Елементи теорії функцій комплексного змінного (реферат)

Реферат на тему:

Елементи теорії функцій комплексного змінного

Основні поняття

Означення. Нехай D — деяка множина із C. Якщо кожному z ( D поставлено у
відповідність одне значення f(z) ( C, то кажуть, що на множині D задана
однозначна функція f(z). Якщо кожному z ( D поставлена у відповідність
деяка множина f(z) ( C то кажуть що на множині D задана багатозначна
функція f(z). Множина D називається областю визначення функції f(z), а
множиною значень ( = f(z) — множиною значень цієї функції.

Задання функції комплексного змінного ( = f(z), z ( D ( C

рівнозначне заданню пари дійсних функцій двох дійсних змінних

u = u(x; y) і v = v(x; y) (x; y) ( D:

.

Функція u(x; y) називається дійсною частиною функції f(z), а v(x, y) —
її уявною частиною. При цьому пишуть u = Ref, v =Imf. Якщо f —
однозначна функція, то функції u і v також однозначні.

Геометрично функція ( = f(z), z ( D відображає область визначення D на
множину її значень. Множину f(z) називають образом точки z при
відображеній f, а точку z ( D — прообразом точки (, якщо ( = f(z).

Однозначна функція f : D ( C називається однолистою, якщо для різних
точок z1 і z2 із D відповідні значення функції f також різні, тобто
f(z1) ( f(z2).

Нехай Е — множина значень функції ( = f(z), z ( D. Тоді на Е
визначається функція z = f – 1((), (( ( E, що називається оберненою
функцією до f(z) і зіставляє з кожною точкою ( ( E ті точки z ( D, для
яких f(z) = (. Таким чином, кожна комплексна функція має обернену і
тільки в однолистої обернена функція є однозначною.

Розглянемо дві однозначні функції комплексного змінного ( = f(z),
z ( D1, z = g((), (( D2. Припустимо, що D1 містить множину значень g(().
Тоді, зіставляючи кожне (( D2 з числом ( = f(g(()), одержимо на D2
функцію, яка називається складною.

Для однозначних функцій визначаються сума, різниця, добуток і частка
двох таких функцій.

Границя та неперервність

Зауваження. Поняття границі, неперервності і диференційовності вводяться
тільки для однозначних функцій.

Нехай функція f(z) визначена на деякій множині D.

.

.

.

неперервна в точці z0 = x0 + iy0, тоді і тільки тоді, коли функції
u = u(x, y) і v = v(x, y) неперервні в точці (х0, у0). Звідси випливає,
що властивості границь функцій та неперервних функцій двох дійсних
змінних переносяться на випадок функцій комплексного змінного.

Диференціювання функції

До теперішнього моменту теорія функцій комплексного змінного будувалася
в повній аналогії з теорією функції дійсного змінного. Але поняття
диференційовності функції комплексного змінного приводить до істотних
відмінностей.

Нехай функція f(z) визначена в деякому околі точки z0 ( C.

, якщо вона існує, називається похідною функції f(z) у точці z0, і
позначається f((z0) (або d f(z0) / dz).

Функція f(z), що має похідну в точці z0, називається диференційовною в
цій точці, вираз f((z0) ( z — її диференціалом у точці z0 і позначається
d f(z0). Припустимо, що ( z = dz, тобто d f(z0) = f((z0) dz. Функція, що
диференційовна в кожній точці відкритої множини D, називається
диференційовною в D.

Із означення похідної і властивостей границь дістаємо основні правила
диференціювання, які аналогічні правилам диференціального числення
функцій дійсного змінного, тобто:

(с)( = 0, с ( С,

,

,

,

,

.

.

.

була диференційовною в точці z0 як функція комплексного змінного,
необхідно і достатньо, щоб функції u і v були диференційовні в точці
(х0, у0) і їх частинні похідні в точці задовольняли рівняння

.

При виконанні всіх умов теореми похідну f((z0) можна обчислити за однією
з таких формул:

(6.10)

Умови (6.10) називають умовами Коші—Римана—Ейлера—Даламбера.

Означення. Функція f(z), яка визначена в околі точки z0, називається
аналітичною в точці z0, якщо вона диференційовна в околі цієї функції.

Аналітична функція в кожній точці відкритої множини називається
аналітичною в D або голоморфною.

Теорема 3. Для того щоб у деякій області D функція f(z) = u(x; y) +
iv(x; y) була аналітичною, необхідно і достатньо, щоб:

1) в області D існували неперервні частинні похідні від функцій u(x; y)
та v(x; y);

2) частинні похідні були пов’язані умовами (6.10).

Властивості аналітичних функцій

Означення похідної від комплексного змінного дає змогу перенести на
аналітичні функції комплексної змінної ряд властивостей диференційовних
функцій дійсної змінної.

при f2(z) ( 0 також є аналітичними.

Якщо ( = f(z) є аналітичною функцією в області D, причому в області її
значень G на площині ( визначена аналітична функція ( ( ( ((), то
функція F(z) = ([f (z)] також є аналітичною в області D.

.

4. Нехай в області D задана функція, що є дійсною частиною аналітичної
функції f(z). Тоді уявна частина цієї функції визначається з точністю до
сталої. Справді, з огляду на умови (6.10) за заданою функцією u(x, y)
однозначно визначається повний диференціал невідомої функції v (x, y):

.

Таким чином, сім’ї кривих u (x, y) = c і v (x, y) = c взаємно
ортогональні, бо градієнти ортогональні лініям рівня.

Геометричний зміст похідної від аналітичної функції

При зображенні неперервної функції ( = f(z), z ( D з відмінною від 0
похідною f((z0), будь-яка крива (1 площини z, що проходить через точку
z0 і має в цій точці дотичну, перетворюється в криву Г1 площини (, що
проходить через точку (0 = f(z0) і також має дотичну в цій точці
(рис. 6.3, а).

Рис. 6.3

При цьому Argf((z0) дорівнює куту, на який треба повернути проти
годинникової стрілки дотичну до кривої ( у точці z0, щоб одержати напрям
дотичної до кривої Г в точці (0. Звідси випливає: якщо криві (1 і (2,
які проходять через точку z0 і мають дотичні в цій точці, перетворюються
за допомогою f відповідно в криві Г1 і Г2 площини ( і ( — кут, на який
треба повернути дотичну до кривої (2 в точці z0, щоб вона збігалася з
дотичною до кривої (1 в цій точці, то при повороті дотичної до кривої Г2
в точці (0 на кут (, одержимо дотичну до кривої Г1 у точці (0. Таким
чином, кут між лініями Г1 і Г2 в точці (0 такий, як і між (1 і (2 в
точці z0.

Неперервне й однозначне відображення, за якого зберігаються величини
кутів між кривими, що проходять через задану точку, називається
комформним у цій точці. Якщо при цьому зберігаються не тільки величини
кутів, а й напрями їх відліку, то таке відображення називається
комформним відображенням першого роду; якщо ж напрями відліку кутів
змінюються на протилежні, то кажуть про комформне відображення другого
роду. Отже, відображення за допомогою аналітичної функції в деякій
області D є комформним відображенням першого роду в усіх точках, в яких
похідна відрізняється від нуля.

Якщо відображення f є комформним у кожній точці області D, то f
називається комформним відображенням області D.

Модуль похідної (f((z0)( можна розглядати як коефіцієнт розтягу в точці
z0 при зображенні функцією f(z).

Дробово-лінійна функція

, де a, b, c, d — зафіксовані комплексні числа, причому (c(2 + (d(2 ( 0
і ad – bc ( 0. (Випадок ad – bc = 0 виключаємо із розгляду як нецікавий,
бо тоді L(z) ( const.)

В окремому випадку при c = 0 і ad ( 0 одержимо цілу лінійну функцію
( = Az + B.

Перетворення, що здійснюється за допомогою дробово-лінійної функції, є
суперпозицією таких трьох найпростіших перетворень:

( = z + c — перенесення площини на вектор, що відповідає комплексному
числу с;

( = ei(z (Im ( = 0) — поворот площини на кут навколо початку координат;

( = kz (k > 0) — перетворення подібності з коефіцієнтом k.

Зауважимо, що всі вони переводять коло в коло, а пряму в пряму.

Властивості.

o

2

6

n

p

r

?

 

¦

?

?

¬

?

o

> @ F H J L R T V X Z ^ ` b d j l ae e i ? o o o u

»

<" $ ( * , . 2 4 6 8 @ B D F J L T Z \ ^ b d j l ? ? ’ ¦ ? ? ¬ ? ? ? & ?? j[ & & що через неї не проходять, — в коло (кругова властивість). Будь-яка пара точок, що симетричні відносно кола або прямої, перетворюються в пару точок, що симетричні відносно образу Г (властивість зберігання симетричних точок). Означення. Точки z і z( називаються симетричними відносно кола (, якщо вони лежать на одному промені, що виходить із центра, ( і добуток їх відстаней від центра кіл дорівнює квадрату її радіуса. . Крім того, точки z і z( є симетричними відносно ( тоді і тільки тоді, коли будь-яке коло, що проходить через ці точки, перетинає ( під прямим кутом. Симетрія відносно прямої розуміється в звичайному значенні (точки z і z( лежать по різні боки від прямої ( на однаковій від неї відстані, а відрізок, що їх сполучає, перпендикулярний до (). , де ( ( (, а ( = cos ( + i sin ( відповідає одиничному вектору, що напрямлений по цій прямій. Існує тільки одне дробово-лінійне перетворення ( = L(z), яке довільно задані три різні точки z1, z2, z3 переводить відповідно в задані довільні різні точки (1, (2, (3. Воно визначається із співвідношення: , де різниці, в яких ( zn (або (n), що збігаються з (, необхідно замінити одиницею. Доводячи це твердження, використовуємо те, що дробово-лінійне перетворення, яке відрізняється від тотожного, має дві нерухомі точки, які можуть зливатися в одну. Одне з найчастіше використовуваних дробово-лінійних зображень є зображення круга (z( < r на круг (z( < R, яке визначається функцією , — дійсне. . Знайти (0 і (. , то дістанемо такі рівняння шуканих кіл: . Звідси Отже, приходимо до рівняння або . Крім того, рівняння цього ж кола можна записати у вигляді , де через (0 і ( позначені її центр і радіус. Для їх визначення одедістанемо таку систему рівнянь: Після підставляння в друге рівняння знайденого значення (0 і симетричних обчислень приходимо до шуканого значення (: . Однозначні елементарні функції комплексного змінного 1. Степенева функція. Нехай n ( N. Означення. Функція ( = zn, z ( C називається цілою степеневою функцією. При n = 1 зображення ( = z, z ( C є тотожним, а тому однолистим і комформним у всій комплексній площині С. Функція ( = zn — аналітична і, оскільки (( = nzn – 1, то ((z ( C) відповідне її відображення комформне в кожній точці. Функція ( = zn має рівно n різних прообразів, які визначаються формулою . на внутрішність кута з вершиною в точці ( = 0 і розхилом n(. Тому степеневу функцію часто використовують тоді, коли треба зобразити кут з прямолінійними сторонами на інший кут також з прямолінійними сторонами, але розхил якого в n разів більший від розхилу першого. 2. Функція Жуковського Означення. Функцією Жуковського називається функція виду . , z ( 0. Тому в кожній точці z ( ±1 зображення цієї функції комформне. Областями однолистості функції Жуковського є області, які не містять двох точок z1 і z2, що пов’язані рівністю z1 ( z2 = 1. Такими областями однолистості є внутрішність одиничного круга (z( < 1 або його зовнішність (z( > 1.

Коло (z( = 1 шляхом функції Жуковського відображається в подвійний
відрізок.

, (z( ( 0 відображає однолисто круг (z( < 1 на зовнішність відрізка [– 1; 1] площини (. зображенням Жуковського в сім’ї гіпербол , (0 < r ( 1) — відповідно в проміжки [1, + (), (– (i, 0], (– (; – 1] і [0, + (i). Аналогічно, функція Жуковського відображає однолисто зовнішність круга (z( ( 1 на зовнішність відрізка [– 1; 1]. 3. Показникова функція ), тобто . (6.11) . . для деякого k ( Z. Тому число 2(i є основним періодом. . не однолисте. 4. Тригонометричні і гіперболічні функції Означення. Тригонометричні функції косинуса і синуса для кожного комплексного змінного визначаються рівностями . для всіх z ( C. Визначимо для комплексних чисел z функції тангенс і котангенс за допомогою рівностей: . Ці функції в областях визначення аналітичні, причому . За допомогою показникової функції комплексного змінного визначаються гіперболічні функції chz i shz: . Безпосередньо з означення гіперболічних функцій маємо формули , що встановлюють зв’язок гіперболічних функцій з тригонометричними. Основні формули: , , , , (6.12) . . Деякі багатозначні елементарні функції комплексного змінного До багатозначних елементарних функцій комплексного змінного відносять функції обернену до степеневої: ; або логарифмічну — як обернену до показникової , де lnz — головне значення логарифма визначається за формулою ; обернені тригонометричні функції: ; узагальнену показниково-степеневу функції: , де а ( 0, ( ( С. також пов’язані між собою. Знайдемо, наприклад, зв’язок між Ln z і Arcsin z. , що можна записати у вигляді: . , маємо , . . Приклад. Розв’язати рівняння: , де k — дійсне число. (6.13) ( Рівняння (6.13) за допомогою показникової функції подається у вигляді . . , то це рівняння і початкове не мають розв’язків. . рівняння також не має розв’язків. В останніх випадках розв’язки цього рівняння можна задати формулою . . ЛІТЕРАТУРА Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с. PAGE

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *