Реферат на тему:
Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування
. Границю інтегральної суми, якщо вона існує, називають визначеним
інтегралом:
де а, b — нижня та верхня межі інтегрування; [а, b] — відрізок
інтегрування;
х — змінна інтегрування.
Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу
Ньютона-Лейбніца:
де F(x) — це первісна неперервної функції f(x).
дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою у =f(х), віссю
ОХ (у = 0) та прямими х=а та х=b.
Зауваження 1. Визначений інтеграл залежить від функції f(х) та меж
інтегрування, але не залежить від позначення змінної інтегрування:
Зауваження 2.
Властивості визначеного інтеграла:
для будь-якого с.
5. Теорема про середнє.
, що
де f(x) — середнє значення функції на відрізку [а, b].
Методи інтегрування
1. Заміна змінної:
2. Інтегрування частинами:
Розв’язання:
Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:
Розв’язання:
Записуємо ці вирази у формулу інтегрування частинами:
Деякі геометричні застосування визначеного інтеграла
Література: 1, гл. 8, § 10.
Запитання для самоконтролю
Що називається інтегральною сумою?
Що називається визначеним інтегралом?
Сформулювати властивості визначеного інтеграла і дати їх геометричну
інтерпретацію.
Довести формулу Ньютона-Лейбніца.
Як застосовувати інтегрування методом заміни змінної у визначеному
інтегралі?
Як обчислити площу криволінійної трапеції?
Як обчислити площу, якщо функція у=f(x) не є знакосталою на проміжку [а,
b]?
Як обчислити площу криволінійного сектора у полярних координатах?
Як обчислити довжину кривої у прямокутних та полярних координатах?
Як обчислити об’єм тіла по площах паралельних перерізів?
Завдання для самостійної роботи
Обчислити:
Обчислити площу, обмежену лініями:
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter