Предисловие
Настоящий реферат рассматривет решения задач некоторых задач
отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков
(проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что
«предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть
решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор
частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более
простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца
задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач
финального тура.
«Геометрические миниатюры»
.
Решение
Решение задачи разобъем на четыре этапа:
Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого
являются точки касания вписанной окружности, к площади данного
треугольника АВС.
Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P,
S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда
из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что
AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.
Составим и решим систему.
BPS).
Аналогично,
BPS) (
Подставим значения
Раскрыв скобки, выражение можно записать как
Подставим неравенства в числители дробей
.
.
Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого –
основания биссектрис данного треугольника, к площади данного
треугольника АВС.
FGH.
ABC.
Аналогично,
.
.
.
.
ABC.
АВС медианы, пересекающие стороны АВ, ВС и АС соответственно в точках
E, R и T.
Рассмотрим AERT.
RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ(RT.
ER=AT и ER(AT по этим же признакам ( AERT – параллелограмм.
Значит (EAT=(ERT (*) – по свойству параллелограмма.
Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них ( (RET
= (RCT, (RBE = (ETR (**).
.
.
.
В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение
оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не
приведено.
Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями
медиан больше площади треугольника, образованного основаниями
биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками
касания вписанной окружности. ЧТД.
Задача 1 Финального тура
Условие: Решить уравнение xy2 + xy + x2 – 2y – 1 = 0 в целых числах.
Решение
Представим исходное уравнение в виде:
Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где
k((. Тогда
Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k –
число нечетное.
Подставим значения в преобразованное уравнение.
.
).
Рассмотрим случай, когда k = 1.
Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3;
Ответ: (1;0), (0;-3);
Рассмотрим случай, когда k = -1.
Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1;
Ответ: (-1;0), (-3;1);
Рассмотрим случай, когда k = 3.
Отсюда у = -14.
Ответ: (-9;-14)
Рассмотрим случай, когда k = -3.
– нет решений в области целых чисел.
Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие
решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).
Cумма производных
Условие: Пусть
.
– число нечетное.
Решение
Рассмотрим производные P(x):
. Рассмотрим это число:
n = 2k..
4k2(2k-1) – это число четное.
n = 2k+1.
2k*(2k+1)2 – также число четное.
– число четное при любых допустимых значениях n. Значит,
, как сумма четных чисел, число четное.
Введем некоторую функцию F(x).
Рассмотрим возможные случаи для х:
х – число четное
– число нечетное,
– число четное ( F(x) – нечетное.
-нечетное число, ЧТД.
х – число нечетное
n – нечетное
– число четное,
– при четном х – четное, значит сумма четна ( F(x) – четное.
n – четное
– число нечетное,
– при четном х – четное, значит сумма нечетна ( F(x) – четное.
Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом
(четном/нечетном) значении n (
– четное ЧТД
– число нечетное.
ЧТД.
Необычное уравнение
Условие: Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех
цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество
k(n) решений уравнения
при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.
Решение
Рассмотрим различные случаи числа x.
Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит
Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда
Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.
S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.
Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна
n.
Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых
случаев.
где, a+b+c+…+f = n, т.е. от перестановки цифр сумма не меняется.
.
Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать
относительно х или наоборот.
Задание 6 Финального Тура
Решение
Пусть х = 1.
. Заменим f(y) на а, имеем:
. (*)
Проверим полученную функцию.
y = 1, тогда
Теперь подставим в исходную функцию.
.
Математический Анализ
. Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy,
через которые могут проходить графики всех функций.
Решение
Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла,
но, прежде, распишем определенный интеграл:
Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:
.
Итак,
.
.
.
(по условию).
Рассмотрим два случая:
y2 = x – x2 (точка лежит на контуре)
Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан
угол (угол OMK = 900)
ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!
Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.
Бесконечные Биномиальные Коэффициенты
.
Решение
Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если
n – нечетно, то их количество четно.
Рассмотрим четные и нечетные n.
n = 2k + 1 – нечетное
Тогда, ряд будет иметь вид:
.
, упростим этот ряд.
.
Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к.
количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.
, при n = 2k + 1.
n = 2k
Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых
четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула
, где n – четное.
Работа Гончаренко Никиты,
Г. Краматорск, ОШ#35
a = y + z
c = x + z
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter