.

Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 509
Скачать документ

Предисловие

Настоящий реферат рассматривет решения задач некоторых задач
отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков
(проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что
«предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть
решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор
частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более
простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца
задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач
финального тура.

«Геометрические миниатюры»

.

Решение

Решение задачи разобъем на четыре этапа:

Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого
являются точки касания вписанной окружности, к площади данного
треугольника АВС.

Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P,
S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда
из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что
AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.

Составим и решим систему.

BPS).

Аналогично,

BPS) (

Подставим значения

Раскрыв скобки, выражение можно записать как

Подставим неравенства в числители дробей

.

.

Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого –
основания биссектрис данного треугольника, к площади данного
треугольника АВС.

FGH.

ABC.

Аналогично,

.

.

.

.

ABC.

АВС медианы, пересекающие стороны АВ, ВС и АС соответственно в точках
E, R и T.

Рассмотрим AERT.

RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ(RT.

ER=AT и ER(AT по этим же признакам ( AERT – параллелограмм.

Значит (EAT=(ERT (*) – по свойству параллелограмма.

Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них ( (RET
= (RCT, (RBE = (ETR (**).

.

.

.

В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение
оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не
приведено.

Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями
медиан больше площади треугольника, образованного основаниями
биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками
касания вписанной окружности. ЧТД.

Задача 1 Финального тура

Условие: Решить уравнение xy2 + xy + x2 – 2y – 1 = 0 в целых числах.

Решение

Представим исходное уравнение в виде:

Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где
k((. Тогда

Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k –
число нечетное.

Подставим значения в преобразованное уравнение.

.

).

Рассмотрим случай, когда k = 1.

Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3;

Ответ: (1;0), (0;-3);

Рассмотрим случай, когда k = -1.

Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1;

Ответ: (-1;0), (-3;1);

Рассмотрим случай, когда k = 3.

Отсюда у = -14.

Ответ: (-9;-14)

Рассмотрим случай, когда k = -3.

– нет решений в области целых чисел.

Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие
решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).

Cумма производных

Условие: Пусть

.

– число нечетное.

Решение

Рассмотрим производные P(x):

. Рассмотрим это число:

n = 2k..

4k2(2k-1) – это число четное.

n = 2k+1.

2k*(2k+1)2 – также число четное.

– число четное при любых допустимых значениях n. Значит,

, как сумма четных чисел, число четное.

Введем некоторую функцию F(x).

Рассмотрим возможные случаи для х:

х – число четное

– число нечетное,

– число четное ( F(x) – нечетное.

-нечетное число, ЧТД.

х – число нечетное

n – нечетное

– число четное,

– при четном х – четное, значит сумма четна ( F(x) – четное.

n – четное

– число нечетное,

– при четном х – четное, значит сумма нечетна ( F(x) – четное.

Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом
(четном/нечетном) значении n (

– четное ЧТД

– число нечетное.

ЧТД.

Необычное уравнение

Условие: Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех
цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество
k(n) решений уравнения

при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.

Решение

Рассмотрим различные случаи числа x.

Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит

Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда

Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.

S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.

Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна
n.

Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых
случаев.

где, a+b+c+…+f = n, т.е. от перестановки цифр сумма не меняется.

.

Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать
относительно х или наоборот.

Задание 6 Финального Тура

Решение

Пусть х = 1.

. Заменим f(y) на а, имеем:

. (*)

Проверим полученную функцию.

y = 1, тогда

Теперь подставим в исходную функцию.

.

Математический Анализ

. Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy,
через которые могут проходить графики всех функций.

Решение

Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла,
но, прежде, распишем определенный интеграл:

Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:

.

Итак,

.

.

.

(по условию).

Рассмотрим два случая:

y2 = x – x2 (точка лежит на контуре)

Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан
угол (угол OMK = 900)

ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!

Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.

Бесконечные Биномиальные Коэффициенты

.

Решение

Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если
n – нечетно, то их количество четно.

Рассмотрим четные и нечетные n.

n = 2k + 1 – нечетное

Тогда, ряд будет иметь вид:

.

, упростим этот ряд.

.

Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к.
количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.

, при n = 2k + 1.

n = 2k

Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых
четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула

, где n – четное.

Работа Гончаренко Никиты,

Г. Краматорск, ОШ#35

a = y + z

c = x + z

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019