Геометрия владеет двумя сокровищами:
одно из них – теорема Пифагора, другое-
деление отрезка в среднем и крайнем от-
ношении.
И. Кеплер
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме
какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а
может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой
лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему
зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое
всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном
отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее
проявление структурного и функционального совершенства целого и его
частей в искусстве, науке, технике и природе.
Самым известным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные
разложения которых бесконечны и непериодичны, следует считать число ( –
отношение длины окружности к ее диаметру. Иррациональное число ( («фи»)
известно не столь широко, но оно выражает фундаментальное отношение,
имеющее почти такой же универсальный характер, как и число (. Сходство
между числами ( и ( этим не исчерпывается: подобно (, ( обладает
свойством возникать в самых неожиданных местах .
. (1)
Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением
отрезка в крайнем и среднем отношении.
.
обозначается буквой ( или буквой ( («тау») в серьезной математике. Не
менее важное значение имеет число , обратное (, которое обозначается Ф.
Число ( – единственное положительное число, которое обращается в
обратное себе при прибавлении единицы.
=1/(
Обратим внимание на удивительную инвариантность золотой пропорции:
Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли
уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее «душу». Следующие
соотношения еще раз демонстрируют инвариантность золотой пропорции:
и т.д.
Подобно числу ( , ( можно представить в виде суммы бесконечного ряда
многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз
подчеркивает фундаментальный характер ( :
. Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной
точке на гипотенузе (рис.2), и большой катет будет разделен в
соответствии с золотой пропорцией.
Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме- так называли греки
звездчатый прямоугольник (рис.3). Он служит символом Пифагорейского
союза – религиозной секты и научной школы по главе с Пифагором, которая
проповедовала братскую любовь к друг другу, отречение от внешнего мира,
общность имущества и т.д. На подобных устоях основывались очень многие
секты. Но Пифагорийский союз отличало от других то, что пифагорейцы
считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их
теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они,
состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к
единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы
приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли
женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого
женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви.
Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.
Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для
средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В
средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от
сатаны. Вспомним , например, как описывает Гете проникновение дьявола
Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана
пентаграмма. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик
двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать перед
Фаустом.
Интересно , что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют правильный
пятиугольник, в котором пресечение диагоналей дает нам новую
пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный
пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И
так далее до бесконечности.
.Из рис. 4 видно, что остроугольный треугольник АВС разбивается на три
треугольника золотой пропорции. В них стороны равны:AD=1,
DB=Ф,BC=AB=Ф+1=Ф2,AC=AE=Ф.
. Отсюда вытекает формула , связывающая золотую пропорцию с числом (:
.
Эта простая и по-своему красивая формула связывает число «пи» с золотой
пропорцией. Не свидетельствует ли это о фундаментальности золотой
пропорции, о ее родстве с таким универсальным числом, как «пи»?
Характерно, что в рассмотренном треугольнике отношение углов отвечает
отношению небольших целых чисел 5, 3 и 2, а отношение сторон
несоизмеримы.
Множество «золотых» фигур дополняет золотой прямоугольник, отношение
сторон которого равно числу Ф.
Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав
от него квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника,
мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая
отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые
прямоугольники (рис.5 )
Тем самым будет построен пример совершенного квадрируемого
прямоугольника бесконечного порядка. Точки, делящие стороны
прямоугольников среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической
спирали, закручивающейся внутрь. Полюс спирали лежит на пересечении
пунктирных диагоналей(рис.6). Разумеется, «вращающиеся квадраты», как их
принято называть, могут не только закручивать , но и раскручивать
спираль. Для этого лишь требуется строить не уменьшающиеся , а все
увеличивающиеся квадраты. Логарифмическая спираль – единственный тип
спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Если в
логарифмической спирали из центра О провести прямую, то образующиеся
отрезки ОА, ОВ, ОС, ОD и т. д., полученные при пересечении прямой с
витками спирали, образуют геометрическую прогрессию, то есть
ОА/ОВ=ОВ/ОС=ОС/OD=…= m, где m – постоянное число.
Отрезки радиуса, заключенного между последовательными витками спирали,
также образуют прогрессию с отношением АВ/ВС=ВС/СD=…=n. Частным случаем
спирали является такая, которая отвечает значению n, равному Ф, т. е.
золотой пропорции. Такая спираль называется «кривой гармонического
возрастания».
Вездесущий филлотаксис.
Характерной чертой строения растений и их развития является
спиральность. Еще Гете , который был не только великим поэтом, но и
естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков
всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально
закручиваются усики растений, по спирали приосходит рост ткани в стволах
деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные
движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в
этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни
следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.
Исследования показали, что движение протоплазмы в клетке часто
спиральное. Рост клеток также может быть спиральным, как показал ученый
Кастл. В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон –
цитонем. И , наконец, носители информации – молекулы ДНК – также
скручены в спираль. Следует отметить, что термин «спираль» не отражает
точно строение молекул ДНК; более правильно говорить о винтовом
расположении полипептидных цепей в этой молекуле. Во многих других
случаях, рассмотренных в ботанике, речь также идет, по существу, не о
спирали, а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению
термины часто смешивают.
Нет сомнений, что наследственная спиральность является одним из
основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков
живого. На первый взгляд кажется , что в кристаллах неорганических
веществ спиральность или винтовая структура отсутствуют. Однако более
глубокие исследования показали, что винтовое расположение атомов
наблюдается и в некоторых кристаллах и выражается в образовании так
называемых винтовых дислокаций. Такие кристаллы состоят из единственной
винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждом обороте вокруг оси
эта плоскость поднимается на один шаг винта, равный межатомному
расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовой структурой
обладают сверхпрочностью. От винтовой структуры молекул ДНК до
закручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на
различных уровнях организации растений. Отчетливо проявляется эта
особенность организации растений в закономерностях листорасположения.
Существует несколько способов листорасположения. В первом листья
побега располагаются строго один под другим, образуя вертикальные ряды –
ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на
побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой
линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт
называется потому, что расположение листьев в нем отвечает порядку
появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения
позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.
Винтовое расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен
числу оборотов по стеблю воображаемого винта одного листового цикла, а
знаменатель- числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом
ортостих на стебле. Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения
листьев.
Оказалось, что каждое растение характеризуется своим
листорасположением. Так, у липы, вяза, бука, злаков листорасположение
описывается формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя,
барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д. Нетрудно видеть, что
в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные
через одно.
Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены
строго закономерно – по двум спиралям, которые пересекаются
приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек
равно 8 и 13 или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах
почек; здесь числа спиралей относятся как числа 3/5, 5/8, 8/13. В
корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их
число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим
закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5,
5/8, 13/21 и т.д. Их отношение в пределе стремится к числу ( = 0,61803…
Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян
называют филлотаксисом.
=Ф2). Установлено, что при расположении листьев под идеальным углом ни
один лист не будет располагаться точно над другим, чем создаются лучшие
условия для фотосинтеза.
Загадки египетских пирамид.
Все на свете страшится времени
А время страшится пирамид.
Арабская пословица
О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот.
Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый
Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели
совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью
отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих
храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов
семьи фараонов.
Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида
фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего
только не находили в ее пропорциях ! Число «пи» и золотую пропорцию,
число дней в году, расстояние ло Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при
рассчете этих величин получались неточности, возникали нгедоразумения, в
результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорциив
размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды
математических сведениях объявлялись выдумкой.
Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных
геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы,
олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.
Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были
выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические
идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует
напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь
ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть
воплощены не в явной , а в скрытой форме.
Методической ошибкой многих исследователей является то, что они
использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но
ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и
следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.
Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса,
следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей
пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся
семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем
пальцам (16,6 мм).
Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными
размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные
исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.
Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса (рис.7). длина стороны основания
пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно
500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и
был определен в 500 локтей.
Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до
148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все
отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует
остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень
точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не
просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В
процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь
точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни
обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под
воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2
нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая
деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так
тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше,
чем она была в период завершения строительства. Какой же она была
первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую
идею», положенную в основу сооружения.
.
Итак, примем отношение катетов , т.е. высоты пирамиды H к половине ее
основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна
точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида
Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь по проекту).
Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие
размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда
следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.
; ON/MN=Ф.
Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех
треугольников и квадрата основания. Основание треугольника BOC равно 500
локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно
рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя.
Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой
грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500
кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно
золотой пропорции.
Еще Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что
площадь квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой
из его боковых граней. По нашим расчетам, квадрат высоты равен 3182 =
101127 кв. локтей, что почти точно отвечает площади боковой грани (
101125 кв. локтей).
Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны
основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с
тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда
однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого
возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить
даже о некоем «египетском (», равном 3,16. Если принять высоту пирамиды
равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта
величина очень близка к современному значению числа «пи» ( 3,14159…).
.
Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких
потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь
удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и
архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две
иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – ( и Ф со столь
поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел –
стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.
Золотая пропорция в искусстве Древней Греции.
Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции.
И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.
Всю вторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительство храмов,
пропилей (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году
начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года
до н.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители
даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.
Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед
Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся
как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места
расположения пропилей отношения массива скалы и храма также
соответствуют золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была
использована уже при создании композиции храмов на священном холме.
, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении
геометрии Парфенона.
Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов ( 3089 см), а размер
высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно
, высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны –
38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры
образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 =
Ф.
Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона,
искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе
В.Смоляка , посвященной изучению пропорций Парфенона, установлен
закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового
фасада храма, Смоляк получил прогрессию , состоящую из 8 членов ряда :
1: (: (2: (3: (4: (5: (6. Указанным членам ряда отвечают основные
пропорции фасада Парфенона (рис.8).
, что равно 1: 1,618…. Это соотношение углов реализовано практически во
всех античных театрах. Театр Диониса в Афинах трехъярусный. Первый ярус
имеет 13 секторов, второй – 21 сектор.
Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий
гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого
тела. “Человеческое тело – лучшая красота на земле”, – утверждал Н.
Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами
гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие
творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В
создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой
пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела
располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой
пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия –
творца бессмертных скульптурных произведений.
Одним из высших достижений классического греческого искусства может
служить статуя “Дорифор”, изваянная Поликлетом. Фигура юноши выражает
единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов
искусства. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы
восемь раз укладывается в высоте тела , а золотой пропорции отвечает
положение пупка на теле атлета.
Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от
подошвы копьеносца до его колена равна (3, высота шеи вместе с головой
– (4, длина шеи до уха – (5, а расстояние от уха до макушки – (6 .
Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со
знаменателем (: 1, (, (2, (3, (4, (5, (6. (рис.9).
Таким образом, золотое сечение – один из основополагающих принципов в
искусстве античной Греции.
Ритмы сердца и мозга.
Равномерно бьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в
состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает , а затем выталкивает кровь
и гонит ее по телу. Предсердия выполняют роль резервуара, принимающего
кровь из вен, а желудочки – насоса, ритмически перекачивающего кровь в
артерии. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей
величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы) .
В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает
максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого
человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление
снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического ) к
минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6 ,т.е. близко
к золотой пропорции.
Сердце бьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его
работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации
биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают
различные заболевания. А так как золотая пропорция является одним из
критериев самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что
и в работе сердца возможно проявление этого критерия. Нужны были
глубокие исследования, и они были проведены советским ученым
В.Д.Цветковым.
При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить
специальным прибором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ) с
характерными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ
человека выделяются два участка различной длительности, соответствующие
систолической и диастолической деятельности сердца. В.Цветков установил,
что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая»)
частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и
полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382 :
0,618 : 1 , т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Так ,
например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак –
94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.
Далее В.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте
равно 0,382 , а диастолическое – 0,618 от среднего давления крови в
аорте. Доля объема левого желудочка при ударном выбросе крови по
отношению к конечнодиастолическому объему у десяти видов млекопитающих в
состоянии покоя составляет 0,37-0,4 , что в среднем также отвечает
золотой пропоции. Таким образом, работа сердца в отношении временных
циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по
одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.
Мозг человека представляет собой сложнейшую самонастраивающуюся систему,
основным назначение которой является регуляция деятельности различных
органов человеческого тела, осуществление связи человека с окружающей
средой. В составе мозга различают серое и белое вещества. Серое
вещество представляет собой скопление нервных клеток, белое – нервных
волокон, отростков этих клеток. Нервная клетка с отростком называется
нейроном. Нейроны мозга образуют разнообразные сети, взаимодействующие с
помощью электрических сигналов.
Конфигурации нейронных сетей представляют собой колебательные
электрические цепи. Различным состояниям мозга соответствуют
электрические колебания с разными частотами.
Многочисленные исследования показали, что в мозгу взрослого человека при
различных его состояниях преобладают электрические колебания
определенных частот. Изменение активации мозга происходит не
непрерывно, а только дискретно, скачками от одного уровня к другому.
Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны
электрических колебаний.
Состоянию спокойного бодрствования отвечает наиболее устойчивый (-ритм с
частотами колебаний преимущественно от 8 до 13 герц. Это основной ритм
электрических колебаний мозга, он появляется в детском возрасте и
постепенно с возрастом увеличивается с 2-3 до 8-13 гц в возрасте 8-16
лет. Наиболее медленные колебания с частотой 0,5 –4 гц у (-ритма,
характерно для состояния глубокого сна. Для (- ритма верхняя граничная
частота достаточно стабильна и равна 3-4 гц, а пределы нижней граничной
частоты изменяются от 0,2 до 1,5 гц.
При появлении неприятности или опасности в мозгу доминирует ( -ритм с
частотами от 4-7 до 6-8 (по данным различных авторов). Советские ученые
Я.иА.Соколовы считают , что наиболее устойчивы для (- ритма граничные
частоты колебаний 4 – 7 гц. Умственной работе отвечает (-ритм с
граничными частотами 14-35гц.(по другим данным, диапазон частот этого
ритма более широк – от 14 до 100гц). Эмоциональному возбуждению мозга
соответствует (- ритм с граничными частотами 35-55 гц. Нетрудно
заметить, что граничные частоты ритмов почти точно отвечают числам
Фибоначчи. Отклонения граничных частот от чисел Фибоначчи находятся в
пределах точности эксперимента.
это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто
встречается в природе. Например , по мере роста моллюска Nautilus
раковина его, разделенная внутренними перегородками, увеличивается в
своих размерах,закручиваясь по логарифмической спирали. При этом домик
его не меняет формы: если центальную часть раковины посмотреть под
микроскопом, мы увидим в точности такую же спираль, какая получилась бы.
Если бы раковина выросла до размеров галактики и мы разглядывали бы ее с
большого расстояния.
Золотое сечение было известно древним грекам. Вряд ли можно сомневаться
в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы
сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить
хотя бы Парфенон. Именно это обстоятельство и имел в виду американский
математик Марк Барр, когда пятьдесят лет назад предложил называть
отношение двух отрезков, образующих «золотое сечение», числом (. Буква
( – первая греческая буква в имени великого Фидия, который , по
преданию, часто использовал золотое сечение в своих скульптурах.
Многие математики , жившие в средние века и в эпоху Возрождения, были
настолько увлечены исследованием необычайных свойств (, что это походило
на легкое помешательство.
В эпоху Возрождения отношение, выражаемое числом (, называли
«божественной пропорцией» или, следуя Евклиду, «средним и крайним
отношением». Термин «золотое сечение» вошел в употребление лишь в
девятнадцатом веке.
Много замечательных свойств (, проявляющихся у различных плоских и
пространственных фигур, было собрано в трактате Луки Пачоли, вышедшем в
1509 году под названием «De Divina Proportione» («О божественной
пропорции») с иллюстрациями Леонардо да Винчи.
Число ( выражает, например, отношение радиуса окружности к стороне
правильного вписанного десятиугольника. Расположив три золотых
прямоугольника (то есть прямоугольники, стороны которых находятся в
«золотом отношении») так, чтобы каждый симметрично пересекался с двумя
другими (под прямым углом к каждому из них) , мы увидим , что вершины
«золотых» прямоугольников совпадают с 12 вершинами правильного икосаэдра
и в то же время указывают положение центров 12 граней правильного
додекаэдра .
, равное 1,615. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав
с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член
равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), мы
обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также
стремится к числу (: чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда,
тем лучше будет приближение.
Отрезок можно разделить на две части бесконечным множеством способов. В
частности, можно разделить так, чтобы отношение всего отрезка к его
большей части равнялось отношению большей части к меньшей.
Пусть длина отрезка равна a, длина его большей части равна x, тогда a
–x – длина меньшей части отрезка. Составим отношение согласно
приведенному выше определению:
.
Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением
отрезка в крайнем и среднем отношении.
В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно
произведению
x2 + ax – a2 = 0 . Длина отрезка x выражается положительным числом,
поэтому из двух корней
следует выбрать положительный :
Число обозначается буквой ( в честь древнегреческого
0,61803398… Но в практике пользуются числом (, взятым с точностью или
до тысячных 0,618, или до сотых 0,61, или до десятых 0,6.
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в
искусстве, встречается оно и в живой природе, что дало повод математику
XVI в.,другу известного художника Леонардо да Винчи монаху Луке Пачоли
назвать такое деление отрезка божественной , великолепной пропорцией. По
поводу этой пропорции он употреблял много хвалебных слов, но в истории
утвердились два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.
Золотое сечение и законы искусства в Древней Греции
Рассмотрим теперь применение золотого сечения в скульптурах Древней
Греции. Работы Фидия в оригиналах почти не сохранились, поэтому для
иллюстрации возьмем произведение его младшего современника , скульптора
и теоретика искусства Поликлета (вторая половина V в. до н..э.). в своем
трактате «Канон» он стремился установить законы пропорциональности
человеческого тела. Теория пропорций Поликлета ярко воплотилась в статуе
«Дорифор» – копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии всех
частей. В этой статуе мы встречаем много раз примененное число (. Так,
пупок (точка O) делит высоту статуи в отношении золотого сечения.
Значит, если высоту AB принять за 1, то OA = (, но тогда OB=1-(. Однако,
расстояние OB берется равным (2 . Нет ли здесь противоречия? Проверим:
если считать , что
1 – ( = (2 , то приходим к уравнению (2 + ( – 1 = 0. Откуда
т.е. получили то же самое значение (, которое вычислили ранее.
Золотое сечение многократно встречается при анализе геометрических
соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоничными
пропорциями дарит нам токое же наслаждение , как и нашим далеким
предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того
могучего эмоционального воздействия , которое это здание оказывает на
зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию.
Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за 1 ширину торцевого фасада
здания, можно получить геометрическую прогрессию, сосотоящую из восьми
членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно (, между
третьей и шестой – (2, между четвертой и пятой – ( 4.
Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте.
Объединив их, получим прогрессию : 1, (2, (3, (4, (5.
Здесь поучительно вспомнить о пропорциях человеческого тела, отмеченных
ранее. Сравнивая рисунки , видим, что отношение торцевой части здания к
его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части
тела : 1/(. Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и
капителями колонн, как (4 : (5 , т.е. так же, как отрезок BC относится
к отрезку EC.
Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творениях
древнегреческие мастера исходили из пропорций человека, которые видели в
природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
