Основні гіпотези теорії згину пластин. Циліндричний і чистий згин тонких
пластин
Пластиною називають плоске тіло, обмежене двома поверхнями, відстань між
якими мала в порівнянні з розмірами самих поверхонь. Серединна поверхня
пластини, тобто поверхня, равноудаленная від зовнішніх поверхонь, являє
собою площина. Цим пластини відрізняються від оболонок, у яких серединна
поверхня не плоска.
Залежно від форми контуру пластини можуть бути круглі, прямокутні,
еліптичні й т.д.
Інженерна теорія згину пластин ґрунтується на наступних загальних
гіпотезах.
1. Гіпотеза незмінності нормалей, по якій приймають, що нормалі до
серединної поверхні при згині пластини не викривляються й залишаються
перпендикулярними до деформованої, серединної поверхні пластини. Ця
гіпотеза дозволяє встановити прості залежності між компонентами
деформацій у довільній точці пластини і деформацією її серединної
площини. Ця гіпотеза аналогічна гіпотезі плоских перетинів для балок.
2. Гіпотеза про ненатиснення одного шару пластини на іншій. Відповідно
до цієї гіпотези нормальні напруження в площадках, паралельних
серединної площини, вважаються дуже малими, тобто напружений стан
приймається за плоский замість тривісного.
Крім зазначених гіпотез (гіпотез Кірхгофа), приймемо допущення, що
товщина пластини мала в порівнянні з розмірами пластини в плані і що
прогин малий у порівнянні з товщиною, а також, що матеріал пластини —
однорідний, ізотропний і підкоряється закону Гука.
Перераховані гіпотези і допущення дозволяють побудувати досить точну і
просту інженерну теорію вигину пластин.
розміру в плані). До таких пластин (плитам) гіпотези Кирхгофа
незастосовні. При аналізі напружень і деформацій товстих плит напружений
стан необхідно розглядати як тривісний. Через складність таких
розрахунків у цей час рішення отримане тільки для деяких простих окремих
випадків.
Застосовують також пластини, що мають малу товщину, але працюють при
більших прогинах. Якщо площина пластини при вигині переходить в опуклу
поверхню двоякої кривизни, то, крім згинальних напружень, у пластині
виникають мембранні напруження, що розтягують. При малих прогинах
мембранні напруження дуже малі, і їх можна не враховувати. При великих
прогинах мембранні напруження одержують переважне значення.
У цей час у машинобудуванні все більше застосування знаходять пластини,
виготовлені з анізотропних матеріалів. До них відносять пластини з
різних шаруватих матеріалів, наприклад, текстоліту, склопластику й т.п.
До анізотропних ставляться також пластини, підкріплені часто
розташованими ребрами. Хоча матеріал пластини може бути й ізотропним,
наявність ребер приводить до того, що згинальна жорсткість пластини в
різних напрямках різна. Такі пластини звичайно називають конструктивно
анізотропними або конструктивно ортотропними.
Циліндричний і чистий вигин тонких пластин
Циліндричним вигином називається такий вигин пластин, при якому
серединна площина переходить у циліндричну поверхню. На рис. 12.1
зображена пластина, затиснена одним краєм і навантажена силоміць P,
рівномірно розподіленої по протилежному краю. Штриховою лінією показана
форма пластини в деформованому стані (строго говорячи, біля бічних
сторін поверхня не буде точно циліндричною).
Рис. 12.1. Циліндричний згин пластини
?
¶
¶
gdA]9 закріплені; тоді циліндричне згинання пластини супроводжується
розтяганням у поздовжньому напрямку. Помітимо що, при дуже великих
прогинах навіть при найпростішій схемі закріплення (рис. 12.1) може
виникнути нелінійність, пов’язана зі зміною плеча згинального моменту.
Друга особливість циліндричного згину полягає в тому, що обрис пластини
в плані не грає істотної ролі, тобто при будь-якому контурі пластини
розрахункові залежності ті самі.
Циліндричний згин пластин подібний до згину балок. Відмінність полягає в
тому, що при згині балки поперечні деформації нічим не стиснуті,
внаслідок чого форма контуру поперечного переріза спотворюється (у зоні
дії напружень, що розтягують, ширина перетину зменшується, а в зоні дії
стискаючих – збільшується).
При циліндричному вигині пластин поперечні деформації стиснуті за
рахунок взаємодії сусідніх поздовжніх волокон. Якщо на поверхню пластини
нанести поздовжні паралельні лінії (рис. 12.1), то при циліндричному
вигині відстані між ними не змінюються. Це значить, що відносна
деформація в поперечному напрямку дорівнює нулю.
. Ці напруження показані на рис. 12.2, де зображений елемент пластини в
деформованому стані.
Рис. 12.2. Напруження при циліндричному згині
в довільному шарі на відстані z від серединної площини. Тому що
напружений стан у цьому випадку плоский, то
(12.2)
За позитивний напрямок відліку z прийнятий напрямок долілиць.
Відповідно до рівнянь (12.1), (12.2):
можна замінити другою похідною згину
(12.5)
Тоді
(12.6)
Знак мінус узятий тому, що за позитивний напрямок прогину w прийнятий
напрямок долілиць.
Обчислимо згинальні моменти в пластині в поздовжньому й поперечному
напрямках.
Умовимося вважати моменти позитивними, якщо вони спрямовані так, як
показано на рис. 12.3, тобто якщо верхні шари пластини випробовують
стиск. Величини моментів будемо відносити до одиниці довжини
(розмірність моментів Н·см/см). С учетом зависимостей (12.3), (12.4) и
(12.5) получим
(12.8)
де
Рис. 12.3. Правило знаків для моментів
зв’язані між собою наступною залежністю:
(12.10)
Запишемо рівняння (12.7) у вигляді
тут береться циліндрична жорсткість D.
:
(12.12)
Аналогічну формулу можна одержати й для другого напруження
(12.12а)
Формули (12.12) не відрізняються від загальновідомої формули для
нормальних напружень при вигині балки. Знаменник формул (12.12) і
(12.12а) являє собою момент інерції прямокутника, що має висоту h і
ширину, рівну одиниці (тому що згинальні моменти віднесені до одиниці
ширини).
:
. Якщо ж цей момент відсутній, то біля бічних крайок форма пружної
поверхні пластин трохи відхиляється від циліндричної.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
