Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона(пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач.
Обчислення інтеграла Пуассона.

План

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач

Маса пластинки

Статичні моменти і центр ваги пластинки

Момент інерції пластинки

Обчислення інтеграла Пуассона

11.5.  Застосування подвійних інтегралів

до задач механіки

. Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та
товщиною можна знехтувати.

            Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці
називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що
площадка стягується до даної точки.

 у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний
вираз у вигляді інтегральної суми.

.                            

 і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для
обчислення маси пластинки:

 .                      (11.29)

                                          Рис.11.16

 маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої
системи матеріальних точок можна записати так:

.

,  

.                         (11.30)

            Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати
центра ваги пластинки:

.                      (11.31)

від цієї осі.

            Метод складання виразів для моментів інерції пластинки
відносно осей координат такий самий , як і для обчислення статичних
моментів. Тому наведемо лише формули для моментів інерції відносно
координатних осей:

 (11.32)

         

                 Рис.11.17                              Рис.11.18

.

            У механіці розглядається полярний момент інерції точки, що
дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки
-полюса. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат
визначається за формулою

.                     (11.33)

.

            Р о з в ‘ я з о к. За формулою (11.29) знаходимо (рис.
11.17):

 (11.18).

            Р о з в ‘ я з о к. Центральний момент інерції обчислюємо за
формулою (11.33)

.

11.6. Інтеграл Пуассона

 Цей інтеграл називається інтегралом Пуассона.

                Розглянемо подвійний інтеграл

одержимо

 тобто необмежено розширяти область інтегрування, то одержимо невласний
подвійний інтеграл:

 довільної форми розширюється на всю площину.

 і центром в початку координат, то

Тоді

і

                       (11.34)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *