Билет№1
1)Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число
Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области
определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т
называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция
(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида
T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является
число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно
построить часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем
выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на
+-Т, +-2Т, +-3Т,…
2)Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n
(m-целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е.
a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных
показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным
показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a и
b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с одинаковыми
основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным
сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.
2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же
основанием и показателем, равным разности показателей делимого и
делителя: a^r : a^s = a^r-s.
3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а
показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна
произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна
частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число и
число a больше нуля, но меньше числа b, 0 b^r, если r-отрицательное число.7) Для
любых рациональных чисел r и s из неравенства r1 ; a^r > a^s при 00.
Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq : nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / nqSQRa^pn
Используя свойство частного корней, получим: nqSQRa^mq / nqSQRa^pn =
nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение степени с
рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq = a^mq/nq-pn/nq =
a^m/n-p/q = a^r-s.
Билет №2
1)Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из
некоторой окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)(f(x0)
Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий
эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.
Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой
окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) (f(x)
Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.
2)1)Если (a((1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как (sinx((1 для
любого х.
2)Пусть (a((1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает,
следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень
x=arcsin a.
Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о
корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.
В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n)
решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n
x=пи- arcsin a +2пи n
решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы
x=(-1)^n arcsin a + пи n
при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой ,
а при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.
Билет №3
1)арксинусом числа а называется число, для которого выполнены следующие
два условия: 1)-p/2 1, a arcsin a определён при –1 1; arccos a определён при |a|Б=1
2)Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а- заданное
число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной функции 1) Областью
определения показательной функции являются все действительные числа. Это
следует из того, что для любого x принадлежащего R определено значение
степени a^x (при a>0). 2) Множеством значений показательной функции
являются все положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а)
Показательная функция y+a^x возрастает на всей области определения, если
a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает на всей области
определения, если 01, то большему значению
аргумента (x2>x1) соответствует большее значение функции (a^x2 > a^x1).
Из свойств степени известно, если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1
и a > 1, тогда a^x2 >a^x1 (по свойству степени). А это означает, что
функция y=a^x1 при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем,
что если 0 x1) соответствует
меньшее значение функции (a^x2 s и 0x1 и 00, a не рано 1. Свойства логарифмической функции 1)
Областью определения логарифмической функции являются все положительные
действительные числа. Это следует из определения логарифма числа b по
основанию a; loga b имеет смысл, если b>0 2) Множеством значений
логарифмической функции являются все действительные числа. Пусть y0 –
произвольное действительное число. Покажем, что найдётся такое
положительное значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 =
logax0. По определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы
показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение
логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное действительное
число). 3) Логарифмическая функция обращается в нуль при х=1. Решим
уравнение logax=0. По определению логарифма получаем: a^0 = x, т.е. x =
1. 4) а) логарифмическая функция y=loga x возрастает на всей области
определения, если a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1)
соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1), если a>1.
Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное логарифмическое тождество,
запишем это неравенство в виде a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве
(1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку при a>1
показательная функция возрастает, большее значение функции может быть
только при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1.
б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области определения,
если 01 принимает
положительные значения, если x>1; отрицательные значения, если 0
области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует, что:
для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 0
logax loga1, т.е. logax > 0.
6) Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения.
Билет №6
1)Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого
промежутка; ?x – приращения аргумента x; x0 + ?X также принадлежит
этому промежутку; ?y – приращение функции. Предел отношения (если он
существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении
приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.
Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону
x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t.
Механический смысл производной состоит в том, что производная от
координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).
2)1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos
x| 0
n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0
n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k???то а???
Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а 0(а(1), и любых пол-ных х и у
выполняются следующие св-ва:
loga1=0
logaа=1
loga(ху)= logaХ+ logaУ
Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством
a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции
а^ х+у =а^x * а^y имеем
а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay
loga(Х/У)= logaХ- logaУ
logaХ^Р= рlogaХ
Формула перехода:
logaХ= logbX/ logbA
Билет №10.
1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех
значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция
F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех
действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).
2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его
тангенс , то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так:
y=tg x.
Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме
чисел вида
X=пи/2 +пи k, k(Z.
Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть
числа, при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.
2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные
числа:Е(у)=(-(;+().
3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется
нер-во tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin
x/cos x= -tg x
4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме
0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.
5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg
x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z
6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k
значения функции: sinx2 – sinx1 = 2cos x1+x2/2 * sin x2-x1/2; 0 0, cos
x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит, большему значению
аргумента соответствует большее значение функции, т.е. функция синус
возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу периодичности синуса
можно утверждать, что синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR;
Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8) Функция синус имеет максимумы ,
равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где где R принадлежит Z. Функция Синус
имеет минимумы, равные –1, в точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z.
Покажем, что точка х0=Пи/2 является точкой максимума. Функция синус
возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2], т.е. sinx
числом. Это следует из определения степени с рациональным показателем.
Если а натуральное число, то D(f)=(-(;+() по определению степени с
натуральным показателем. 2)E(f)=[0;+() для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где
R(N. Это следует из определения степени с рациональным показателем.
E(f)=(-(;+() для нечётных а,т.е. а=2R+1, где R(N. 3)Если а-чётное
натуральное число, то данная функция является чётной. Т.к. f(-x)=(-x)^2R
= ((-x)^2)^R= (x^2)^R = x^2R = f(x). Если а-нечётное натуральное число.
то данная функция является нечётной, так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R
(-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+ -x^2R+1 + -f(x). 4)При х=0 функция f(x)=0,
так как 0^a = 0 при а>0. 5)При x>0 функция f(x)>0. Это следует из
определения степени с рациональным показателем. При нечётных а(а=2R+1,
R(N), если х0, но x1. Из свойства степени с рациональным показателем
(r-рациональное число и 00) следует, что
x1^a
интегралу, причём х10 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность
значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия
y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное
условия ф-ии.
Ф-ия y=x^n, n(1 y=sin x y=cos x
Общий вид первообразных (x^(n+1))/(n+1)+C -cos x+C Sin x+C
Ф-ия y=e^x y=a^x Y= 1/x
Общий вид первообразных e^x+C (a)/ln a+C ln x +C
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
