Реферат на тему:
Задачі нелінійного програмування. Деякі основні методи їх розв’язування
та аналізу.
План.
1. Задачі квадратичного програмування (КП) та основні методи їх
розв’язання.
2. Економічна постановка та математичні моделі окремих задач КП.
3. Література
Задачі квадратичного програмування та основні методи їх розв’язування.
Любий локальний максимум в задачі випуклого програмування являється
глобальним максимумом.
Визначення 1: Функцією Лагранжа в задачі випуклого програмування
(24)-(26) називається функція
– множники Лагранжа.
називається сідловою точкою функції Лагранжа, якщо
– сідлова точка функції Лагранжа
була сідловою точкою функції Лагранжа, тобто була розв’язком задачі
випуклого програмування. Ці вирази мають такий вид:
функції Лагранжа у вигляді виразів
називається числова функція від цих змінних, що має наступний вид
.
.
Теорема 1. Квадратична форма є опуклою функцією, якщо вона
позитивно-напіввизначена, і увігнутою функцією, якщо вона негативно –
напіввизначена.
Визначення 4. Задача, що складається у визначенні максимального
(мінімального) значення функції
(7)
при обмеженнях
(8)
, (9)
— негативно(позитивно)-напіввизначена квадратична форма, називається
задачею квадратичного програмування.
Для сформульованої задачі квадратичного програмування функція Лагранжа
записується у вигляді:
, обертаючі нерівності (1) й (4) у рівності, перепишемо вираження (1) —
(6), записані для задачі квадратичного програмування, у такому вигляді:
(14)
— штучні змінні, введені в рівняння (10) та (11).
Використовуючи метод штучного базису і додатково з огляду на умови (12)
та (13), після кінцевих етапів, одержимо оптимальний план вихідної
задачі.
Отже, процес знаходження розв’язку задачі квадратичного програмування
(7) — (9) включає наступні етапи:
1. Складають функцію Лагранжа.
2. Записують у вигляді виражень (10) — (14) необхідні і достатні умови
існування сідлової точки для функції Лагранжа.
3. Використовують метод штучного базису, або установлюють відсутність
сідлової точки для функції Лагранжа, або знаходять її координати.
4. Записують оптимальний розв’язок вихідної задачі і знаходять значення
цільової функції.
1. Знайти максимальне значення функції
(15)
при умовах:
(16)
(17)
, що є негативно-визначенною отже, є також увігнутою. Система обмежень
задачі включає тільки лише лінійні нерівності. Отже, можна скористатися
теоремою Кун-Танккера. Складемо функцію Лагранжа
запишемо у вигляді виразів (10) — (14) необхідні і достатні умови
існування сідлової точки побудованої функції:
(18)
(19)
(20)
Систему лінійних нерівностей (18) перепишемо в такий спосіб:
(21)
, що перетворюють нерівності (18) у рівність:
(22)
(23)
З огляду на рівності (22), можна записати:
(24)
Література.
Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування: Навч. посіб. –
К.:КНЕУ, 2003.- 452 с.
Барвінський А.Ф та ін. Математичне програмування: Навчальний посібник /
А.Ф. Барвінський, І.Я. Олексів, З.І. Крупка, І.О. Бобик, І.І. Демків,
Р.І. Квіт, В.В. Кісілевич – Львів: Національний університет “Львівська
політехніка” (Інформаційно-видавничий центр “Інтелект+” Інститут
післядипломної освіти) “Інтелект – Захід”, 2004. – 448 с.
Акулич М.Л. Математичиское програмирование в примерах и задачах: Учебное
пособие для студентов экономических специальних вузов. – Вища школа,
1985-319с.,ст.270-274.
Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне
програмування: Навч. – метод. посібник для самост. вивч. дисц. – К.:
КНЕУ, 2001. – 248 с.
Математичне програмування (методичний посібник для студентів економічних
спеціальностей)/Укладачі: Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І.,
Дронь В.С., Кондур О.С., – Чернівці: „Рута”, 1998.-168 с.
(10)
(11)
(12)
(13)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
