Метрология
ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРТВЕНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕССИТЕТ
Кафедра «ПМиС»
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МЕТРОЛОГИЯ
Орел 2000 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАНИЕ 1. ОДНОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ………………………………
ЗАДАНИЕ 2. МНОГОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ…………………………….
ЗАДАНИЕ 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕСКОЛЬКИХ СЕРИЙ
ИЗМЕРЕНИЙ …………………………………….……………………………
ЗАДАНИЕ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
(КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ)………………………….
ЗАДАНИЕ 5. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПРИ
ИЗУЧЕНИИ ЗАВИСИМОСТЕЙ………………………………………………
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………………..ЗАДАНИЕ 1. ОДНОКРАТНОЕ
ИЗМЕРЕНИЕ.
При однократном измерении физической величины получено показание
средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение
измеряемой величины, если экспериментатор обладает следующей априорной
информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений:
класс точности средства измерений 4,0; пределы измерений 0…50; значение
аддитивной поправки (а=0,5.
Решение:
Анализируем имеющуюся априорную информацию: имеется класс точности
средства измерения, и аддитивная поправка.
При проведении отчета получено значение: X=10.
Рассчитываем показания приборов: определим предел абсолютной
погрешности:
(1.1)
где XN – нормирующее значение, в данном случае равное диапазону
измерения средства измерения XN=50;
(П – нормируемый предел допускаемой приведенной погрешности, которая
определяется из класса точности средства измерения (П = 4,0 %.
Определяем предельные значения измерения:
X1=X-(X=10-2=8
X2=X+(X=10+2=12
Вносим в результат измерения поправку:
Q1=X1+(a=8+0,5=8,5
Q2=X2+(a=12+0,5=12,5
Записываем результат измерения: Q1 ? Q ? Q2, 8,5 ? X ? 12,5.
ЗАДАНИЕ 2. МНОГОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ.
При многократном измерении одной и той же физической величины получена
серия из 24 результатов измерений Qi ; i ( (1…24). Эти результаты
после внесения поправок представлены в таблице 1.
Таблица 1.– результаты измерений.
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12
483 484 485 482 484 483 485 485 484 483 481 494
Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q20 Q21 Q22 Q23 Q24
482 483 483 482 483 486 485 484 484 483 484 493
и среднего квадратического отклонения результата измерения SQ.
2.2 Обнаружить и исключить ошибки. Для этого вычислим наибольшее по
абсолютному значению нормированное отклонение:
Зададимся доверительной вероятностью Р=0.95 /1/, с учетом q = 1 – Р
найдем соответствующее ей теоретическое (табличное) значение ?q=2.701 ;
Сравним ? с ? q. Так как ?max > ? q, то данный результат измерения
Q12 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторим
вычисления для сокращенной серии результатов измерений.
Для n=23 определим ?q=2.683. Сравним ? с ? q. Так как ?max > ? q, то
данный результат измерения Q23 является ошибочным, он должен быть
отброшен. После этого повторим вычисления для сокращенной серии
результатов измерений
Для n=22 определим ?q=2,664. Сравним ? с ? q. Так как ?max < ? q,
больше ошибочных результатов нет.
2.3 Проверим гипотезу о нормальности распределения оставшихся
результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию /1/.
Применив критерий 1, вычислим отношение:
Зададимся доверительной вероятностью P1=0.98 и для уровня значимости
q1=1–Р1 по таблицам /1/, определим квантили распределения
d1-0,5ql=0.7360, и d0,5q1=0.8686 Сравним d с d0,5q1, и d0,5q1. Так
как d1-0,5q1 < d < d0,5q1, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. Применив критерий 2, зададимся доверительной вероятностью Р2=0.98 и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n=22 определим по таблицам /1/, значения m=2 и Р*=097 .Для вероятности Р*=0.97 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) /2/, определим значение t=2.17 и рассчитаем: Е = t?SQ= 2.17*1.224=2.656 | превосходит Е, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. 2.4 Определим стандартное отклонение среднего арифметического. Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяют как: 2.5 Определим доверительный интервал. Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р=0.95 определяется из распределения Стьюдента: Е = t(S, где t=2.08 выбирается из таблиц /1/, при этом m = n – 1, а ( = 1-Р. Е=2.08*0.261=0.543 Результат измерения будет Q= 483.5±0.5; a=0.95; n=22. ЗАДАНИЕ 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕСКОЛЬКИХ СЕРИЙ ИЗМЕРЕНИЙ При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по n=12 результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в табл. 2. Вычислим результат многократных измерений. Таблица 2.– результаты измерений Qj,i двух серий. серия j = 1 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q110 Q111 Q112 483 484 485 482 484 483 485 485 484 483 481 494 серия j = 2 Q21 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26 Q27 Q28, Q29 Q210 Q211 Q212 482 483 483 482 483 486 485 484 484 483 484 493 Обработаем экспериментальные данные в каждой j-ой серии отдельно. и среднеквадратического отклонения sqj; ; 3.2 Обнаружить и исключить ошибки для первой серии. Для этого вычислим наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение: Зададимся доверительной вероятностью Р=0.95 /1/, с учетом q = 1 – Р найдем соответствующее ей теоретическое (табличное) значение ?1q=2.387; Сравним ?1 с ?1 q. Так как ?1 > ?1 q, то данный результат измерения
Q12 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторим
вычисления для сокращенной серии результатов измерений.
Для n=11 определим ?1q=2,383. Сравним ? с ?1 q. Так как ?max < ? q, больше ошибочных результатов нет. Обнаружить и исключить ошибки для второй серии: Для n=12 определим ?2q=2.387. Сравним ?2 с ?2 q. Так как ?2 > ?2 q,
то данный результат измерения Q12 является ошибочным, он должен быть
отброшен. После этого повторим вычисления для сокращенной серии
результатов измерений.
,
Для n=11 определим ?2q=2,383. Сравним ?2 с ?2 q. Так как ?2 < ?2 q,
больше ошибочных результатов нет.
3.3 Проверим гипотезу о нормальности распределения для обоих серий
оставшихся результатов измерений по составному критерию /1/. Применив
критерий 1, вычислим отношение:
Зададимся доверительной вероятностью P1=0.98 и для уровня значимости q1
= 1 – Р1 по таблицам /1/, определим квантили распределения
d1-0,5ql=0.715, и d0,5q1=0907. Сравним d1 и d2 с d0,5q1, и d0,5q1. Так
как d1-0,5q1 < d1,d2 < d0,5q1, то гипотеза о нормальном законе
распределения вероятности результата измерения для обоих серий
согласуется с экспериментальными данными.
Применив критерий 2, зададимся доверительной вероятностью Р2=0.98 и для
уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n=11 определим по таблицам /1/,
значения m1=m2=1 и Р1*=P2*=0.98 .Для вероятности Р*=0.98 из таблиц для
интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) /2/,
определим значение t= 2.33 и рассчитаем:
Е1= t?SQ1= 2.33*1.293=3.013
Е2= t?SQ2= 2.33*1.214=2.828
8
:
?
?
¬
®
?
??
\th
ph
????
??
????
????
| превосходит Е по обоим сериям, то гипотеза о нормальном законе
распределения вероятности результата измерения согласуется с
экспериментальными данными.
3.4 Проверим значимость различия средних арифметических серий по
алгоритму /3/. Для этого вычислим моменты закона распределения разности:
2=483.545-483.545=0,
Задавшись доверительной вероятностью Р=0.95, определим из
соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального
распределения Ф (t) /1/, значение t= 1.57;
t*Sg=0.253, то различия между средними арифметическими в сериях с
доверительной вероятностью Р можно признать незначимым.
3.5 Проверим равнорассеянность результатов измерений в сериях по
алгоритму /3/,Для этого следует определить значение:
Задавшись доверительной вероятностью Р=0.95, определить из
соответствующих таблиц /1/ значение аргумента интегральной функции
распределения вероятности Фишера (0=2.69. Сравним ( с (0.
Так как ( < (0, то серии с доверительной вероятностью Р считают рассеянными. Так как серии однородны (равнорассеяны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения объединим в единый массив и выполним обработку по алгоритму /1/ как для одной серии. Для этого определим оценку результата измерения Q и среднеквадратического отклонения S по формулам: ; Задавшись доверительной вероятностью Р=0.95, определим из таблиц распределения Стьюдента значение t для числа степеней свободы: ; m=4/0.1+0.1=20 тогда t=2.086. Определим доверительный интервал: Е = t(S=2.086*0.261=0.543 3.6 Запишем результат Q±E=483.5 ± 0.5, (=0.95 , n=22. ЗАДАНИЕ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ (КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ). При многократных измерениях независимых величин U и I получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в табл. 3. Определить результат вычисления R = f (U,I) которая имеет вид R=U/I. Таблица 3.– результаты измерений U и I. Напряжение U, мВ U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 483 484 485 482 484 483 485 485 484 483 481 494 Ток I, мкА I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8, I9 I10 I11 I12 482 483 483 482 483 486 485 484 484 483 484 493 Обработаем результаты измерения напряжений и тока: среднего квадратического отклонения результатов измерения SU и SI. ; Исключим ошибки: Зададимся доверительной вероятностью Р=0.95 /1/, с учетом q = 1 – Р найдем соответствующее ей теоретическое (табличное) значение ?qU=2.387; Сравним ?U с ?qU. Так как ?U > ?qU, то данный результат измерения U12
является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторим
вычисления для сокращенной серии результатов измерений.
Для n=11 определим ?qU=2,383. Сравним ?U с ?qU. Так как ?U < ?qU, больше ошибочных результатов нет. Обнаружить и исключить ошибки для второй серии: Для n=12 определим ?qI=2.387. Сравним ?I с ?qI. Так как ?I > ?qI, то
данный результат измерения Q12 является ошибочным, он должен быть
отброшен. После этого повторим вычисления для сокращенной серии
результатов измерений.
,
Для n=11 определим ?qI=2,383. Сравним ?I с ?qI. Так как ?I < ?qI,
больше ошибочных результатов нет.
4.2 Проверим гипотезу о нормальности распределения для обоих серий
оставшихся результатов измерений по составному критерию /1/. Применив
критерий 1, вычислим отношение:
Зададимся доверительной вероятностью P1=0.98 и для уровня значимости q1
= 1 – Р1 по таблицам /1/, определим квантили распределения
d1-0,5ql=0.715, и d0,5q1=0907. Сравним dU и dI с d0,5q1, и d0,5q1. Так
как d1-0,5q1 < d1,d2 < d0,5q1, то гипотеза о нормальном законе
распределения вероятности результата измерения для обоих серий
согласуется с экспериментальными данными.
Применив критерий 2, зададимся доверительной вероятностью Р2=0.98 и для
уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n=11 определим по таблицам /1/,
значения m1=m2=1 и Р1*=P2*=0.98 .Для вероятности Р*=0.98 из таблиц для
интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) /2/,
определим значение t= 2.33 и рассчитаем:
ЕU = t?SU = 2.33*1.293=3.013мВ
ЕI = t?SI = 2.33*1.214=2.828мкА
| превосходит Е по обоим сериям, то гипотеза о нормальном законе
распределения вероятности результата измерения согласуется с
экспериментальными данными.
Определим оценку среднего
Определим оценку стандартного отклонения функции
так как ?<<S, следовательно аддитивной поправкой можно пренебречь.
4.6. Определим доверительный интервал для функции EZ=t??S , где t?
определяем из таблиц для распределения Стьюдента, задавшись
доверительной вероятностью P=0.95 и определив число степеней свободы как
;
Определяем t?=2,086. Имеем: EZ=2.307
Ом, nx=11, ny=11, ?=0.95
ЗАДАНИЕ 5. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПРИ
ИЗУЧЕНИИ ЗАВИСИМОСТЕЙ.
Условие: При многократных совместных измерениях величин X и Y получено
по 20 пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок
представлены в таблице. Требуется определить уравнение регрессии Y по X.
Таблица результатов измерений:
X 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Y 405 418 431 442 449 456 468 475 485 492
X 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
Y 10 110 205 312 405 505 602 696 795 914
Построим n экспериментальных точек в осях координат X, Y. (Рисунок 1)
. Определяем параметры A и B как:
.
, получим:
-0,866 2,411 5,688 6,965 4,242 1,519 3,796 1,073 1,351 -1,372
-6,95 -4,179 -6,408 3,363 -0,866 1,905 1,676 -1,553 0,218 12,011
Рассчитаем число серий в полученной последовательности N=8. Задавшись
доверительной вероятностью P=0.95 для n=20 определяем по соответствующим
таблицам допустимые границы N1-0.5( =6 и N0.5(=14. Рассчитаем
количество инверсий в данной последовательности А=79. Задавшись
доверительной вероятностью P=0.95 для n=20 определяем по соответствующим
таблицам допустимые границы А1-0.5( =64 и А0.5(=125. Так как N1-0.5( <
N ? N0.5( и А1-0.5( < A ? А0.5( следовательно с доверительной
вероятностью P=0.95 можно считать, что отклонения экспериментальных
значений Y от соответствующих расчетных значений являются случайными. То
есть расчетное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально
исследованную зависимость.
Рисунок 1 – Результат измерения
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
иженеров и учащихся вузов.- М.: Наука, 1986.- 544 с.
2. ГОСТ 8.401-80.
3. Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством – М.:
Изд-во стандартов, 1990.
4. Атамалян Э.Г. Приборы и методы измерения электрических величин.- М.:
Высшая школа, 1989.- 384 с.
5. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир,
1989. – 540 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
