Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду (реферат)

Реферат на тему:

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду.

План:

1. Степеневі ряди.

2. Теорема Абеля.

3. Радіус збіжності.

4. Область збіжності степеневого ряду.

Степеневий ряд.

Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду

(28)

— дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

— дійсне число, називають функціональний ряд вигляду:

(29)

= t зводиться до ряду вигляду (28), тому надалі розглядатимемо лише
степеневі ряди вигляду (28).

. Тому область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну
точку.

+ … абсолютно і рівномірно збіжний на будь-якому відрізку /—р; р],
який цілком міститься в інтервалі збіжності (- R, R).

За умовою р < R. Візьмемо точку Хо Є (р; R). За теоремою Абеля: збіжний. Для довільної точки х є 1- р, р] виконується нерівність , тому за ознакою Вейєрштрасса ряд (28) абсолютно і рівномірно збіжний. З цієї властивості і властивостей 1°—3° функціональних рядів (п. 2.1) випливають такі твердження: 1°. Сума степеневого ряду (28) неперервна всередині його інтервалу збіжності. 2°. Якщо межі інтегрування а та Ь лежать всередині інтервалу збіжності (—R; R)-ряду (24), .то на відрізку |а; Ь| цей ряд можна почленно інтегрувати. Зокрема, якщо ряд (28) інтегрувати по відрізку [0; х], де / х /< R, то в результаті дістанемо степеневий ряд, який має той самий інтервал збіжності, що і ряд (28); при цьому, якщо S (х) — сума ряду (28): 3°. Якщо ряд (28) має інтервал збіжності (— R; R), то ряд, утворений диференціюванням ряду (28), має той самий інтервал збіжності (— R; R) ; при цьому, якщо S (х) — сума ряду (28), то: є (-R; R). Таким чином, ряд (28) на відрізку [0; х], \ х < R, можна інтегрувати і диференціювати скільки завгодно раз в будь-якій точці х є (— R; R) При цьому інтервалом збіжності кожного ряду є той самий інтервал (-R, R). Сформульовані властивості степеневих рядів широко використовуються в теоретичних дослідженнях і наближених обчисленнях. Приклад: Позначимо суму даного ряду через S (х), тоді: Цю суму можна розглядати як геометричну прогресію з першим членом a = 1 і знаменником q = —x2. Знайшовши суму прогресії, дістанемо: , маємо: Звідки: 2. Теорема Абеля. ) обмежена, тобто існує таке число М, що: п =0,1,2,.... Тоді ряд (28) буде розбіжним і для всіх х, що задовольняють нерівність / х / >/ х /. Справді, якби припустити, що він збіжний в якій-небудь
точці х, що

задовольняє цю нерівність, то за доведеним він був би збіжним і в точці
А/ бо І хі І < І х . А це суперечить тому, що в точці хі ряд розбіжний. |; + оо) справа від точки | х, 1 складається з точок розбіжності цього ряду. Отже, для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки: 1) ряд (28) збіжний лише в точці х = 0; 2) ряд (28) збіжний при всіх х є (_ -оо; + 00); 3) існує таке скінченне число R є (0;+ 00), що при 1 х І < R степеневий ряд абсолютно збіжний, а при [ х \ > R — розбіжний.

Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал ( — R;
R) — інтервалом збіжності.

Вкажемо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду. Складемо
ряд із модулів членів ряду (28) п=0.

.

) є інтервалом абсолютної збіжності ряду (28), а число

=

,то ряд (28) є абсолютно збіжним на всій числовій осі. У цьому разі
вважають R = + 00. Якщо ж L = о, то R = 0, і степеневий ряд має лише
одну точку збіжності х = 0.

Зауваження 2. Питання про збіжність ряду при х = ± R (на кінцях
інтервалу збіжності) розв’язується для кожного ряду окремо. Таким чином,
область збіжності степеневого ряду може відрізнятись від інтервалу

(—R; R) не більше ніж двома точками х = ± R.

Зауваження 3. Радіус збіжності ряду (29) визначається за тими самими
формулами (ЗО) і (31), що і ряду (28).

Інтервал збіжності ряду (29) знаходять з нерівності / х хо/ R, то ця точка х відрізняється від усіх х, і ряд
розбігається в точці х. Візьмемо тепер довільну точку х, для якої |х| < R. | ( R; а це за теоремою Абеля знову зумовлює абсолютну збіжність ряду. Таким чином доведено таке твердження. ). При цьому число R та інтервал (-R; R) називаються відповідно радіусом й інтервалом збіжності степеневого ряду. ) не можна зробити загального висновку: як побачимо нижче, в цих точках ряд може як збігатись (абсолютно чи умовно), так і розбігатись. Проміжок X називається проміжком збіжності ряду. Для скрізь розбіжного ряду вважають R = 0; його проміжок збіжності зводиться до точки х = 0. Приклади 1. Знайти проміжок збіжності ряду Спочатку знайдемо інтервал збіжності цього ряду. Оскільки степеневий ряд в інтервалі збіжності збігається абсолютно, для знаходження цього інтервалу скористаємося достатньою ознакою Коші абсолютної збіжності числового ряду. Маємо > 1. Радіус збіжності досліджуваного ряду R = 10, а його інтервалом
збіжності є інтервал (-10; 10).

З’ясуємо тепер поведінку ряду на кінцях проміжку (-10; 10). Підставивши
в заданий ряд замість х число 10, дістанемо гармонічний ряд

а він розбіжний. Отже, в точці х = 10 даний ряд розбігається.

При х = -10 матимемо числовий знакопереміжний ряд

який умовно збіжний (за теоремою Лейбніца).

Таким чином, проміжком збіжності заданого ряду є [-10; 10).

2. Знайти проміжок збіжності ряду

Скористаємось ознакою Д’Аламбера. Маємо

R.

).

3. Знайти проміжок збіжності ряду

.

Цей приклад читач розв’яже самостійно; ми обмежимося відповіддю: тут
радіус збіжності R = 1; проміжком збіжності є відрізок [-1; +1], ряд
збігається абсолютно також при х = ±1.

Усе викладене стосується також степеневого ряду вигляду лише роль точки
0 відіграє точка х0: проміжок збіжності має кінці х0 — R та х0+ R (зі
включенням кінців чи ні залежно від випадку).

Література:

Барковський В.В. Барковська Н.В. ”Математика для економістів”. Вища
математика. – К.: Національна академія управління, 1997 р. – 397 ст.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду (реферат)

Міністерство освіти і науки України

Київський державний торговельно-економічний університет

Коломийський економіко-правовий коледж

Реферат

З дисципліни „Вища математика”

Розділ: 7 „Ряди ”

На тему:

„Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду”

Виконала:

Студентка групи Б-13

Комар Ірина

Перевірив

Викладач

Лугова Л.Б.

Коломия 2003

План

Розвинення функції у степеневий ряд.

Контрольні запитання

Яке розвинення в степеневий ряд функції ex.

Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x.

Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x.

Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).

Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x

Література

Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр
„Академія”, 2002. – 432с.

Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex
має вигляд

(1)

Нехай R– довільне фіксоване додатне число. Якщо x є (-R; R), то

(2)

, матимемо

(3)

. Звідси дістанемо

(4)

, який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.

. (5)

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx
має вигляд

(6)

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється
зверху:

, (7)

Звідси дістанемо

(8)

???aaa?????OOOOOOOOOOOOO

>

@

B

D

n

AE

&

&

A

3/4

A

A

Ae

- » t z | ~ ? O Oe Ue TH a 4

>

@

B

f

?

???????????ae D

F

H

J

L

N

P

f

A

&

&

????????????? ????????? ???? ??

A

.

розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд

. (9)

(10)

(11)

(12)

Розвинення в степеневий ряд функції arсtg x.Знаючи, що для х є

.

Оскільки,

остаточно маємо

Приклади

у степеневий ряд в околиці точки х0=2.

Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під
знаком функції одержати вираз (х-2)

Тоді

.

Таким чином,

Маємо таке розвинення

Підставивши сюди замість х змінну –х, дістанемо

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *