РЕФЕРАТ
На тему:
Визначення очікуваної дохідності та ризику портфеля
Портфель, який формує інвестор, складається з кількох активів, кожний з
яких має свою очікувану дохідність.
Очікувана дохідність портфеля цінних паперів визначається як
середньозважена очікувана дохідність активів, які входять до його
складу, а саме:
,
де E(rp) — очікувана дохідність портфеля;
E(r1), E(r2), E(rn) — очікувана дохідність відповідно першого, другого
та n-го активів;
W1, W2, Wn — питома вага в портфелі першого, другого та n-го активів.
Формула для визначення очікуваної дохідності портфеля може бути записана
в компактнішому вигляді:
,
де Wі — питома вага активу в портфелі.
Питома вага активу в портфелі розраховується як відношення його вартості
(Рі) до вартості всього портфеля (Рn):
.
Сума питомої ваги всіх активів, які входять до складу портфеля, завжди
дорівнює одиниці.
Запишемо формулу визначення очікуваної дохідності активу в загальному
вигляді.
,
де E(r) — очікувана дохідність активу;
E(ri) — очікувана дохідність активу в і-му випадку;
(і — імовірність отримання дохідності в і-му випадку.
Коли інвестор купує актив, він орієнтується не тільки на значення його
очікуваної дохідності, але й на рівень його ризику. Очікувана
дохідність — це певна величина, яку очікує отримати інвестор, наприклад
15 %. Однак на практиці вона може бути більшою або меншою 15 %. Отже,
ризик інвестора полягає в тому, що він може отримати результат, який
відрізняється від очікуваного. Якщо фактична дохідність буде більшою
15 %, то це плюс для інвестора. На практиці як ступінь ризику
використовують показники дисперсії та стандартного відхилення. Вони
показують, наскільки та з якою ймовірністю фактична дохідність активу
може відрізнятися від очікуваної, тобто середньої. Ці параметри
враховують відхилення як у бік збільшення, так і зменшення дохідності
порівняно з очікуваним значенням.
Дисперсія визначається відхиленням можливих норм дохідності.
,
де (2 — дисперсія дохідності активу;
n — кількість періодів спостереження;
— середня дохідність активу;
ri — дохідність активу в і-му періоді.
Середня дохідність активу визначається як середнє арифметичне
дохідностей активів за періоди спостереження.
.
Стандартне відхилення визначається як квадратний корінь з дисперсії.
.
Очікуваний ризик портфеля — сполучення стандартних відхилень (дисперсій)
активів, які входять до його складу. Однак на відміну від очікуваної
дохідності портфеля, його ризик не обов’язково є середньозваженою
величиною стандартних відхилень (дисперсій) дохідностей активів. Справа
в тому, що різні активи можуть по-різному реагувати на зміни кон’юнктури
ринку. У результаті стандартні відхилення (дисперсії) дохідності різних
активів у певних випадках будуть гасити один одного, що приведе до
зниження ризику портфеля, який залежить від того, у якому напрямі
змінюються дохідності активів за зміни кон’юнктури ринку й наскільки.
Для визначення ступеня взаємозв’язку й напряму зміни дохідностей
використовують показник коваріації, який показує, до якої міри дві
змінні разом змінюються в часі. Аналіз портфеля зазвичай звертає увагу
на коваріації норм дохідності. Позитивна коваріація означає, що норми
дохідності двох інвестицій мають тенденцію змінюватись в одному напрямі
за певний час. Від’ємна ж показує, що норми дохідності двох інвестицій
мають тенденцію змінюватись у різних напрямах за певний час.
Для двох активів (А і В) коваріація норм дохідності визначається в такий
спосіб:
,
де COVА, В — коваріація дохідності активів А і В;
— середня дохідність активу А за n періодів;
— середня дохідність активу В за n періодів;
rAі — дохідність активу А в і-му періоді;
rBі — дохідність активу В в і-му періоді;
n — кількість періодів, за які реєструвалась дохідність активів А і В.
Щоб обчислити кореляцію між двома акціями або іншими інвестиціями,
потрібно обчислити такі математичні значення:
1) дисперсію для доходу кожного активу;
2) стандартне відхилення для доходу кожного активу;
3) коваріацію між двома доходами цих активів.
Іншим показником ступеня взаємозв’язку змін дохідностей двох активів є
коефіцієнт кореляції, який розраховується за такою формулою:
,
де CORRA, B — коефіцієнт кореляції дохідності активів А і В;
СОVА,В — коваріація дохідності активів А і В;
(А — стандартне відхилення дохідності активу А;
(В — стандартне відхилення активу В.
Коефіцієнт кореляції може змінюватися в межах від –1 до +1. Якщо це
означає, що між ними існує позитивне лінійне відношення, то доходи двох
акцій змінюються разом лінійним способом. Якщо це означає негативне
лінійне відхилення між двома серіями доходу, норма дохідності за одним
активом буде на певну величину вищою від середнього значення, а за іншим
активом — нижчою від нього. За нульового значення коефіцієнта кореляції
між дохідностями активів немає.
Ризик портфеля, який складається з двох активів, розраховується за такою
формулою:
,
— ризик (дисперсія) портфеля;
WA — питома вага активу А в портфелі;
WВ — питома вага активу В в портфелі;
COVA, B — коваріація дохідностей активів А і В.
Оскільки
,
то формулу
можна переписати, скориставшись коефіцієнтом кореляції:
,
.
Якщо один портфель (актив) має вищий рівень дохідності, ніж інші
портфелі (активи), за того самого ризику або нижчий ризик за тієї самої
дохідності, то його називають домінуючим портфелем (активом). На
рис. 12.1 домінуючим портфелем буде Р2, оскільки і Р1, і Р2 мають
однаковий ризик ((1), але дохідність портфеля Р2 (r2) більша ніж
дохідність портфеля Р1 (r1). Аналогічно портфель Р2 буде домінуючим
відносно Р3, оскільки обидва вони мають однакову дохідність (r1), але
ризик портфеля Р2 ((2) менший за ризик портфеля Р3 ((3). У той самий
час, якщо порівняти портфелі Р1 і Р4, то не можна сказати, який з них є
домінуючим відносно іншого, оскільки вони мають різні значення як
очікуваної дохідності, так і ризику. Портфель Р4 має порівняно з
портфелем Р1 як вищу очікувану дохідність, так і більший ризик.
Рис. 12.1. Варіанти портфелів із двох активів
з кореляцією дохідності меншою +1
Раціональний інвестор завжди зробить вибір на користь домінуючого
портфеля, оскільки це найкращий вибір з погляду дохідності й ризику для
всіх можливих альтернативних варіантів інших портфелів.
Якщо інвестор формує портфель із двох активів, А і В, як показано на
рис. 12.1, то в точці D він зможе отримати для сполучення цих активів
портфель з найменшим рівнем ризику. Щоб його сформувати, потрібно знайти
питому вагу активу А та В. Це можна зробити в такий спосіб.
WA = 1 – WB,
.
Звідси
.
Коли два активи не мають кореляції, то графічно їх неможливо представити
з тим або іншим ступенем наближення у вигляді прямої лінії. У цьому
випадку коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто формула
набуває такого вигляду:
.
Для того щоб краще уявити ідею та ефект диверсифікації портфеля за
різної кореляції дохідностей активів, вище розглядався ризик портфеля,
який складався з двох активів. З цього можна зробити такі загальні
висновки:
1. Якщо портфель об’єднує активи з кореляцією +1, то досягається тільки
усереднення, а не зменшення ризику.
2. Якщо портфель об’єднує активи з кореляцією, меншою +1, то ризик
зменшується. Це досягається зі збереженням незмінного значення
очікуваної дохідності.
3. Зі зменшенням кореляції дохідності активів знижується ризик портфеля.
4. Якщо в портфель об’єднуються активи з кореляцією –1, то його можна
сформувати без ризику.
5. У формуванні портфеля потрібно намагатися об’єднувати в нього активи
з найменшою кореляцією.
Ці висновки правильні і для портфеля, який об’єднує велику кількість
активів.
Ризик портфеля, який складається з декількох активів, розраховується за
такою формулою:
,
— ризик портфеля;
Wi — питома вага і-го активу в портфелі;
Wj — питома вага j-го активу в портфелі;
COVi, j — коваріація дохідності і-го та j-го активів.
Ставлення інвестора до очікуваної дохідності й ризику можна подати у
вигляді графіка кривої байдужості, де на осі абсцис відкладається
ступінь ризику ((р), а на осі ординат — розмір винагороди, мірою якої є
очікувана дохідність.
Графік кривих байдужості гіпотетичного інвестора наведено на рис. 12.2.
Кожна крива байдужості охоплює всі комбінації портфелів, які
забезпечують заданий рівень бажань інвестора. Наприклад, інвестор
вважатиме портфелі А і В рівноцінними, незважаючи на те, що вони мають
різну очікувану дохідність і стандартні відхилення, оскільки обидва ці
портфелі лежать на одній кривій байдужості — І2.
Рис. 12.2. Криві байдужості інвестора
Як видно з графіка на рис. 12.2, портфель В є ризикованішим (його
стандартне відхилення 20 %, портфеля А — 10 %), проте він має вищу
очікувану дохідність — 12 % (у портфеля А — 8 %).
Звідси випливає перша важлива властивість кривих байдужості (недоліком
якої є те, що ці криві не можуть перетинатися): усі портфелі, що лежать
на одній заданій кривій байдужості, є рівноцінними для інвестора.
Другою їх важливою властивістю є те, що інвестор вважатиме будь-який
портфель, що знаходиться на кривій байдужості, розташований вище й
лівіше, привабливішим, ніж той, що лежить на кривій байдужості,
розміщений нижче і правіше.
Будь-який інвестор має теоретично нескінченну кількість кривих
байдужості. Це означає, що як би не були розташовані дві з них на
графіку, завжди є можливість побудувати третю криву, яка б лежала між
ними або вище (чи нижче).
Інвестор, який робить вибір між двома ідентичними портфелями, віддає
перевагу тому, котрий має більшу очікувану дохідність.
Як зазначалося вище, у портфельній теорії Марковіца робляться припущення
про ненасичуваність інвестора та про уникнення ним ризику.
Припущення про ненасичуваність означає, що інвестор завжди віддає
перевагу вищому рівню добробуту. Наприклад, коли є два портфелі А і Е з
однаковим стандартним відхиленням, то інвестор вибере портфель Е з
більшою очікуваною дохідністю (рис. 12.2).
Припущення про запобігання інвестором ризику означає, що він обирає менш
ризикований портфель. Якщо потрібно обирати між портфелями з однаковими
рівнями очікуваної дохідності (на рис. 12.2 портфелі D і F) і, водночас,
різними стандартними відхиленнями як мірами ризикованості портфелів, то
інвестор віддає перевагу тому, котрий має нижче стандартне відхилення
(портфелю F).
Незважаючи на припущення, що всі інвестори намагаються мінімізувати
ризик, роблять вони це в неоднаковій мірі. Інвестори, які уникають
ризику більше, матимуть крутіший нахил кривих байдужості, ніж ті, які
уникають його менше.
Припущення, що інвестор уникає ризику, цілком обґрунтоване, але не
необхідне. Замість нього можна зробити припущення про азартність і
нейтральність щодо ризику.
Якщо інвестор азартний і зіткнеться з «чесною грою», то він вважатиме за
краще взяти в ній участь, оскільки він отримує більше задоволення від
виграшу, ніж розчарування від програшу. За вибору двох інвестиційних
портфелів азартний інвестор за однакової очікуваної дохідності обере
той, що має більше стандартне відхилення.
Є підстави передбачити, що крива байдужості азартного інвестора
(рис. 12.3) матиме негативний нахил, тобто він віддасть перевагу
портфелю, який знаходиться вище і правіше від інших (точка В). Це
пояснюється бажанням отримати максимальний дохід за найбільшого ризику.
Рис. 12.3. Графік кривих байдужості азартного інвестора
Випадок нейтральності до ризику знаходиться між випадками уникнення
ризику та азартності. Нейтральному інвестору все-
одно — брати участь у «чесній грі» чи ні. Це означає, що ризик не є
важливим для інвестора за оцінки портфеля. Крива байдужості такого
інвестора буде горизонтальною лінією (рис. 12.4). Він віддає перевагу
портфелям, розташованим на кривих байдужості якнайвище, тобто таким, які
мають максимальну очікувану дохідність (точка В).
Рис. 12.4. Графік кривих байдужості інвестора,
нейтрального до ризику
Хоча побудова кривих байдужості значно звужує поле формування
інвестиційного портфеля, вона не дає можливості обрати найефективніший
його варіант, оскільки існує множина таких варіантів, що відповідають
цілям конкретного інвестора. Наблизитися до вирішення цього завдання дає
змогу сформульована Г. Марковіцем «теорема про ефективну множину», яка
фіксує модель поведінки інвестора в процесі формування портфеля так:
«Інвестор обирає свій оптимальний варіант портфеля з їх множини, кожен з
яких:
1) забезпечує максимальне значення рівня очікуваної дохідності за
будь-якого певного рівня ризику;
2) забезпечує мінімальне значення рівня ризику за будь-якого певного
рівня дохідності».
Сукупність варіантів портфелів, які забезпечують досягнення заданих
показників, характеризується термінами «ефективна множина» або «границя
ефективності портфелів».
Якщо об’єднати в портфель деяку кількість активів, кореляція дохідності
яких знаходиться в діапазоні від –1 до +1, то залежно від їх питомої
ваги можна побудувати множину портфелів з різними параметрами ризику й
дохідності, які розташовані в межах фігури АВСDE, як показано на
рис. 12.5.
Рис. 12.5. Ефективна множина портфелів
Раціональний інвестор буде намагатися мінімізувати свій ризик і
збільшити дохідність. Тому з усіх можливих портфелів, які представлено
на рис. 12.5, він віддасть перевагу тільки тим, які розташовано на
відрізку ВС, оскільки вони є домінуючими відносно портфелів з тим самим
рівнем ризику або з такою самою дохідністю. Набір портфелів на відрізку
ВС називають ефективною множиною, або границею ефективності портфелів.
Ефективна множина портфелів складається з домінуючих портфелів.
Щоб визначити границю ефективності портфелів, потрібно розрахувати
питомі ваги активів, які входять до складу портфеля, за яких
мінімізується значення стандартного відхилення для кожного рівня
дохідності, тобто
за умови, що
.
Техніка створення ефективних портфелів Марковіца з великих груп цінних
паперів потребує великої кількості розрахунків. Для портфеля з цінних
паперів є 12 окремих обчислень коваріацій. Отже, для портфеля з 50-ти
цінних паперів є 1225 коваріацій, що мають бути обчислені. Для 100
цінних паперів — 4950.
Ці розрахунки проводяться за допомогою комп’ютера. Крім того, щоб
визначити портфель, який мінімізує ризик для кожного рівня доходу,
необхідний такий математичний метод, як квадратичне програмування.
Тепер розглянемо портфель, який складається з безризикованого й
ризикованого активів. Як було зазначено вище, ризик портфеля, до якого
входять два активи, визначається за такою формулою:
.
Оскільки один актив є безризикованим, наприклад В, а інший ризикованим
(А), то (В = 0 і COVА, В = 0. Тому формула для цього випадку набуває
такого вигляду:
,
.
Отже, ризик цього портфеля дорівнює добутку ризику ризикованого активу
та його питомої ваги в портфелі. Очікувана дохідність визначається за
такою формулою:
.
Графічно залежність між очікуваними ризиком і дохідністю являє собою
пряму лінію, як показано на рис. 12.6. Змінюючи питому вагу активу А,
інвестор може побудувати портфель з різними характеристиками ризику й
дохідності; усі вони розташовуються на відрізку АВ, і їхній ризик
пропорційний питомій вазі активу А. Такий випадок можна розглядати як
купівлю інвестором ризикованого активу А, а також надання кредиту
(купівля активу В), оскільки придбання активу без ризику — це
кредитування емітента. Тому портфелі на відрізку АВ (наприклад, портфель
С) є кредитними.
Інвестор може побудувати свою стратегію не тільки на основі надання
кредиту, а й позичаючи кошти під нижчий процент, ніж очікувана
дохідність ризикового активу А, щоб придбати на них актив А і отримати
додатковий дохід. У цьому випадку інвестор отримує можливість сформувати
будь-який портфель, який розташовується на продовженні прямої АВ за
межами точки А, наприклад портфель D. Йому властиві вищі ризик та
очікувана дохідність. Оскільки для формування портфеля D інвестор
позичає кошти, то його називають позиковим портфелем. Отже, усі
портфелі, які знаходяться на продовженні прямої АВ вище від точки А,
називають позиковими.
Рис. 12.6. Варіанти портфелів, які складаються
з ризикованого й безризикованого активів
Використовуючи фінансовий важіль, теоретично інвестор може отримати
будь-яке високе значення очікуваної дохідності. Такі портфелі
розташовуються на продовженні прямої АВ вище від точки А. Однак на
практиці вкладник зіткнеться з двома проблемами, які обмежать очікувану
дохідність його стратегії:
1. Проблема отримання кредиту в більших розмірах, ніж дає змогу
фінансове становище інвестора.
2. Законодавство встановлює верхню межу використання позикових коштів за
купівлі цінних паперів.
Наступним етапом управління портфелем цінних паперів є оцінка його
ефективності.
P4
P3
r2
P2
P1
r1
A
D
(
E
B
І1
І2
І3
(р
17 %
(D
14 %
(В
(F
E(rD) 7 %
E(rА) 8 %
E(rC) 11 %
E(rB) 12 %
B
D
F
A
C
E
20 %
(В
E(rp)
10 %
(А
I1
I2
I3
B
D
C
E(rp)
(р
(р
I1
I2
I3
B
D
C
E(rp)
В
А
Е
C
(р
D
E(rp)
(
C
A
D
E(r)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
