Пошукова робота на тему:
Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції.
Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох
змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Неявні функції
, їх диференціювання.
План
Диференціал функції.
Геометричний зміст диференціала.
Лінеаризація функції.
Диференціал складної функції.
Повний диференціал функції декількох змінних.
Достатні умови диференційованості функції.
Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.
Інваріантність форми диференціала.
Диференціювання функцій, заданих параметрично.
Неявні функції, їх диференціювання.
1. Диференціал функції
1.1 Означення диференційованої функції
, якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:
(6.48)
прямує до нуля.
, якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:
(6.49) де
).
дорівнює саме цій похідній:
(6.50)
має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.
.
умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних
в точці.
, неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома
змінними.
диференційована в цій точці.
Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована
в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій
області.
1.2 Диференціал
,
є величина вищого порядку малості, ніж перший,
в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.
,
. (6.51)
. Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду
,
або
(6.52)
Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів
від елементарних функцій:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
– диференційовані функції, то безпосередньо із визначення диференціала
і властивостей похідних маємо такі властивості диференціала:
),
,
,
.
).
:
або
. (6.53)
Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала:
диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї
функції в розглядуваній точці.
Рис.6.6
Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка
рухається за відомим законом
має диференціал
.
.
.
6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних
.
. Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку
. Для приросту
одержуємо такий вираз:
(6.54)
.
:
. (6.55)
).
.
Р о з в ’ я з о к.
.
Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на
випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.
Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна
відносно приросту всіх аргументів частина повного приросту функції.
.
Р о з в ‘ я з о к.
.
Означення дотичної площини і нормалі до поверхні. Є кілька еквівалентних
між собою означень дотичної площини до поверхні. Ми дамо означення, яке
є природним узагальненням означення дотичної (прямої) до кривої (рис.
6.7).
.
.
перпендикулярно до дотичної площини до поверхні в цій точці.
існує і має рівняння
. (6.56)
легко записати рівняння нормалі:
. (6.57)
дотичну площину (рис. 6.8). Її рівняння (6.56),
Рис.6.7 Рис.6.8
, можна записати у вигляді
.
.
.
двох незалежних змінних
.
у вигляді
,
або, що те саме,
.
. При цьому, згідно з (6.58),
.
Застосувавши правила для обчислення частинних похідних
складної функції (формули 6.47), одержимо
, маємо:
.
можна записати у формі
.
У зв’язку з цим така форма запису повного диференціала називається
інваріантною.
Форма запису повного диференціала
.
6.7. Диференціювання параметрично заданих функцій
при цьому називається параметром.
.
, звідки
, (6.59)
або
.
.
:
,
;
.
6.8. Неявні функції, їх диференціювання
.
. Для цього повинні виконуватись певні умови, доведення яких
опускається.
Теорема. (теорема існування неявної функції). Нехай:
;
дорівнює нулю:
;
.
Тоді
1) в деякому прямокутнику
;
:
;
неперервна і має неперервну похідну.
.
Обчислюючи повну похідну, маємо
,
звідки
. (6.61)
.
Р о з в ’ я з о к.
.
Нехай задано рівняння
(6.62)
і при цьому виконуються умови, аналогічні умовам 1) – 3). Можна
.
Частинні похідні такої функції обчислюються за формулами:
. (6.63)
записується у вигляді
. (6.64)
записується у вигляді
. (6.65)
.
записується у вигляді
(6.66)
має вигляд
. (6.67)
Приклади.
.
функції, неперервні скрізь.
, крива має в цій точці дотичну і нормаль. Їх рівняння:
;
.
.
;
можна провести дотичну площину і нормаль до поверхні.
Рівняння:
;
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
