Чисельний метод розрахунку циліндричних оболонок

 або при змінному по довжині тиску. Метод, викладений у справжньому
параграфі, є загальним і застосовується не тільки для розрахунку
циліндричних оболонок, але головним чином для розрахунку більш складних
оболонок, з довільною формою меридіанів при довільному законі зміни
тиску і товщини уздовж меридіана.

Напружено-деформований стан у довільній точці оболонки повністю
визначається вектором стану X . Приймемо в якості незалежної змінної й
компонентів вектора стану наступні безрозмірні величини:

;

D — згинальна жорсткість у поточному перетині. Ці компоненти
відрізняються від колишніх тільки постійними множниками, які введені з
метою спрощення рівнянь.

Для чисельного рішення вихідні рівняння необхідно перетворити таким
чином, щоб похідні компонентів вектора X були виражені через самі
компоненти. На підставі рівнянь (13.97) – (13.100):

Перейшовши до безрозмірних змінних, одержимо

.

Система диференціальних рівнянь (13.147) еквівалентна одному
диференціальному рівнянню четвертого порядку (13.102). Цю систему можна
записати в матричній формі

, (13.148)

де X — стовпець шуканих функцій, що характеризують
напружено-деформований стан у поточному перетині;

(13.149)

F — квадратна матриця (4 х 4);

(13.150)

G — стовпець функцій навантаження;

(13.151)

Для циліндричної оболонки

.

.

При значній довжині оболонки, однак, спосіб трьох розрахунків стає
недостатньо точним, тому що при наявності в рішенні швидко зростаючих
функцій виникає необхідність обчислення малих різниць великих величин.

Більш ефективним методом чисельного рішення подібних задач є метод
прогону. Сутність цього методу полягає в наступному.

, по два компоненти в кожному.

 будуть два інших.

 існує лінійна залежність

 — стовпець функцій навантаження.

.

Диференційне рівняння (13.148) розіб’ємо на два рівняння

 — квадратні блоки в матриці (13.150);

(13.156)

????????????H?H??????

 — стовпці по двох елементам;

(13.157)

Граничні умови при  в загальному випадку можна представити у вигляді
рівності

, (13.158)

де  й  — числові матриці 2×2 (задані);

 — стовпець із двох елементів (заданий). Так, наприклад, якщо край
оболонки жорстко затиснений, то , ; . Якщо край навантажено заданими
силами  і моментом , то ; ;  і т.д.

Розділивши рівняння (13.158) на , перетворимо його до виду, подібному до
рівняння (13.153):

. (13.159)

Тоді

 і (13.159а)

можна розглядати як початкові значення  шуканих матриць  і .

Розглянемо спочатку однорідну задачу ( і ). Продиференціюємо рівняння
(13.153) по :

.

Підставивши вирази (13.154) і (13.155) і зробивши заміну  на , прийдемо
до наступної рівності:

Ця рівність повинне виконуватися для кожної лінійно незалежної складової
вектора , отже,  можна скоротити. У результаті виходить матричне
диференціальне рівняння відносно :

. (13.160)

Це рівняння еквівалентно чотирьом звичайним диференціальним рівнянням
щодо елементів матриці .

Аналогічно знаходять рішення неоднорідної задачі. Продиференціював
рівняння (13.153) з урахуванням , а потім підставивши залежності
(13.154) і (13.155) і взявши до уваги, що  вже відомо, з рівняння
(13.160) одержимо матричне рівняння для визначення :

. (13.161)

Рівняння (13.160) і (13.161) інтегруються чисельним методом при
початкових умовах, обумовлених рівнянням (13.159). При цьому
необхідності обчислення малих різниць не виникає.

Виконавши інтегрування від 0 до , одержимо рівняння, що зв’язує значення
векторів  і  в кінцевій точці:

. (13.162)

Інше рівняння, що містить ті ж невідомі, складається на підставі
граничних умов при :

або

. (13.163)

Спільне рішення рівнянь (13.162) і (13.163) дає значення компонентів
вектора  при . Розглянутий метод, називаний методом «прямого прогону»,
дозволяє визначити компоненти вектора  тільки в кінцевій точці.

При необхідності визначення значень вектора  також у проміжних точках
здійснюють «зворотний прогін» або «зустрічний прогін». Вибравши початок
відліку на протилежному краї циліндра та інтегруючи рівняння (13.160) і
(13.161) у зворотному напрямку при початкових умовах (13.163), одержують
для кожної проміжної точки друге рівняння з невідомими  й , подібне до
рівняння (13.153). Рішення системи двох рівнянь дає значення шуканих
невідомих у проміжних точках (при зворотному прогоні , отже, знаки  й
 змінюються на зворотні).

Для циліндричної оболонки змінної товщини рівняння (13.160)
розгортається в такий спосіб.

Матриці (13.152) розбиваємо на блоки:

Обчислюємо що складаються праві частини рівняння:

  

Підставляємо матриці в рівняння (13.160):

.

Це матричне рівняння еквівалентно чотирьом звичайним диференційним
рівнянням:

;

;

;

.

Рівняння в розгорнутому виді наведені лише для пояснення, практично ж
при комп’ютерному розрахунку зручно використовувати безпосередньо
матричні рівняння.

Помітимо, що якщо в початковій точці будуть задані не геометричні, а
силові граничні умови (тобто якщо будуть задані  й ), то матриця  в
рівності (13.158) буде дорівнювати нулю, a  і  в рівнянні (13.159)
звернуться в нескінченність. Для того щоб уникнути цього, необхідно як
компоненти вектора  прийняти  й , тобто  й . Тоді  не буде дорівнювати
нулю.

У випадку змішаних початкових умов як компоненти вектора  варто вибрати
ті параметри, значення яких при  задані (або дорівнюють нулю). Якщо ж є
пружне затиснення, то компоненти  й  пов’язані з компонентами  й
 заданою лінійною залежністю. У цьому випадку, вибір компонентів вектора
 не грає істотної ролі.

Похожие записи