Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції(пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції.
Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох
змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Неявні функції
, їх диференціювання.

План

Диференціал функції.

Геометричний зміст диференціала.

Лінеаризація функції.

Диференціал складної функції.

Повний диференціал функції декількох змінних.

Достатні умови диференційованості функції.

Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.

Інваріантність форми диференціала.

Диференціювання функцій, заданих параметрично.

Неявні функції, їх диференціювання.

1. Диференціал функції

1.1 Означення диференційованої функції

, якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

                                 (6.48)

 прямує до нуля.

, якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

   (6.49)   де

).

 дорівнює саме цій похідній:

                              (6.50)

 має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.

.

 умова диференційованості  жорстокіша, ніж існування частинних похідних
в точці.

, неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома
змінними.

 диференційована в цій точці.

            Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована
в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій
області.

1.2 Диференціал

,

 є величина вищого порядку малості, ніж перший,

 в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.

,

.                (6.51)

. Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду

,

або

                                         (6.52)

Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів
від елементарних функцій:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

 — диференційовані функції, то безпосередньо із визначення диференціала
і властивостей похідних маємо такі властивості диференціала:

),

,

,

.

).

:

або

.                                                    (6.53)

Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала:
диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї
функції в розглядуваній точці.

Рис.6.6

Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка
рухається за відомим законом

 має диференціал

.

.

.

 6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних

.

. Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку

. Для приросту

одержуємо такий вираз:

             (6.54)

.

:

.                 (6.55)

).

.

Р о з в ’ я з о к.

.

Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на
випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.

Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна
відносно приросту всіх аргументів частина повного приросту функції.

.

Р о з в ‘ я з о к.

.

Означення дотичної площини і нормалі до поверхні. Є кілька еквівалентних
між собою означень дотичної площини до поверхні. Ми дамо означення, яке
є природним узагальненням означення дотичної (прямої) до кривої (рис.
6.7).

.

.

 перпендикулярно до дотичної площини до поверхні в цій точці.

 існує і має рівняння

.  (6.56)

 легко записати рівняння нормалі:

.                    (6.57)

 дотичну площину (рис. 6.8). Її рівняння (6.56),

                   Рис.6.7                                     Рис.6.8

, можна записати у вигляді

.

.

.

 двох незалежних змінних

.

 у вигляді

,

або, що те саме,

.

. При цьому, згідно з (6.58),

.

            Застосувавши правила для обчислення частинних похідних

складної функції (формули 6.47), одержимо

, маємо:

.

 можна записати у формі

.

У зв’язку з цим така форма запису повного диференціала називається
інваріантною.

 

Форма запису повного диференціала

.

6.7. Диференціювання параметрично заданих функцій

 при цьому називається параметром.

.

, звідки

,                                 (6.59)

або

.

.

:

,

;

.

6.8. Неявні функції, їх диференціювання

.

. Для цього повинні виконуватись певні умови, доведення яких
опускається.

Теорема. (теорема існування неявної функції). Нехай:

;

 дорівнює нулю:

;

.

Тоді

1)      в деякому прямокутнику

;

:

;

 неперервна і має неперервну похідну.

.

Обчислюючи повну похідну, маємо

,

звідки

.                                 (6.61)

.

Р о з в ’ я з о к.

.

Нехай задано рівняння

                          (6.62)

і при цьому виконуються умови, аналогічні умовам 1) — 3). Можна

.

Частинні похідні такої функції обчислюються за формулами:

.         (6.63)

 записується у вигляді

.           (6.64)

 записується у вигляді

.                       (6.65)

.

 записується у вигляді

                    (6.66)

 має вигляд

.        (6.67)

Приклади.

.

 функції, неперервні скрізь.

, крива має в цій точці дотичну і нормаль. Їх рівняння:

;

.

.

;

 можна провести дотичну площину і нормаль до поверхні.

Рівняння:

;

.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *