Кругла пластина постійної товщини. Визначення форм і частот коливань
Для круглої пластини в рівняннях (317) для амплітудної функції варто перейти до полярних координат . У цих координатах оператор Лапласа має вид
Таким чином, рівняння (317) у полярних координатах приймає форму
(325)
Рішення цих рівнянь, що відповідають коливанням пластини з узловими діаметрами, можна представити у виді
Після підстановки цього виразу приходимо до рівнянь
(326)
(327)
Рішеннями рівняння (326) є беселеві функції порядку першого і другого роду; рішеннями рівняння (327) – модифіковані беселеві функції , . Таким чином, загальне вираження амплітудної функції з узловими діаметрами таке:
(328)
Для кільцевої пластини є чотири граничних умови (по двох на кожному краю), що утворять однорідну систему рівнянь щодо констант Для суцільної пластини у виразі (328) рівні нулю коефіцієнти і при функціях, що прагнуть до нескінченності при Граничні умови на зовнішньому контурі пластини утворять у цьому випадку однорідну систему рівнянь щодо і . Частотне рівняння утворюється шляхом дорівнювання нулю визначника системи.
Як приклад розглянемо коливання вільної суцільної круглої пластини. У цьому випадку на контурі повинні виконуватися умови
Згинальний момент визначається формулою
Поперечна сила
Крутний момент
Таким чином, граничні умови мають вид
(329)
З огляду на те, що є рішенням рівняння , а – рівняння , знаходимо
При підстановці в рівняння (329) замість його виразу
врахуємо правила диференціювання функцій Бесселя
У результаті приходимо до рівнянь
Тут аргументом усіх беселевих функцій є розмір , де – радіус пластини.
Значення , що обертають у нуль визначник отриманої системи, зв’язані з власними частотами рівністю
Якщо обмежитися формами коливань без вузлових колів, то значенням і відповідають зсуви пластини як жорсткої і нульові частоти. При (два узлових діаметри) частотне рівняння можна привести до виду
При найменший корінь цього рівняння і відповідна частота власних коливань
Для забитої по контурі пластини граничні умови
Частотне рівняння
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
