Равномерная непрерывность
).
.
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на
нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
.
.
Существование первообразной
– интеграл с переменным нижним пределом.
.
. Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
.
является отрезок [a;b]
.
. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой
переменной не требуется;
применяют подстановку t=g(x)
не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
может быть записано в виде:
.
.
.
.
.
б). Метод подстановки
.
.
.
вычисляется проще исходного.
.
.
.
Интегрирование рациональных функций
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной
функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
.
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
.
a). Подстановки Эйлера.
.
.
, далее, если:
c).
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
– нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
.
.
.
.
.
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до
постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции.
Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется
дифференцированием.
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой
функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных
функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
– произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Табличные интегралы
Определённый интеграл.
Интегрируемость
.
.
.
, то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием
интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но
неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
.
.
.
. Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого
интеграла.
Свойства определённого интеграла
, т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на
[a;b] их сумма и разность
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a
Теорема о среднем значении . Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a). , площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-a. наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b]. Формула Ньютона-Лейбница . Док-во: Рассмотрим тождество Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа . Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b]. , получаем F(b)-F(a)= . интеграл с переменным верхним пределом Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е. . . . Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
