у вигляді рівності

, (13.158)

де  й  — числові матриці 2×2 (задані);

— стовпець із двох елементів (заданий). Так, наприклад, якщо край оболонки жорстко затиснений, то , ; . Якщо край навантажено заданими силами  і моментом , то ; ;  і т.д.

Розділивши рівняння (13.158) на , перетворимо його до виду, подібному до рівняння (13.153):

. (13.159)

Тоді

 і (13.159а)

можна розглядати як початкові значення  шуканих матриць  і .

Розглянемо спочатку однорідну задачу ( і ). Продиференціюємо рівняння (13.153) по :

.

Підставивши вирази (13.154) і (13.155) і зробивши заміну  на , прийдемо до наступної рівності:

Ця рівність повинне виконуватися для кожної лінійно незалежної складової вектора , отже,  можна скоротити. У результаті виходить матричне диференціальне рівняння відносно :

. (13.160)

Це рівняння еквівалентно чотирьом звичайним диференціальним рівнянням щодо елементів матриці .

Аналогічно знаходять рішення неоднорідної задачі. Продиференціював рівняння (13.153) з урахуванням , а потім підставивши залежності (13.154) і (13.155) і взявши до уваги, що  вже відомо, з рівняння (13.160) одержимо матричне рівняння для визначення :

. (13.161)

Рівняння (13.160) і (13.161) інтегруються чисельним методом при початкових умовах, обумовлених рівнянням (13.159). При цьому необхідності обчислення малих різниць не виникає.

Виконавши інтегрування від 0 до , одержимо рівняння, що зв’язує значення векторів  і  в кінцевій точці:

. (13.162)

Інше рівняння, що містить ті ж невідомі, складається на підставі граничних умов при :

або

. (13.163)

Спільне рішення рівнянь (13.162) і (13.163) дає значення компонентів вектора  при . Розглянутий метод, називаний методом «прямого прогону», дозволяє визначити компоненти вектора  тільки в кінцевій точці.

При необхідності визначення значень вектора  також у проміжних точках здійснюють «зворотний прогін» або «зустрічний прогін». Вибравши початок відліку на протилежному краї циліндра та інтегруючи рівняння (13.160) і (13.161) у зворотному напрямку при початкових умовах (13.163), одержують для кожної проміжної точки друге рівняння з невідомими  й , подібне до рівняння (13.153). Рішення системи двох рівнянь дає значення шуканих невідомих у проміжних точках (при зворотному прогоні , отже, знаки  й  змінюються на зворотні).

Для циліндричної оболонки змінної товщини рівняння (13.160) розгортається в такий спосіб.

Матриці (13.152) розбиваємо на блоки:

Обчислюємо що складаються праві частини рівняння:

 

Підставляємо матриці в рівняння (13.160):

.

Це матричне рівняння еквівалентно чотирьом звичайним диференційним рівнянням:

;

;

;

.

Рівняння в розгорнутому виді наведені лише для пояснення, практично ж при комп’ютерному розрахунку зручно використовувати безпосередньо матричні рівняння.

Помітимо, що якщо в початковій точці будуть задані не геометричні, а силові граничні умови (тобто якщо будуть задані  й ), то матриця  в рівності (13.158) буде дорівнювати нулю, a  і  в рівнянні (13.159) звернуться в нескінченність. Для того щоб уникнути цього, необхідно як компоненти вектора  прийняти  й , тобто  й . Тоді  не буде дорівнювати нулю.

У випадку змішаних початкових умов як компоненти вектора  варто вибрати ті параметри, значення яких при  задані (або дорівнюють нулю). Якщо ж є пружне затиснення, то компоненти  й  пов’язані з компонентами  й  заданою лінійною залежністю. У цьому випадку, вибір компонентів вектора  не грає істотної ролі.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020