Асимптотичний метод розрахунку пластин
Для прямокутної пластини з закріпленням, відмінним від шарнірного
опирання по протилежних сторонах, застосовують різні наближені методи.
Розглянемо асимптотичний метод.
У пластинах, так само, як і в балках, має місце динамічний крайовий
ефект, що полягає в тому, що закріплення впливає на форму коливання
тільки поблизу межі, а віддалі від неї форма коливання визначається
добутком синусів типу рівняння (321). Завдяки цьому коливання можна
представити як суму функції типу (321) і швидко загасаючих із видаленням
від меж функцій, що дозволяють виконати граничні умови.
форм коливань. У середній частині пластини (початок координат
розташовується в центрі ваги пластини) приймаємо
– функція, що швидко змінюється, що дозволяє задовольнити умовам
закріплення.
має вид
(322)
зневажливо малі і тому перший член виразу (322) повинний задовольняти
рівнянню (316). Звідси знаходимо
істотними є перший і другий члени виразу (322). З огляду на те, що
перший член задовольняє рівнянню (316), зажадаємо, щоб і другий
задовольняв йому:
Виконуючи диференціювання, приходимо до рівняння
яке розпадається на два рівняння:
v ? ? AA?
?
A
Ae
a
ae
j
??????Тому що , то загасаюче рішення має тільки перше з цих рівнянь.
Рішення, що загасає з віддаленням від сторони , має вид
де
По симетрії, поблизу сторони
аналогічно, поблизу сторони
де
і поблизу сторони
Розглянемо граничні умови при :
При обчисленні і врахуємо, що практично уздовж усієї сторони , за
винятком місцевості кутових точок, функція дорівнює нулю, тому
визначається першими двома доданками виразу (322):
Для одночасного виконання цих рівнянь необхідно, щоб визначник,
складений із коефіцієнтів при і , рівнявся нулю, що приводить до
рівняння
(323)
Аналогічно, умови при приводять до рівняння
(324)
Тому що зв’язані з , то трансцендентні рівняння (323) і (324) дозволяють
визначити значення і , а потім обчислити і частоти
Розглянемо, наприклад, коливання квадратної пластини з однаковим числом
вузлових ліній у напрямках . У цьому випадку і рівняння (323) і (324)
приводять до залежності
,
звідки
Частоти коливань визначаються формулою
Досить добрий результат утворюється вже для нижчої частоти:
Точне значення
Як видно з вищевикладеного, при використанні асимптотичного методу
похибка виникає внаслідок наближеного виконання граничних умов поблизу
кутових точок.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter