Реферат на тему:

Економетричні моделі на основі системи структурних рівнянь

Системи одночасових структурних рівнянь

Наявність прямих і зворотних зв’язків між економічними показниками
вимагає побудови економетричної моделі на основі системи рівнянь.

Приклад 11.1. Нехай треба побудувати економетричну модель, яка
характеризує обсяг національного доходу залежно від виробничих ресурсів:
основних виробничих фондів, робочої сили і матеріальних ресурсів. У
такому разі доцільно будувати економетричну модель на основі системи
одночасових структурних рівнянь:

— внутрішній валовий продукт;

— основні виробничі фонди;

— робоча сила;

— матеріальні ресурси;

— період часу.

Запишемо два перші рівняння аналітично:

— залишки.

Отже, економетрична модель складається з трьох одночасових рівнянь, два
перших є регресійними, а третє — тотожність. Оскільки вони описують
економічні процеси, які відбуваються одночасно, то всі ці рівняння
повинні мати спільний розв’язок.

Приклад 11.2. Нехай треба визначити темпи зниження собівартості
продукції на підприємстві залежно від темпу росту продуктивності праці і
підвищення заробітної плати, задавши при цьому співвідношення між
темпами зміни собівартості продукції і заробітної плати на рівні k.

Такий взаємозв’язок можна визначити на основі економетричної моделі, яка
також описується системою одночасових структурних рівнянь:

— індекс зниження собівартості продукції;

— темп росту продуктивності праці;

— темп росту заробітної плати;

u — залишки.

Ця модель містить два рівняння, одне з них є регресійним, а друге —
тотожність. Вона може бути доповнена ще двома регресійними рівняннями,
які кількісно описуватимуть залежність темпу росту продуктивності праці,
темпу росту заробітної плати від основних чинників. Так, наприклад:

;

;

;

.

Ця економетрична модель складається з чотирьох одночасових рівнянь, три
перші з яких є регресійними, а четверте — тотожність.

Економетрична модель, яка наведена в прикладі 11.1, застосовується для
кількісного вимірювання взаємозв’язку на макрорівні, а модель, що
наведена в прикладі 11.2, — на мікрорівні. Згадані моделі є
найпростішими, бо в них відсутні лагові змінні.

, бо обсяг виробництва продукції в період t залежить від виробництва
в попередній період (t–1). Звідси модель запишеться:

.

Узагальнюючи моделі вище наведених прикладів, можна сказати, що
економетрична модель містить сукупність рівнянь, які описують зв’язки
між економічними показниками. Взаємозв’язки між змінними можуть мати
стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв’язки реалізуються
з деяким рівнем імовірності і описуються регресійними рівняннями.
Детерміновані співвідношення виражаються тотожностями і не містять
випадкових величин.

Системи одночасових структурних рівнянь, як правило, включають лінійні
рівняння. Нелінійність зв’язків здебільшого апроксимується лінійними
співвідношеннями. Динаміка економічних зв’язків враховується за
допомогою часових лагів, або лагових змінних.

Запишемо економетричну модель на основі системи одночасових рівнянь:

(11.1)

, де s = 1,2, …, k, також можуть дорівнювати нулю, якщо відповідне
рівняння є тотожністю. Систему (11.1) можна переписати в матричній формі

(11.2)

де Y — вектор ендогенних залежних змінних;

X — матриця ендогенних пояснювальних змінних;

u — вектор залишків;

A — матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k ( k;

B — матриця коефіцієнтів при змінних X розміром k ( m;

Змінні, які містяться в правій частині системи рівнянь, є наперед
заданими (вхідними) і називаються екзогенними, а змінні, які містяться в
лівій частині, знаходяться в результаті реалізації моделі і називаються
ендогенними. Отже, змінна у є ендогенною для одного рівняння і одночасно
екзогенною для іншого.

Означення 11.1. Економетрична модель у вигляді (11.1) безпосередньо
відображає структуру зв’язків між змінними і тому називається
структурною формою економетричної моделі.

Розв’яжемо систему рівнянь (11.1) відносно Y і дістанемо систему виду:

(11.3)

У матричній формі систему цих рівнянь можна переписати так:

Матриця оцінок параметрів R має вигляд:

(11.4)

де E — одинична матриця.

Щоб показати справедливість співвідношення (11.4), розв’яжемо систему
рівнянь (11.2) відносно Y:

Y – AY = BX + u;

(E – A)Y = BX + u;

Y = (E – A)–1BX + u.

Враховуючи, що Y = RX + v, R = (E – A)–1B.

.

Означення 11.2. Економетрична модель, яка записується системою рівнянь
(11.3), називається зведеною формою моделі.

оскільки економетрична модель складається з системи одночасових рівнянь,
то постає запитання: чи можна застосувати для оцінювання параметрів
кожного рівняння або системи в цілому ті методи, які були розглянуті в
попередніх розділах?

Запишемо просту модель, яка складається з двох рівнянь:

(11.5)

— споживчі витрати;

— дохід;

— неспоживчі витрати;

— залишки;

— період часу.

Перше рівняння моделі характеризує залежність між споживчими витратами і
доходом. Друге рівняння є тотожністю, в якій показано, що дохід
визначається як сума двох видів витрат — споживчих і неспоживчих.

є випадковими,

(11.6)

з першого рівняння моделі в друге, дістанемо:

:

існує залежність. Щоб переконатись в цьому, запишемо:

, отже, як і в разі помилок у змінних, безпосереднє застосування до
(11.5) 1МНК спричиниться до зміщення оцінок параметрів (0 і (1. Це
зміщення виникає, коли вибіркова сукупність є скінченною. Але оскільки,
що оцінки будуть необгрунтованими, то зміщення збережеться і для великих
вибіркових сукупностей.

Щоб визначити величину зміщення, запишемо моменти другого порядку:

Тоді оцінки 1МНК параметрів моделі (11.5) будуть дорівнювати:

, дістанемо:

(11.7)

(11.8)

Знайдемо відхилення від середніх:

Підставивши ці значення у формулу моментів, запишемо:

Тоді

Z і u незалежні, дістанемо:

.

. Тоді

(11.9)

— величина зміщення.

Проблеми ідентифікації

Проблеми чисельної оцінки параметрів в структурній формі і можливість
перетворення структурної форми на зведену тісно пов’язані з поняттям
ідентифікації моделі.

Означення 11.3. Якщо ніяка лінійна комбінація рівнянь структурної форми
не може привести до рівняння, що має ті самі змінні, як і деяке рівняння
в структурній формі, то модель буде ідентифікованою.

Для ідентифікації моделей зведена форма визначається однозначно за
допомогою співвідношень (11.3). Матриця E – A завжди невироджена. Умова
ідентифікації має перевірятися для кожного рівняння системи.

Необхідна умова ідентифікації системи — справедливість нерівності для
кожного рівняння моделі (11.1):

(11.10)

— кількість залежних ендогенних змінних, які входять в s-те рівняння
структурної форми;

m — загальна кількість екзогенних змінних моделі;

— кількість екзогенних змінних, які входять в s-те рівняння
структурної форми моделі.

.

Означення 11.4. Якщо для всіх рівнянь моделі (11.1) співвідношення
(11.10) виконується як рівність, то система рівнянь є точно
ідентифікованою.

Зауважимо, що прoблема ідентифікації стосується структурних параметрів,
а не параметрів зведеної форми. Вона може бути сформульована так: чи
можна однозначно визначити деякі чи всі елементи матриць A і B, знаючи
елементи матриці R?

Запишемо зв’язок між коефіцієнтами структурної і зведеної форм:

,

що можна записати як

(11.11)

.

Матриця Г має порядок k (r + k) і містить всі структурні коефіцієнти
моделі, а матриця W порядку (r + k) k має ранг k.

Якщо перший рядок параметрів матриці Г позначити через a1, то перше з
рівнянь (11.11) можна записати

, (11.12)

не може бути однозначно визначений з цієї системи рівнянь.

дорівнюють нулю і відповідні їм змінні відсутні в першому рівнянні. Ці
обмеження можна записати у вигляді

, (11.13)

маємо:

Означення 11.5. Якщо для всіх рівнянь моделі співвідношення (11.10)
виконується як нерівність, то система рівнянь є надідентифікованою.

задовольняють (11.12) і (11.13), вони мають задовольняти і
співвідношення:

.

E

I

|

////////////////i/aa***a

gd-%?

¦ ? ? ? O O Oe O U

:

< >

@

~

?

¦

¦

?

?

¬

ae

ae

|

a

iiiia***aaaaEEaaaaa3/43/43/4

gd-%?

gd-%?

„T`„Ta$gd-%?

gd-%?

gd-%?

gd-%?

gd-%?

gd-%?

gd-%?

a$gd-%?

FBFrFcF-G~GtHiiiiaa*aEaEaEEaa3/43/43/4aEa

J

gd-%?

gd-%?

a$gd-%?

jO

jO

gd-%?

gd-%?

gd-%?

jU

jU

j,

j,

cpd d°e?fooooUooIAE?ooo?oo?oIUo

gd-%?

gd-%?

ajaocccoss**3/4c??css–cc

gd-%?

gd-%?

gd-%?

, тобто число апріорних обмежень має бути не меншим, за кількість
рівнянь моделі, зменшених на одиницю. Якщо апріорними обмеженнями є
обмеження щодо виключення змінних, то необхідна умова ідентифікації
певного рівняння така:

число змінних, які виключені з рівняння, має дорівнювати числу рівнянь
моделі мінус одиниця.

Альтернативна умова ідентифікації була записана нами в (11.10):

яка потребує, щоб число виключених із рівняння екзогенних змінних було
не меншим, ніж число ендогенних змінних мінус одиниця.

Рекурсивні системи

Означення 11.6. Якщо в економетричній моделі (11.2) матриця A має
трикутний вид, а залишки характеризуються діагональною матрицею (, то
така система рівнянь називається рекурсивною.

Нехай економетрична модель на основі одночасових структурних рівнянь
запишеться так:

(11.14)

матриця для неї

. (11.15)

Як відомо, труднощі оцінки системи рівнянь виникають тоді, коли
спостерігається кореляція між залишками і залежними змінними. Тому нам
потрібно переконатись в тому, що спеціальні властивості рекурсивної
моделі дають змогу подолати ці труднощі.

Запишемо структурні рівняння в матричному вигляді

. (11.16)

Зведена форма їх запишеться так:

, (11.17)

. (11.18)

і перейдемо в обох частинах здобутої рівності до границі за
ймовірністю:

 = 0, то справджується рівність

.

Запишемо ліву частину рівності, скориставшись (11.18):

(11.19)

Коли економетрична модель має три структурні рівняння і три залежні
змінні, то (11.20) можна записати так:

(11.20)

,

.

. A це означає, що для оцінки параметрів системи (11.13) можна
застосувати 1МНК. У численних публікаціях Волда [1] показано, що реальні
економічні системи найчастіше описуються рекурсивними системами рівнянь.
Цей висновок він аргументує тим, що реальне формування кожного з
показників, які входять до моделі, є неодночасовим. Наприклад,
залежність ціни від пропозиції товару на ринку. Якщо часовий період
дорівнює одному дню, то ціна на товар в t-й день встановлюється у
врахуванням продажу в t–1 день, тоді як попит на товар залежить від
ціни, за якою продавався товар в цей самий день. Запишемо ці рівняння:

(11.21)

— розглядається як екзогенна змінна, яка бере участь у послідовності
причинних зв’язків.

Ця послідовність містить тільки прямі зв’язки, що дозволяє нам вважати
залишки незалежними.

утворюють таку матрицю:

Оскільки залишки в рівняннях нормально розподілені, то для оцінювання
параметрів моделі можна використати 1МНК.

Приклад 11.3. Розглянемо модель,яка складається з рівняння пропозиції та
рівняння попиту на свинину. Нехай ці рівняння специфікуються на основі
степеневих або логарифмічних функцій:

(11.22)

). Випадкова змінна ut характеризує залишки, на величину яких можуть
впливати ті чинники, якими знехтували: витрати кормів, технологічні
зміни і т.ін.

) в цьому ж періоді. Змінна vt характеризує залишки в цьому рівнянні.

(s = 1,2).

 = 1 — кількість ендогенних змінних, які входять в перше рівняння;

 = 2 — кількість ендогенних змінних, які входять в друге рівняння;

m = 1 — кількість екзогенних змінних моделі;

 = 1 — кількість екзогенних змінних в першому рівнянні;

m2 = 0 — кількість екзогенних змінних в другому рівнянні.

Оскільки :

для I рівняння:

0 = 0;

для II рівняння:

1 = 1,

то система рівнянь точно ідентифікована.

Застосувавши 1МНК для оцінювання параметрів моделі, маємо

Коефіцієнти при пояснювальних змінних характеризують еластичність: у
I-му рівнянні — еластичність пропозиції свинини від ціни на неї в
попередньому році, тобто якщо ціна в періоді t – 1 підвищиться на 1 %,
то

, тобто якщо ціна підвищиться на 1 %, то попит на свинину знизиться на
6,83 %.

Непрямий метод найменших квадратів

(НМНК)

Повернемось до моделі (11.5), яка має два структурні рівняння. В
параграфі 11.1 було показано, що між залежною змінною Yt і залишками ut
існує кореляція. Застосування 1МНК для оцінки параметрів цієї моделі дає
зміщення. Тому необхідно розглянути альтернативні методи оцінки
параметрів, які дозволили б уникнути зміщення. Один з таких методів є
непрямий метод найменших квадратів. Він складається з двох процедур.
Спочатку застосовується 1МНК для оцінки параметрів кожного рівняння
зведеної форми моделі (11.7)–(11.8). Основна особливість такої форми
полягає в тому, що її здобуто в результаті розв’язування структурної
системи рівнянь відносно поточних значень ендогенних змінних, і зведена
форма виражає їх як функції всіх інших змінних моделі таким чином, що
кожне рівняння в такій формі має поточне значення тільки однієї
ендогенної змінної.

Припущення (11.6) дозволяють безпосередньо застосувати 1МНК для
оцінювання коефіцієнтів рівнянь зведеної форми, тобто рівнянь (11.7) і
(11.8). Звідси:

; (11.23)

; (11.24)

першого рівняння; (11.25)

другого рівняння. (11.26)

для першого рівняння структурної форми:

.

, де малими буквами позначені відхилення від середніх, то справджується
рівність:

Звідси

. (11.27)

Це значення параметра також можна було одержати на основі (11.24).

.

. (11.28)

, знайденої за формулою (11.27), запишемо:

.

. Щоб визначити зміщення для скінченної вибіркової сукупності,
обчислимо математичне сподівання

.

) = 0.

 = 0,4870, тобто параметр має зміщення в бік

:

Таблиця 11.1

= 0,4870

Виходячи із викладеного вище та наведеного прикладу, можна сказати, що
непрямий метод найменших квадратів дає обгрунтовану оцінку параметрів
рівнянь структурної форми моделі, але вона буде мати зміщення в бік
заниження її рівня. Тому цей метод застосовується тільки за деяких
спеціальних умов, а саме — точної ідентифікованості рівнянь структурної
форми.

Алгоритм непрямого методу найменших квадратів.

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння
структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно індентифіковане, то
переходимо до кроку 2.

Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв’язується відносно однієї з
k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної
форми моделі.

Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного
рівняння зведеної форми.

Крок 4. Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за
допомогою співвідношення AR = –B, де A і B параметри структурних
рівнянь, а R — матриця оцінок параметрів зведеної форми.

Двокроковий метод найменших квадратів

(2МНК)

Якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то непрямий
метод найменших квадратів застосувати не можна, а користуватись 1МНК
недоцільно, тому необхідно розглянути інші методи, які розроблені
спеціально для таких моделей. Одним з цих методів є двокроковий метод
найменших квадратів (2МНК).

Розглянемо спочатку ідею методу. Вона полягає в тому, щоб «очистити»
поточні ендогенні змінні Y від стохастичної складової, бо вони пов’язані
із залишками u. Так, на основі моделі (11.5) застосуємо 1МНК для
економетричної моделі:

, (11.29)

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

Похожие записи