Кардинальні числа (реферат)

Реферат на тему:

Кардинальні числа

або Card A) будемо називати деякий об’єкт для позначення потужності
будь-якої множини із сукупності S.

Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне
число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин
сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є
узагальненням поняття числа елементів.

Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних
множин.

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири
випадки:

1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і
|A|=|B|.

2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою
власною підмножиною B’ множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A
не менша від потужності множини B і записують |A|(|B|.

3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки,
множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B’ ( B і
B~A’ ( A.

За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому
випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.

4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною
підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної
відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї
ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між
собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись
на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого
випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані
між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B
виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|(|B| або |B|(|A|.

Якщо |A|(|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо
|A|<|B|. Теорема 1. (теорема Kантора-Бернштейна). Якщо множина A рівнопотужна деякій підмножині B1 множини B, A~B1(B і, одночасно, множина B рівнопотужна деякій підмножині A1 множини A, B~A1(A, то множини A і B рівнопотужні. Доведення. Зрозуміло, що роблячи припущення про існування таких підмножин B1(B і A1(A, що A1 ~ B і B1 ~ A, вважаємо, що A1 і B1 є власними підмножинами множин A і B відповідно. Якщо A1 = A або B1=B, то справедливість теореми очевидна. Нехай f0(B ( A взаємно однозначна відповідність між B і A. Тоді з того, що B1(B випливає, що існує множина A2 = f0(B1)(A1 така, що f1(B1(A2(B(A1, f1(f0 і f1 є взаємно одозначною відповідністю між B1 і A2, тобто B1~A2. За умовою теореми A~B1, отже A~A2. Це означає, що існує взаємно однозначна відповідність f2 між множинами A і A2, f2(A(A2. Образом f2(A1) підмножини A1(A при відповідності f2 буде деяка множина A3(A2. Відповідність f3(A1(A3, f3(f2 є взаємно однозначною, отже A1~A3. Аналогічно, образом f3(A2) підмножини A2(A1 при відповідності f3 буде деяка множина A4(A3, а відповідність f4(A2(A4, f4(f3 буде взаємно однозначною, тобто A2~A4. Продовжуючи ці міркування, одержимо нескінченний ланцюг строгих включень A(A1(A2(A3(...(An(.... При цьому виконуються такі співвідношення: A ~ A2 ~ A4 ~... ~ A2k ~ A2k+2 ~..., A1 ~ A3 ~ A5 ~... ~ A2k+1 ~ A2k+3 ~..., f0(f1(f2(f3(... (fn( ... Із наведених співвідношень випливає, що відповідності f'2 = f2 \ f3( (A \ A1 )((A2 \ A3 ), f'4 = f4 \ f5( (A2 \ A3 )((A4 \ A5 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f'2k+2 = f2k+2 \ f2k+3( (A2k \ A2k+1 )((A2k+2 \ A2k+3 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . є взаємно однозначними. Отже, (A \ A1) ~ (A2 \ A3 ) ~ (A4 \ A5 ) ~...~ (A2k \ A2k+1) ~ (A2k+2 \ A2k+3) ~.... Оскільки рівнопотужні множини (A \ A1), (A2 \ A3 ), (A4 \ A5 ),..., (A2k \ A2k+1),... попарно не перетинаються, то множини C1 = (A \ A1) ( (A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) (... ( (A2k \ A2k+1)..., C2 = (A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) ( (A6 \ A7 ) (... ( (A2k+2 \ A2k+3)... також рівнопотужні, тобто C1 ~ C2. Позначимо через D = A(A1(A2(A3(...(An(.... Неважко переконатись, що A = D ( (A \ A1) ( (A1 \ A2 ) ( (A2 \ A3 ) (... ( (An \ An+1)..., A1 = D ( (A1 \ A2 ) ( (A2 \ A3 ) (... ( (An \ An+1)..., Нехай D0 = D ( (A1 \ A2 ) ( (A3 \ A4 ) (... ( (A2k+1 \ A2k+2)..., тоді попередні співвідношення можна подати у вигляді: A = D0 ( [(A \ A1) ( (A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) (... ( (A2k \ A2k+1)...] = D0 (C1, A = D0 ( [(A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) ( (A6 \ A7 ) (... ( (A2k+2 \ A2k+3)...] = D0 (C2. Оскільки між множинами C1 і C2 існує взаємно однозначна відповідність g, а D0(C1=( і D0(C2=(, то iD0 ( g є взаємно однозначною відповідністю між A і A1, отже, A~A1. Через iD0(D0(D0 позначено тотожню взаємно однозначну відповідність між елементами множини D0 : iD0 = { (d,d) | d(D0 }. З умови теореми B ~ A1, одержаного співвідношення A~A1 і властивостей симетричності і транзитивності відношення рівнопотужності маємо B ~ A. Теорема доведена. Наслідок 1. Якщо виконуються включення A2(A1(A і A2~A (|A2|=|A |), то A1 ~ A (|A1|=|A|). Справедливість твердження випливає з того, що A ~ A2(A1 і A1~A1(A. Наслідок 2. Якщо A(B, то |A| ( |B|. Для кардинальних чисел зліченних і континуальних множин, враховуючи їхню поширеність і популярність в сучасній математиці, введені спеціальні позначення. Так кардинальне число множини N всіх натуральних чисел, а значить, і будь-якої зліченної множини позначають через (0 (читається "алеф-нуль"). Кардинальне число континуальних множин позначають через c або (1 ("алеф-один"). Якщо порівняти доведення теорем 1.1 і 1.7, то неважко помітити аналогію у встановленні взаємно однозначної відповідності між підмножинами множини A і двійковими послідовностями (скінченними в теоремі 1.1 і нескінченними в теоремі 1.7). Враховуючи цю аналогію, часто записують співвідношення |((A)| =2|A| як для скінченних, так і для нескінченних множин. Зокрема, за теоремою 1.7 (1 =2(0. Наступне питання, яке виникло в теорії множин: чи існує найбільше кардинальне число, тобто, чи існує множина найбільшої потужності? Негативну відповідь на це питання дає наступна важлива теорема, доведення якої належить Г.Кантору. Теорема 2. Потужність множини ((A) підмножин будь-якої непорожньої множини A більша, ніж потужність даної множини A: | ((A)| > |A|.

Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f
між множиною A і підмножиною множини ((A): f = { (a,{a}) | a(A,
{a}(((A)}, то достатньо довести, що множини A і ( (A) нерівнопотужні.

Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно
однозначна відповідність g між множинами A і ((A): g = { (b,B) | b(A і
B(((A)}. У кожній парі відповідності перша координата b — це елемент
множини A, а друга координата B — деяка підмножина множини A. Тому для
кожної пари (b,B)(g виконується одне з двох співвідношень: або b(B, або
b(B. Побудуємо нову множину K = { b | b(A і b(B для (b,B)(g }.

З того, що ((( (A) випливає, що K ((.

Оскільки K є підмножиною множини A (K(((A)), то при взаємно однозначній
відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові k(A, тобто
існує пара (k,K)(g. Тоді відносно елемента k(A і підмножини K(A можливі
дві ситуації: або k(K, або k(K.

Нехай k(K, тоді з умови (k,K)(g і правила побудови множини K випливає,
що k(K.

З іншого боку, якщо припустити, що k(K, то з (k,K)(g і правила побудови
множини K повинно виконуватись k(K.

Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно
однозначної відповідності між A і ((A). Таким чином, |A| < | ( (A)|. Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа. Справді, розглянувши множини N, ((N), ((((N)),..., одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел (0 ,(1 =2(0,(2 =2(1, ... На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г.Кантором: гіпотеза континуума, яка стверджує, що не існує множини, кардинальне число ( якої розташоване між (0 і (1, тобто (0 < ( < (1. Ця гіпотеза припускає узагальнення, яке носить назву узагальненої гіпотези континуума: для довільного кардинального числа ( деякої нескінченної множини з нерівності ( ' > ( для будь-якого кардинального числа ( ‘ випливає ( ‘ >
2(.

Проблему гіпотези континуума майже вісім десятків років намагалися
розв’язати найкращі математики світу. I лише у 1963 році тридцятирічний
американський математик Пол Коен довів, що гіпотезу континуума не можна
ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом теорії множин. Отже,
прийняття або відхилення гіпотези континуума є однаково законними, що
веде до можливості побудови двох різних несуперечливих теорій множин.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *