Реферат на тему:

Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки

Диференціальні рівняння використовують у економічних моделях, що
відображують зміну і взаємозв’язок економічних показників у часі.

1. Модель Еванса встановлення рівноважної ціни.

У цій моделі розглядають ринок одного товару, неперервно залежний від
часу. Нехай Q(t), S(t), P(t) — відповідно попит, пропозиція і ціна цього
товару у момент часу t. Будемо вважати, що і попит, і пропозиція лінійні
функції від ціни, тобто Q(t) = a-bP(t), a,b>0 (із зростанням ціни попит
спадає), S(t) =?-?P(f), ?,?>0 (із зростанням ціни пропозиція зростає),
причому а>? (для нульової ціни попит перевищує пропозицію, тобто товар
бажаний споживачу).

Головним припущенням є те, що збільшення ціни ?р прямо пропорційне
перевищенню попиту над пропозицією за час ?t, тобто

Підставивши у це рівняння лінійні залежності попиту і пропозиції від
ціни, одержимо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з початковою
умовою:

Розв’язавши рівняння, маємо:

звідки

, бо для P0Р* ціна, спадаючи, теж прямує до
Р*. Сама ціна Р* є рівноважна ціна — для неї Q(P*) = S(P*). Рівноважну
ціну можна також знайти графічно.

2. Модель росту (зростання для постійного темпу приросту).

Нехай Q = Q(t) — обсяг продукції деякої галузі (підприємства),
виробленої за час t. Будемо вважати, що ринок ненасичений, тобто вся
продукція буде реалізована, причому за деякою фіксованою ціною Р. Тоді
на момент часу t галузь отримає дохід PQ(t). Нехай I = I(t) -величина
чистих інвестицій, тобто засобів, направлених на розширення виробництва
(чисті інвестиції — це різниця між загальним обсягом інвестицій і
амортизаційними витратами).

Якщо т (00).

Припустимо, що ця залежність прямо пропорційна, тобто має місце так
званий принцип акселерації:

Q’(t) = l?I(t) (l = const), (8.2)

— норма акселерації.

Підстановкою у формулу (8.2) значення I з формули (8.1), одержимо:

Q’(t)=l?m?P?Q(t).

або

Q’ = kQ, де k = lmP. (8.3)

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.
Знайдемо його загальний розв’язок:

Якщо у початковий момент часу г0 обсяг продукції становить Q0, то

Отже, частинний розв’язок рівняння (8.3)

(8.4)

Рівняння (8.4) називають рівнянням росту. Цим рівнянням можна описати
також динаміку зміни цін для постійного темпу інфляції, процеси
радіоактивного розпаду, розмноження бактерій тощо.

3. Модель росту в умовах конкуренції.

тобто із збільшенням випуску продукції відбувається насичення ринку і
ціна спадає. Тоді з формул (8.1), (8.2) одержимо рівняння:

Q'(t) = l?m?P(Q)-Q(t),

або

Q’=? Р(Q)?Q, де ? = lт. (8.5)

Оскільки всі множники у правій частині цього рівняння додатні, Q’>0,
тобто функція Q зростає. Характер зростання функції Q(t) (опуклість)
визначається знаком другої похідної:

— еластичність попиту. Розглянемо два випадки:

Тоді Q»>0 і функція Q опукла вниз. Це означає прискорення зростання
обсягу продукції.

Тоді Q»<0 і функція Q - опукла вгору, що означає уповільнення росту обсягу продукції (насиченість ринку). У найпростішому випадку, коли залежність Р = P(Q) лінійна, тобто P(Q) = a–bQ, а>0, b>0,

рівняння (8.5) матиме вигляд:

Q’ = ? (a-bQ)-Q. (8.6)

Розв’яжемо це рівняння:

(8.7)

Графік функції (8.7) називають логістичною кривою. Легко бачити, що
Q’=0, коли Q = 0, або Q =a/b, і Q = a/2b- точка перегину:

Кривою такого типу можна описати також деякі моделі розповсюдження
інформації (реклами), динаміку епідемій, процеси розмноження бактерій в
обмеженому середовищі тощо.

4. Динамічна модель Кейнса.

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає основні компоненти
динаміки витрат та доходів економіки деякої країни. Нехай Y(t)-
національний дохід, E(t) — державні витрати, S(t)- споживання, I(t)-
інвестиції. Тоді можна скласти такі співвідношення:

де a(t) — коефіцієнт схильності до споживання (0<а(t)<і), b(t)-кінцеве споживання, k(t) - норма акселерації. Всі величини розглядаються як функції від часу t і додатні. Перше рівняння системи означає, що сума всіх витрат повинна дорівнювати національному доходу. У другому рівнянні відображено, що загальне споживання складається з внутрішнього споживання деякої частини національного доходу та кінцевого споживання. І, нарешті, величина інвестицій не може бути довільною: вона визначається добутком норми акселерації на граничний національний дохід. Будемо вважати, що функції a(t), b(t), k(t), E(t) відомі. Необхідно знайти динаміку національного доходу (зміну доходу залежно від часу). Підставимо вирази з другого та третього рівнянь системи у перше та зробимо елементарні перетворення. Одержимо лінійне рівняння першого порядку відносно функції Y(t): У найпростішому випадку, коли функції a(t), b(t), k(t), E(t) є сталими величинами, маємо рівняння (8.8) За формулою (3.3) §4 знайдемо розв'язки: було знайдено за умови Y’ = 0, його називають рівноважним розв'язком). Інтегральні криві рівняння (8.8) мають вигляд: Якщо у початковий момент часу Y0Y*, то С = Y0-Y*>0 і національний дохід зростає —
інтегральні криві прямують вгору від рівноважної прямої.

5. Неокласична модель росту.

Нехай Y = F(K,L) — національний дохід, отриманий за рахунок
капіталовкладень К і витрат праці L, F(K,L)- однорідна виробнича функція
(F(tK,tL) = tF(K,L)). Цю умову, наприклад, задовольняє виробнича функція
Кобба-Дугласа. Позначимо

де k = K/L- фондоозброєність. Як відомо, f’(k) > 0, f”(k) < 0. Припустимо, що: 1) відбувається природний приріст трудових ресурсів, тобто L’ = ?L (? = const). (8.9) 2) інвестиції спрямовані як на збільшення виробничих фондів, так і на амортизацію, тобто І = К' + ?К (? - норма амортизації). Нехай I - норма інвестицій (тобто I=lY), тоді K’ =lY-?K. (8.10) З означення фондоозброєності маємо: Ln k = lnK - lnL, тoмy (In k)' = (lnK - ln.L)', отже Підставивши у цю формулу значення L’ і К’ з (8.9) і (8.10), одержимо , остаточно отримаємо рівняння: (8.11) називають стаціонарною кривою. , тобто . 6. Модель ринку з прогнозованими цінами. У простих моделях ринку (наприклад, модель Еванса) вважають, що попит і пропозиція залежать тільки від поточної ціни на товар. Однак у реальних ситуаціях попит і пропозиція залежать не тільки від ціни Р, але й від тенденції ціноутворення (тобто від Р'), і від темпів зміни ціни ( Р'). Розглянемо конкретний приклад. Нехай функції попиту Q(t) і пропозиції S(t) залежать від ціни Р(t) таким чином: Треба знайти залежність ціни від часу. Оскільки в точці рівноваги Q(t)=S(t). маємо: 3P"-P'-2P+18 S(t) = 4P"+P'+3P+3, або Р" + 2Р' + 5Р = 15. (8.12) Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Загальний розв'язок цього рівняння є сумою якогось його частинного розв'язку і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння Р"+2Р'+5Р = 0. Характеристичне рівняння P2+2P’+5P = 0 має корені к1,2 = -1±2і. Звідси загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння має вигляд Частинним розв'язком рівняння (8.12) візьмемо Р = Рst - сталу, що задовольняє рівняння і яку будемо називати стаціонарною ціною. Підставивши цей розв'язок у рівняння (8.12), одержимо: Pst=3. Таким чином, загальний розв'язок рівняння (8.12) має вигляд (8.13) тобто всі ціни з коливаннями прямують до стаціонарної ціни, причому амплітуда цих коливань з часом затухає. Припустимо тепер, що в початковий момент часу відомі ціна і тенденція її зміни: t=0; P= 4, Р' = 1. Підставивши першу умову у (8.13), одержимо тобто Продиференціюемо цю рівність: З другої умови задачі Коші маємо С2=1. Остаточно розв'язок задачі Коші має вигляд Задачі. Розв'язати рівняння Самуельсона P' = 2(Q(P)-S(P)), що моделює зв'язок між зміною ціни Р і незадоволеним попитом Q(P)-S(P), якщо Q(P) = 4 - 3Р, S(P)=2+2P. Побудувати схематично графік. Описати динаміку росту випуску продукції і знайти обсяг продукції, виробленої галуззю за час t=10 років, якщо ціна Р одиниці продукції становить 10.3 грош. од., сума інвестицій пропорційна доходу з коефіцієнтом пропорційності m=0.3, підвищення швидкості випуску продукції пропорційне збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності l=6. Відомо, що в початковий момент часу t0 обсяг продукції становив Q0 = 6 од. Розв'язати задачу 272, якщо t = 11, Р = 10, т = 0.2, l = 8, Q0 = 60. Розв'язати задачу 272, якщо t = 2, Р = 6, т = 0.6, l = 4,Q0 = 50. Розв'язати задачу 272, якщо t = 5, Р = 5, т = 0.5, l = 2, Q0 = 40. Описати динаміку цін, якщо функції попиту і пропозиції мають вигляд Q(P) = 8-4P, S(P) = 2 + 6P і збільшення ціни прямо пропорційне різниці попиту і пропозиції з коефіцієнтом 4, причому у початковий момент часу t0 ціна Р(t0)=2. Побудувати схематично графік. Нехай попит і пропозицію на товар відображено функціями Q(P)=4P'-2Р+39, S(P) = 44P'+2P-1, причому у початковий момент часу t0 ціна P(t0)=1. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти закон зміни ціни залежно від часу. Нехай попит і пропозиція на товар визначаються співвідношеннями Q(P)=2P"-P'-P+15, S(P)=3P"+P'+P+5, де Р -ціна на товар; Р' - тенденція формування ціни; Р"- темп зміни ціни. Відомо, що у початковий момент часу Р(0) = 6, Q(0) = S(0)=10. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти залежність ціни від часу. Знайти функції, еластичність яких є стала величина. Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(P) = P"-4P'-P+17, S(P)=2P"+P’+3P+5, Р(0) = 3, Q(0) = 11, Q(t) = S(t). Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(P) = P"-4P'-2P+30, S(P)=2P“+2P’+6P-18, P(0) = 6, Р(0) = 14, Q(t) = S(t). Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(Р)=Р"-4Р'-4Р+38, S(P)=2P"+4P'+12P-10, Р(0) = 3, Q(0) = 26, Q(t) = S(t). Швидкість знецінювання обладнання внаслідок його зносу пропорційна в кожний момент часу його фактичній вартості з коефіцієнтом пропорційності к. Початкова вартість обладнання - А0. Якою буде вартість обладнання після використання його впродовж t років? Знайти функцію загальних витрат виробництва TC(Q), якщо загальні і граничні витрати задовольняють рівнянню МТС -TC+Q=0 і в початковий момент часу ТС(0) = 0. Знайти функцію загальних витрат виробництва TC(Q), якщо відомо, що граничні витрати для всіх значень Q пропорційні середнім витратам з коефіцієнтом пропорційності к і в початковий момент часу TC(1)=1. .Знайти цю функцію, якщо її графік проходить через точку М(1;2). . Знайти цю функцію, якщо її графік проходить через точку М(1;1). знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв'язок. Для виробничої функції F(K,L) = aK + bL знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв'язок. знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв'язок. = 2, норма інвестицій m = 0,5 і відомо, що у початковий момент часу обсяг продукції становив Q0 = 5. = 2, норма інвестицій т = 0,5 і відомо, що у початковий момент часу обсяг продукції становив Q0 = 50. Знайти і побудувати інтегральні криві рівняння (8.5) у випадку, коли ціна на продукцію обернено пропорційна кількості випущеної продукції. у початковий момент часу обсяг продукції становить Q0=30. i у початковий момент часу обсяг продукції становить Q0 = 50. - споживання, к = 0,5 - норма акселерації. Знайти величину національного доходу, якщо Y(0)=10. Побудувати схематично графік. Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(P) = 3P"-P'-2P+18, S(P)=4P"+P'+3P+3, P(0) = 4, Q(0) = 16, Q(t) = S(t).

Похожие записи