Контрольная работа №1
Спектральный анализ периодического и непериодического управляющих сигналов
Дано:
Шифр сигнала ─ 4 из табл. 1[1];;
Длительность периода ─ Т = 0,001 с = 1000 мкс ;
Соотношение между периодом и длительностью импульса ─ Т = 3τ
Рис. 1 – Периодический сигнал
Задание:
1.Выполнить математическое описание заданного периодического сигнала, изобразить графически 2-3 периода сигнала, указав на рисунке параметры.
Математическое описание заданного периодического сигнала
Рис. 2
В результате подстановки данных варианта получаем униполярные прямоугольные периодические импульсы.
Период сигнала : Т = 0,001 с = 1000 мкс ;
Длительность импульса:
τ* = 2τ = 2· Т/3 = ;
Временной интервал между импульсами:
τ = Т/3 = ;
Четная симметрия относительно моментов времени
t = n·T/2, где n = 0,±1, ±2, ±3…;
;
Скважность импульсов:
Анализ временных свойств сигнала и формулировка обоснованных предположений о свойствах и особенностях спектрального состава сигнала.
Сигнал является четной функцией времени
Сигнал представляет собой знакопостоянную последовательность импульсов. Постоянная составляющая ряда Фурье равна:
В разложении сигнала в ряд Фурье будут присутствовать только косинусоидальные гармонические составляющие, т.е.:
Ряд Фурье можно преобразовать следующим образом:
Вычисление спектров амплитуд и фаз. Характер огибающей спектра амплитуд.
Производим расчет весовых коэффициентов аn:
Амплитуды гармоник
Фазы гармоник
Результаты оформляем в виде таблицы.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an -0,66667 0,5513 0,2757 0 -0,1378 -0,1103 0 0,0788 0,0689 0 -0,0551
bn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
An 0,66667 0,5513 0,2757 0 0,1378 0,1103 0 0,0788 0,0689 0 0,0551
φn 0 0 – -π -π – 0 0 – -π
0,66667 0,27565 0,13785 0 0,0689 0,05515 0 0,0394 0,03445 0 0,02755
Построение оценки сигнала
Для N=4 :
Пользуясь четной симметрией сигнала в отрицательном периоде строим график симметрично.
t/T
0 -0,66667 0,5513 0,2757 -0,1378 0,022494
0,1 -0,66667 0,4460 0,0852 0,1115 -0,02394
0,2 -0,66667 0,1704 -0,2230 -0,0426 -0,76191
0,3 -0,66667 -0,1704 -0,2230 -0,0426 -1,10265
0,4 -0,66667 -0,4460 0,0852 0,1115 -0,91601
0,5 -0,66667 -0,5513 0,2757 -0,1378 -1,08016
0,6 -0,66667 -0,4460 0,0852 0,1115 -0,91601
0,7 -0,66667 -0,1704 -0,2230 -0,0426 -1,10265
0,8 -0,66667 0,1704 -0,2230 -0,0426 -0,76191
0,9 -0,66667 0,4460 0,0852 0,1115 -0,02394
1 -0,66667 0,5513 0,2757 -0,1378 0,022494
Расчет относительного значения среднеквадратической погрешности представления сигнала оценкой из гармонических колебаний.
Квадрат сигнала численно равен мгновенной мощности, рассеиваемой на сопротивлении нагрузки 1Ом. Средняя мощность сигнала прямо пропорциональна энергии, запасакмой за период и обратно пропорциональна периоду.
Мощность n-ного гармонического сигнала:
Уравнение погрешности представления периодического сигнала усеченным рядом Фурье:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
An 0,66667 0,5513 0,2757 0 0,1378 0,1103 0 0,0788 0,0689 0 0,0551
Pn 0,4444 0,1520 0,0380 0,0000 0,0095 0,0061 0,0000 0,0031 0,0024 0,0000 0,0015
PN 0,4444 0,5964 0,6344 0,6344 0,6440 0,6500 0,6500 0,6531 0,6555 0,6555 0,6570
,% 33,3340 10,5367 4,8374 4,8374 3,4051 2,4932 2,4932 2,0279 1,6717 1,6717 1,4438
По полученным результатам строим график
Определение комплексной спектральной плотности непериодического сигнала, совпадающего с заданным периодическим на протяжении одного периода в симметричных пределах и равного нулю при других временах.
Рассмотрим непериодический сигнал s1(t), изображенный на рисунке.
Его спектральная плотность
Сигнал s2(t) образован суммой сигналов s1(t), один из которых сдвинут вправо, а другой влево на величину . Применяя теорему сдвига, получим:
Спектральная плотность – действительная функция частоты, т.к. мнимая составляющая равна нулю. Размерность спектральной плотности – В∙с.
Построение графика модуля спектральной плотности и фазового спектра непериодического сигнала.
Учитывая, что , имеем :
Нули спектральной плотности находим, учитывая, что sin(k)=0 и cos(/2+k)=0, k=0,1,2…
По горизонтальной оси откладываем номер гармоники, основной частоты:
Аргумент спектральной плотности будет равен:
0 0,25 0,5 1 1,5 1,75 2 2,25 2,5 3 3,5 3,75 4 4,25 4,5 5 5,5 5,75 6 6,25 6,5
0 0,375 0,75 1,5 2,25 2,625 3 3,375 3,75 4,5 5,25 5,625 6 6,375 6,75 7,5 8,25 8,625 9 9,375 9,75
-6,6667Е–4 -0,00046 -3,7E-20 0,000424 3,68E-20 -6,6E-05 -2,6E-20 5,1E-05 1,43E-19 -0,00014 -3,7E-20 3,06E-05 2,6E-20 -2,7E-05 -3,7E-20 8,49E-05 -6E-20 -2E-05 -2,6E-20 1,84E-05 1,19E-19
-0,6667 -0,4594 0,0000 0,4244 0,0000 -0,0656 0,0000 0,0510 0,0000 -0,1415 0,0000 0,0306 0,0000 -0,0270 0,0000 0,0849 0,0000 -0,0200 0,0000 0,0184 0,0000
Сопоставление спектров периодического и непериодического сигналов.
Сопоставление спектров произведем на основании соотношения
Сравнение спектров периодического и непериодического сигналов показывает, что гармоники, построенные на частотах, кратных 1, и ограниченные спектральной плотностью непериодического сигнала со значениями Сn на спектральных диаграммах совпадают.
Определение энергии и средней мощности заданного сигнала на участке цепи с сопротивлением 1 Ом.
Определим энергию сигнала по временному представлению.
Контрольная работа №2
Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого порядка
Дано:
Шифр периодического сигнала s1 ─ 4 из табл. 3[1];
Рис. 1
После подстановки значений параметров и масштабирования, получаем:
Рис. 2
Длительность периода ─ Т = 0,001 с = 1000 мкс ;
Соотношение между периодом и длительностью импульса ─ Т = 3τ
Соотношение параметров цепи и сигнала:
Шифр цепи – 2 из табл. 4[1];
Рис. 3
Значения сопротивлений из табл. 1[1] – R1 = 2R; R2 = R
Задание:
Рассчитать и построить в масштабе АЧХ и ФЧХ интегрирующей и дифференцирующей цепей в диапазоне от нуля до 10 кГц, полагая (по шкале абсцисс сделать градуировку частоты в кГц и в безразмерных величинах ц);
Рассчитать и построить в масштабе переходную и импульсную характеристики цепей от нуля до tmax = 3ц (по шкале абсцисс сделать градуировку времени в мкс и в безразмерных величинах t/ц);
Проверить выполнение предельных соотношений между частотными и импульсными характеристиками.
Рассчитать спектр амплитуд и фаз на выходе заданной цепи при действии периодического сигнала s1(t).
Построить с учетом масштаба на общей спектрограмме спектры амплитуд и фаз входного и выходного сигналов при действии сигнала s2(t).
Дать представление входного сигнала с помощью функций Хевисайда.
Получить динамическое представление отклика заданной цепи на действие сигнала s2(t)(с помощью переходных характеристик).
Изобразить отклик цепи на интервале времени от нуля до tmax, в три раза превышающем длительность воздействия сигнала s2(t) .
Сделать выводы по результатам проведенного анализа.
Расчет частотных характеристик интегрирующей и дифференцирующей цепей.
Выполнение пунктов 1-3 задания оформляем в виде таблицы.
Табл. 1 – Анализ дифференцирующей и интегрирующей цепей.
Дифференцирующая цепь Интегрирующая цепь
Рис. 4
Рис. 5
Вводим оператор дифференцирования р, такой, что
Передаточный коэффициент цепи:
Передаточный коэффициент цепи:
Находим комплексный передаточный коэффициент, заменяя р на j
После анализа цепей находим частотные характеристики.
Табл. 2 – Частотные характеристики цепей
Дифференцирующая цепь Интегрирующая цепь
Амплитудно-частотная (АЧХ)
Фазочастотная (ФЧХ)
f,Гц 0 100 700 2000 5000 10000
,рад/с 0 628,3 4398,2 12566,4 31415,9 62831,9
ц,рад 0,000 0,043 0,303 0,866 2,165 4,329
К() 0,000 0,262 0,885 0,984 0,997 ~ 1
(),рад -1,57 -1,31 -0,48 -0,18 -0,07 ~0
(),град -90 -74,8 -27,7 -10,4 -4,2 ~0
f,Гц 0 100 700 2000 5000 10000
,рад/с 0 628,3 4398,2 12566,4 31415,9 62831,9
ц,рад 0,000 0,043 0,303 0,866 2,165 4,329
К() 1 0,96 0,46 0,18 0,07 ~ 0
(),рад 0,00 -0,27 -1,09 -1,39 -1,50 ~ -1,57
(),град 0 -15,2 -62,3 -79,6 -85,8 ~ -90
Рис. 6. АЧХ ДЦ
Рис. 7. АЧХ ИЦ
Рис. 8. ФЧХ ДЦ
Рис. 9. ФЧХ ИЦ
Расчет временных характеристик дифференцирующей и интегрирующей цепей.
Находим временные характеристики операторным методом, пользуясь значением операторного коэффициента найденного в пункте 1.
Табл. 3 – Временные характеристики цепей
Дифференцирующая цепь Интегрирующая цепь
Импульсные
Переходные
t,мкс 0 200 500 700 1000 1298,7
t/ τц 0 0,462 1,155 1,617 2,31 3
h(t) -2310 -1455,3 -727,8 -458,52 -229,29 ~ 0
g(t) 1 0,63 0,32 0,20 0,10 ~ 0
t,мкс 0 200 500 700 1000 1298,7
t/ τц 0 0,462 1,155 1,617 2,31 3
h(t) 2310 1455,35 727,78 458,52 229,29 ~ 0
g(t) 0 0,37 0,68 0,80 0,90 ~ 1
Рис. 10. ИХ ДЦ
Рис. 11 ИХ ИЦ
Рис. 12. ПХ ДЦ
Рис. 13. ПХ ИЦ
Проверка соотношений между частотными и временными характеристиками дифференцирующей и интегрирующей цепей.
Предельные соотношения
Табл. 4 – Предельные соотношения
Дифференцирующая цепь Интегрирующая цепь
Расчет спектра амплитуд и фаз на выходе заданной цепи при действии периодического сигнала s1(t).
По известной формуле из теории четырехполюсников находим передаточный коэффициент заданной цепи:
Находим комплексный передаточный коэффициент, заменяя р на j
Найдем спектральную плотность непериодического сигнала на входе(s2(t) ) и выходе (s2в(t)) цепи, соответствующему периодическому сигналу s1(t) на протяжении одного периода.
Спектральная плотность непериодического сигнала s2(t)(см. к.р.№1):
Спектральную плотность выходного сигнала s2в(t) найдем по формуле:
Учитывая, что
и ,
а также
Учитывая, что: или , получаем:
Спектр амплитуд выходного периодического сигнала s1В(t) :
Спектр фаз:
Табл. 6 – Спектры входного и выходного периодического сигналов
n
0 A0=|ao/2|=0,667 1 A0=|ao/2|=0,667 1,04575
1 0,551 0 0,361 -0,162
2 0,276 0 0,130 -0,152
3 0 – 0 –
4 0,138 -1 0,054 -1,102
5 0,110 -1 0,042 -1,085
6 0 – 0 –
7 0,079 0 0,029 -0,063
8 0,069 0 0,026 -0,055
9 0 – 0 –
10 0,055 -1 0,021 -1,045
Построение спектров амплитуд и фаз входного(s2(t) ) и выходного(s2в(t)) непериодического сигналов
В соответствии с пунктом 2, имеем:
Амплитудные спектры
Учитываем, что при =0
Амплитуда – четная функция частоты
Фазные спектры
Где функция sign()=1 при >0 и sign()=-1 при
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
