Реферат на тему:

Побудова моделі з автокорельованими залишками

В економетричних дослідженнях часто зустрічаються такі випадки, коли
дисперсія залишків є постійною, але спостерігається їх коваріація. Це
явище має назву автокореляції залишків.

, але при гетероскедастичності змінюється дисперсія залишків при
відсутності їх коваріації, а при автокореляції — існує коваріація
залишків при незмінній дисперсії.

При автокореляції залишків, як і при гетероскедастичності дисперсія
залишків запишеться:

,

матиме тут зовсім інший вигляд. Запишемо цю матрицю:

.

В даній матриці параметр ( характеризує коваріацію кожного наступного
значення залишків із попереднім. Так, якщо для залишків записати
авторегресійну модель першого порядку:

,

то ( характеризує силу зв’язку величини залишків у період t від величини
залишків у період t – 1.

при визначенні дисперсії залишків, і для оцінки параметрів моделі
застосувати метод 1МНК, то можливі такі наслідки:

можуть бути невиправдано великими;

2) статистичні критерії t і F- статистики, які отримані для класичної
лінійної моделі, практично не можуть бути використані для дисперсійного
аналізу, бо їх розрахунок не враховує наявності коваріації залишків;

3) неефективність оцінок параметрів економетричної моделі, як правило,
призводить до неефективних прогнозів, тобто прогнозні значення матимуть
велику вибіркову дисперсію.

1. Критерій Дарбіна—Уотсона:

.

, приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Якщо DW1,< DW < < DW2 конкретних висновків зробити не можна. 2. Критерій фон Неймана: . Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним при вибраному рівні довіри ( і заданому числі спостережень. Якщо Qфакт < Qтабл , то існує додатня автокореляція. 3. Нециклічний коефіцієнт автокореляції: . . Від’ємні значення свідчать про від’ємну автокореляцію, додатні — про додатню. Значення, що знаходяться в деякій критичній області біля нуля, свідчать про відсутність автокореляції. 4. Циклічний коефіцієнт автокореляції: . Фактичне значення цього критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня довіри і довжини ряду спостережень n. Якщо r0факт ( r0табл, то існує автокореляція. Припускаючи, що , циклічний коефіцієнт автокореляції можна записати так: . Оцінку параметрів моделі з автокорельованими залишками можна виконувати на основі чотирьох методів: 1) Ейткена; 2) перетворення вихідної інформації; 3) Кочрена—Оркатта; 4) Дарбіна. Перші два методи доцільно застосовувати тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю першого ступеня: . Ітеративні методи Кочрена—Оркатта і Дарбіна можна застосовувати для оцінки параметрів економетричної моделі і тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю більш високого ступеня: ; . 1. Метод Ейткена Оператор оцінювання цим методом запишеться так: або , (див. стор. 77); . , буде мати наступного вигляду: . На практиці для розрахунку ( використовується співвідношення: або 2. Метод перетворення вихідної інформації Цей метод складається з двох кроків: 1) перетворення вихідної інформації при застосуванні для цього параметра (; 2) застосування методу 1МНК для оцінки параметрів моделі на основі перетворених даних. : ; , . 3. Метод Кочрена—Оркатта і, які мінімізують суму квадратів залишків. Коли економетрична модель має вигляд: ; , сума квадратів залишків запишеться так: . Алгоритм і підставляється в формулу суми квадратів залишків. . . і т.д. Процедура продовжується доти, доки послідовні значення параметрів не будуть відрізнятися менше ніж на задану величину. 4. Метод Дарбіна Цей метод базується на простій двокроковій процедурі. Крок 1. Підставимо значення залишків, яке підкоряється авторегресійній моделі першого порядку , в економетричну модель , тоді одержимо: , . Звідси (t в даному випадку має скалярну матрицю дисперсій: . , а метод 1МНК уже застосовується для перетворених даних. Прогноз на основі економетричної моделі з автокорельованими залишками виконується так: . Економетрична модель з автокорельованими залишками: побудова та аналіз Приклад 6.2. На основі двох взаємопов’язаних часових рядів про роздрібний товарообіг та доходи населення побудувати економетричну модель, що характеризує залежність роздрібного товарообігу від доходу. Вихідні дані наведені в табл. 6.1. Таблиця 6.1 Рік Роздрібний товарообіг Дохід 1-й 24,0 27,1 2-й 25,0 28,2 3-й 25,7 29,3 4-й 27,0 31,3 5-й 28,8 34,0 6-й 30,8 36,0 7-й 33,8 38,7 8-й 38,1 43,2 9-й 43,4 50,0 10-й 45,5 52,1 Розв’язання 1. Ідентифікуємо змінні моделі: Yt — роздрібний товарообіг у період t, залежна змінна; , пояснююча змінна; , де ut — стохастична складова, залишки. 2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі: ; ; . некорельовані: , . ; ; ; ; . Економетрична модель має вигляд: . і визначимо залишки ut. - H J v x ?   c ¤ ? o ? ? u i `„? j j `„? j j 585:5<5>[email protected]?6″7T7ooaeaeaeaeaeaeUUaeIUaeaeaeaeaeaeaeaeUU

d8`„?a$

T7¤7Oe7O7e7i7?8 9?:E;¶4>b>”>?>ae>(?6?f?I?th?A?B/essess////sssss
sss/e/e/e//e/e//

`„?a$

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

Таблиця 6.2

322,1

1,4151

1,1550 0,7276

5. Знайдемо оцінку критерію Дарбіна—Уотсона:

.

у цьому випадку:

— нижня межа;

— верхня межа.

можна стверджувати, що залишки ut мають додатню автокореляцію.

Наявність чи відсутність автокореляції залишків можна також визначити на
основі критерію фон Неймана.

табл, то існує додатня автокореляція залишків.

6. Використаємо метод Ейткена для оцінки параметрів економетричної
моделі з автокорельованими залишками. Оператор оцінювання запишеться
так:

;

.

— матриця коваріацій залишків, яка має вигляд:

;

.

, яка характеризує взаємозв’язок між послідовними членами ряду
залишків.

Нехай залишки описуються автокореляційною моделлю першого ступеня:

;

.

має вигляд:

:

7. Згідно з оператором Ейткена розрахуємо:

;

;

;

;

.

Таким чином, економетрична модель має вигляд:

. (1)

на основі побудованої економетричної моделі та визначимо залишки.

Таблиця 6.3

1,6069

1,1514 0,9908

9. Розрахуємо критерій Дарбіна—Уотсона:

факт < DW1, приходимо до висновку, що ми не звільнились від автокореляції залишків. Це означає, що вихідна гіпотеза, коли залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку, не дотримується. Якщо залишки описуються авторегресійною схемою більш високого порядку, то доцільно виконати оцінку параметрів моделі методом Кочрена—Оркатта або Дарбіна; Альтернативний способ оцінки параметрів за методом Ейткена Виконаємо оцінку параметрів моделі, скориставшись оберненою матрицею S-1, яка має вигляд: Підставимо ( = 0,77, в результаті маємо: Вектор оцінок параметрів моделі дорівнює: . і економетрична модель набуде такого вигляду: . (2) , коли коваріація залишків при s ( 2 відсутня. В цьому випадку побудова моделі спрощується, а точність оцінок не зменшується. Оцінка параметрів моделі методом перетворення вихідної інформації Оцінимо параметри економетричної моделі на основі методу перетворення вихідної інформації. Вихідну інформацію будемо коригувати за допомогою матриці T1: Приклад 6.3. На основі даних, які наведені в табл. 6.1 (приклад 6.2), необхідно оцінити параметри економетричної моделі, яка має автокорельовані залишки, методом перетворення вихідної інформації. Розв’язання 1. Сформуємо матрицю T1 для перетворення вихідних даних: 2. Перетворимо змінні Yt, Xt на основі матриці T1: 3. Для перетворених даних використаємо оператор 1МНК: . тоді: ; ; ; . Економетрична модель: . (3) Оцінки параметрів моделі, які визначені на основі методу перетворення вихідної інформації, не відрізняються від оцінок, отриманих за методом Ейткена при різних матрицях коваріацій залишків. Це означає, що обидва методи є альтернативними, коли залишки є стаціонарним марковським процесом. дорівнює: ; . Економетрична модель запишеться: . (4) Оцінки параметрів моделі (4) відрізняються від оцінок параметрів моделей (1), (2), (3). А це означає, що перетворення вихідних даних на основі матриці T2 дає лише певне наближення до істинних оцінок і використовувати його треба обережно. . Розв’язання 1. Запишемо співвідношення, яке буде визначати прогнозний рівень залежної змінної: , — оцінка прогнозної величини; — залишки прогнозу. 2. Використаємо економетричну модель роздрібного товарообігу (1) (приклад 6.2) для розрахунку прогнозу: . — коефіцієнт коваріації залишків; en — залишки по моделі для t = 10; ( = 0,77; en = = 0,77 ( 0,18 ( 0,14. 4. Визначимо прогнозний рівень роздрібного товарообігу на одинадцятий рік (n + 1): . ЛІТЕРАТУРА Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964. PAGE PAGE aai ,

Похожие записи