Реферат на тему:
Визначені інтеграли.
Теорема Ньютона-Лейбніца
План
Властивості визначеного інтеграла
Теорема Ньютона-Лейбніца
Властивості визначеного інтеграла
. Від цього обмеження звільняє нас наступна властивість:
з абсцисами
Для цих двох послідовностей одержимо такі інтегральні суми:
, одержимо
.
у попередній властивості.
має місце рівність
Ця властивість випливає із властивості границь (границя суми дорівнює
сумі границь і постійний множник виноситься за знак границі. Ця
властивість справедлива для довільного числа доданків.
справедлива рівність
(1)
):
одержимо співвідношення (1).
то за доведеною властивістю можна написати
, звідки
. Тоді
,
.
повинно бути деяким значенням функції. Звідси ми одержуємо теорему, що
носить назву теореми про середнє в інтегральному численні.
, що
. (2)
то
(3)
Тут кожна різниця
Отже, кожний доданок суми невід’ємний, невід’ємна і вся сума, а тому і
границя невід’ємна, тобто
, то
Формула Ньютона-Лейбніца
, то має місце рівність
Іншими словами, похідна від інтеграла за верхньою межею
дорівнює підінтегральній функції, в яку замість змінної інтегрування
підставлено значення верхньої межі.
Тоді одержимо (за властивістю 40 )
До останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє
Теорема доведена.
Наслідок. Довільна неперервна функція має первісну.
то справедлива формула
(4)
Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.
Отже, ми можемо написати
Тоді
Отже,
одержимо формулу Ньютона-Лейбніца:
одержимо формулу (4).
Якщо ввести позначення
формулу (4) можна записати так:
Формула Ньютона-Лейбніца дає практичний і зручний метод
обчислення визначеного інтеграла в тому випадку, коли відома первісна
від підінтегральної функції. Тільки з відкриттям цієї формули визначений
інтеграл зміг отримати те значення в математиці, яке він має сьогодні.
Обчислення визначеного інтеграла як границю інтегральної суми були
відомі ще за часів Архімеда, проте застосування цього методу
обмежувалося тими простими випадками, коли вдавалося обчислити ці
границі. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює простий зв’язок між
первісною та визначеним інтегралом, що значно розширює область
застосування визначеного інтеграла до різних задач техніки, механіки,
астрономії і т. д.
Р о з в ’ я з о к. На підставі таблиці основних інтегралів і формули
(4)маємо
. Тоді
.
Література
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –
М.: Наука. 1980. – 336 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. – М.: Наука. 1980.- 432 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. – М.: Наука. 1980.- 176 с.
4. Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. -К.: Вища школа., 1993.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому
анализу. – М.: Высшая школа. 1964.
6. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 1997.
7. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М. :
Наука, 1985, – т.1. – 432 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
