Содержание.
Введение. Постановка задачи……..…………………………2стр.
Вывод формулы……………………………………………….3стр.
Дополнительный член в формуле прямоугольников……….5стр.
Примеры………………………………………………………..7стр.
Заключение……………………………………………………..9стр.
Список литературы……………………………………………10стр.
Постановка задачи.
при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией
на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой
площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b. Вычисление
I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших
интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски,
получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей
этих полосок.
Вывод формулы прямоугольников.
Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем
следующее замечание:
З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а
.
и поделив результат на n, получим
такая, что
.
, мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.
, а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за
высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к
формуле
(1)
, а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры
заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой
фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется
интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.
(рис.1)
, то формула перепишется в виде
.
Дополнительный член в формуле прямоугольников.
Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.
Справедливо следующее утверждение:
У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b]
непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка
, что дополнительный член R в формуле (1) равен
(2)
Доказательство.
, считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую
производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по
частям каждый из следующих двух интегралов:
Для первого из этих интегралов получим
Для второго из интегралов аналогично получим
выражений приводит к следующей формуле:
(3)
на сегменте
[0 ,h] такие, что
мы получим следующее выражение:
>
@
j
oeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeoeiiaoe
j
l
HJR
gd~ x
?
‘E
$
A
$
gd™R?
$
a$gd™R?
$
gd#?
$
j
# Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что
(4)
где
. (5)
естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого
числа n интегралов
, мы получим формулу прямоугольников (1), в которой
Примеры вычисления определённых интегралов
по формуле прямоугольников.
Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле
Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.
.
По формуле Ньютона-Лейбница, получим
Теперь применим формулу прямоугольников
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной
функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый
интеграл.
с точностью до 0,001.
.
Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.
с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Сумма 6,9284.
.
.
Заключение.
Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит
четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой
особенностью изложенного метода является стереотипность тех
вычислительных операций, которые приходится производить на каждом
отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение
изложенного метода для проведения вычислений на современных
быстродействующих вычислительных машинах.
Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x)
мы исходили из разбиения основного сегмента [a, b] на достаточно большое
число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из последующей
замены функции f(x) на каждом частичном сегменте многочленом
соответственно нулевого, первого или второго порядка.
Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает
индивидуальных свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает
идея о варьировании точек разбиения основного сегмента [a, b] на n,
вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое
обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближённой
формулы.
Список литературы.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х
томах, том II. (§§ 332, 335).
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва
«Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).
PAGE
PAGE 9
y
0
x
a
b
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
