Реферат на тему:

Побудова економетричної моделі на основі системи одночасових структурних
рівнянь

Наявність прямих та зворотніх зв’язків між економічними показниками в
багатьох випадках вимагає використання системи одночасових рівнянь.
Вони, як правило, містять лінійні рівняння. Нелінійність зв’язків
апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв’язків
ураховується за допомогою часових лагів або лагових змінних.

Система одночасових структурних рівнянь в матричному вигляді має такий
вигляд:

.

, то одержимо приведену форму моделі, яка має вигляд:

,

.

Зв’язок між коефіцієнтами структурної і приведеної форми моделі
визначиться:

,

,

.

Оцінка параметрів моделі на основі одночасових рівнянь методом 1МНК буде
давати зміщення, яке буде дорівнювати:

, де

— момент другого порядку залежної змінної, який прямує до деякої
константи.

Чисельна оцінка параметрів моделі на основі одночасових структурних
рівнянь пов’язана з проблемою ідентифікації.

Необхідна умова ідентифікації системи — справедливість нерівності для
кожного рівняння:

-те рівняння структурної форми;

— загальна кількість екзогенних змінних моделі;

-те рівняння структурної форми моделі.

Якщо записане вище співвідношення виконується як рівність, то відповідне
рівняння є строгоідентифікованим, а коли — як нерівність, то відповідне
рівняння є надідентифікованим.

є трикутною, а залишки характеризуються діагональною матрицею виду:

,

то така система рівнянь називається рекурсивною і для оцінки параметрів
такої моделі можна застосувати 1МНК.

Якщо кожне рівняння моделі є строгоідентифікованим, то для оцінки
параметрів моделі можна застосувати непрямий метод найменших квадратів
(НМНК). Алгоритм цього методу складається з чотирьох кроків:

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння. Якщо
кожне рівняння точноідентифіковане, то виконується перехід до кроку 2.

Крок 2. Перехід від структурної форми моделі до приведеної.

Крок 3. Оцінка параметрів кожного рівняння приведеної форми моделі 1МНК.

Крок 4. Розрахунок оцінок параметрів рівнянь структурної форми на основі
співвідношення:

,

— матриця оцінок параметрів приведеної форми моделі.

Якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то для оцінки
параметрів моделі застосовується двокроковий метод найменших квадратів
(2МНК). Система рівнянь для обчислення оцінок двокроковим методом
найменших квадратів запишеться так:

,

— вектор залежної або ендогенної змінної;

— матриця поточних ендогенних змінних, які входять у праву частину
рівняння;

Х — матриця всіх пояснюючих або екзогенних змінних;

— матриця пояснюючих або екзогенних змінних даного рівняння;

;

.

Oператор оцінювання 2МНК:

Дисперсія залишків для кожного рівняння:

.

Матриця коваріацій параметрів кожного рівняння визначається на основі
співвідношення:

Трикроковий метод найменших квадратів (3МНК), на відміну від попередніх,
призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі.
Оператор оцінювання 3МНК матиме вигляд:

— оцінки параметрів моделі;

-го рівняння;

.

Щоб застосувати 3МНК на практиці, необхідно дотримання таких вимог:

1) приступаючи до оцінки параметрів моделі, необхідно виключити всі
тотожності;

2) виключити із системи кожне неідентифіковане рівняння;

3) при наявності серед рівнянь системи точноідентифікованих та
надідентифікованих, 3МНК доцільно застосувати до кожної з груп рівнянь
окремо;

4) якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то
3МНК перетворюється в 2МНК.

Якщо матриця коваріацій для структурних залишків є блочно-діагональною,
то вся процедура оцінювання на основі 3МНК може бути застосована окремо
для кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку.

Точковий прогноз залежних змінних визначається на основі приведеної
форми економетричної моделі:

,

— вектор прогнозних екзогенних змінних.

Довірчі інтервали для кожної ендогенної змінної задаються
сіввідношенням:

,

— го рівняння моделі;

.

Довірчі інтервали для всіх ендогенних змінних визначаються так:

,

— незміщена дисперсія залишків всіх рівнянь моделі.

Ці інтервали будуть ширшими, ніж у випадку, коли їх задавати для кожної
ендогенної змінної окремо.

Економетрична модель на основі системи рівнянь:

побудова й аналіз

Приклад 9.1. Нехай задана економетрична модель на основі системи
одночасових структурних рівнянь:

— ендогенні змінні;

— екзогенні змінні;

— некорельовані залишки з нульовими середніми.

. Укажіть, які методи доцільно використати для оцінки параметрів
кожного рівняння.

Розв’язання

Запишемо умову ідентифікованості структурних рівнянь:

,

-те рівняння;

-те рівняння;

— загальна кількість екзогенних змінних.

Для першого рівняння:

;

;

.

, тобто рівняння системи є надідентифікованим.

Для другого рівняння:

;

;

.

тобто друге рівняння системи є точноідентифікованим.

Для третього рівняння:

;

;

.

тобто це рівняння системи є також точноідентифікованим.

Зважаючи на те, що перше рівняння моделі є надідентифікованим, для
оцінки його параметрів можна використати метод 2МНК.

Друге та третє рівняння моделі є точноідентифікованими, тому для оцінки
параметрів цих рівнянь можна використати як метод 2МНК, так і НМНК.
Обидва методи дають однакові оцінки параметрів моделі.

Приклад 9.2. На основі даних, які наведені у табл. 9.1, треба побудувати
економетричну модель попиту й пропозиції. Дати аналіз побудованої
моделі.

Таблиця 9.1

Номер спостереження Рівноважна кількість споживання продукту

) Дохід на душу населення, млн.грн.

)

1 43 0,35 9 0,10

2 48 0,40 11 0,15

3 50 0,41 12 0,16

4 52 0,39 14 0,12

5 49 0,52 10 0,18

6 55 0,38 15 0,12

7 53 0,56 17 0,20

8 58 0,40 20 0,16

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

— рівноважна кількість споживання продукту, ендогенна змінна;

— ціна за одиницю продукції, ендогенна змінна;

–– дохід на душу населення, екзогенна змінна;

–– витрати на виробництво одиниці продукції, екзогенна змінна.

;

;

.

2. Специфікуємо модель на основі системи одночасових структурних
рівнянь:

;

;

.

?

- P J

|

O U Ue TH J

L

r

t

v

x

?

1/4

3/4

A

#A#/eess/eeeess/e////ss/eO/eee

[email protected]

j

j

j

j

j

j

j

j

3/4JAJAJAeJUeJTHJ-KUII=II

j

`„?

„J

`„J

Цю систему одночасових структурних рівнянь можна переписати у вигляді:

;

.

3. Розглянемо умови ідентифікованості кожного рівняння моделі:

;

;

;

, звідси перше рівняння системи є точноідентифікованим.

;

;

;

, звідси друге рівняння системи є також точноідентифікованим.

Оскільки обидва рівняння системи є точноідентифікованими, то оцінку
параметрів моделі можна виконати непрямим методом найменших квадратів.

4. Оцінимо параметри моделі НМНК.

підставимо вираз у правій частині першого рівняння.

Запишемо:

(1); (1)

(2). (2)

у друге рівняння, звідси:

;

;

;

.

і отримаємо:

.

Замінимо

;

;

.

В результаті отримаємо друге рівняння моделі в приведеній формі:

.

(2) підставимо в перше рівняння моделі (1) і приведемо його до
приведеної форми.

;

.

в ліву частину рівняння:

.

і отримаємо:

.

Замінимо:

;

;

.

В результаті отримаємо перше рівняння моделі в приведеній формі:

.

Таким чином, економетрична модель в приведеній формі:

;

.

Оцінимо параметри кожного рівняння цієї моделі за методом 1МНК:

.

Стандартні помилки:

;

.

.

Стандартні помилки:

;

.

Перейдемо від приведеної форми до структурної. Для цього розв’яжемо
систему рівнянь:

,

де

;

;

.

Звідси:

;

.

Перемноживши матриці, одержимо систему рівнянь:

.

Ця система містить шість невідомих параметрів. Виразивши два з них через
два інші (друге та третє рівняння) перейдемо до системи чотирьох
лінійних рівнянь з чотирма невідомими. Розв’язавши її, знайдемо невідомі
параметри економетричної моделі в структурній формі.

з другого.

з другого рівняння приведеної форми моделі:

;

;

.

Підставимо це значення в перше рівняння приведеної форми моделі:

.

з першого рівняння приведеної форми моделі:

;

;

.

Підставимо це значення в друге рівняння приведеної форми моделі:

;

.

Таким чином, економетрична модель у структурній формі
запишеться так:

;

.

Визначимо коефіцієнти еластичності:

;

;

.

На основі коефіцієнтів еластичності можна зробити висновок, що при
зростанні ціни на 1% рівноважна кількість споживання продукту
збільшиться на 0,016%. При збільшенні доходу на 1% рівноважна кількість
споживання збільшиться на 0,298%. Зростання затрат на виробництво на 1%
сприятиме зниженню ціни на 1,07%.

Серед цих співвідношень лише друге, яке характеризує зв’язок між доходом
і кількістю споживання, може відповідати реальним умовам. Перше та третє
співвідношення не відповідають теоретичним уявленням про цей зв’язок. На
практиці, як правило, він має протилежний напрямок. Зростання цін може
знижувати споживання, а збільшення затрат на виробництво буде сприяти
зростанню цін, а не навпаки. Але тут треба мати на увазі, що дані
розглянутого прикладу є умовними, які використані для відпрацювання
методики використання НМНК.

Приклад 9.3. Нехай спостереження вихідних даних задані у вигляді таких
матриць:

Економетрична модель, яка може бути побудована на основі цих даних,
складається з трьох рівнянь, одне з яких має вигляд:

.

. Необхідно знайти оцінки параметрів цього рівняння моделі на основі
двокрокового методу найменших квадратів та оцінити її стандартні
помилки, якщо дисперсія залишків дорівнює 0,6.

Розв’язання

Крок 1. Перевіримо рівняння моделі на ідентифікованість. Для цього
розглянемо нерівність

,

— кількість ендогенних змінних, які входять у це рівняння;

— загальна кількість екзогенних змінних;

— кількість екзогенних змінних, що входять у це рівняння моделі;

Таким чином, наведене рівняння моделі є надідентифікованим.

Крок 2. Запишемо оператор оцінювання параметрів 2МНК:

.

У цьому операторі:

;

;

— матриця всіх пояснюючих (екзогенних) змінних моделі:

;

Крок 3. Знайдемо добуток матриць згідно з оператором оцінювання 2МНК:

.

Ці дані взяті з матриці (другий та третій рядки).

.

теж діагональна матриця.

.

Звідси блочна матриця має вигляд:

.

:

.

3.7. Розрахуємо добуток матриць, що знаходяться в правій частині
оператора:

.

.

Крок 4. Визначимо оцінки параметрів з рівняння:

.

Перше рівняння економетричної моделі запишеться так:

.

Крок 5. Визначимо асимптотичні стандартні помилки знайдених оцінок
параметрів рівняння:

;

;

;

;

;

.

Стандартні помилки відносно абсолютного значення становлять відповідно
24,9% , 28,8% , 38,7% , а це свідчить про те, що оцінки параметрів
рівняння є зміщеними й неефективними.

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

Похожие записи