Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Министерство образования РФ

Филиал СПбГМТУ

Севмашвтуз

Кафедра №2

Курсовая работа

по дисциплине

“Специальные разделы математики”

Тема: «Устойчивость систем дифференциальных уравнений»

Студент: Новичков А. А.

Группа: 450

Преподаватель: Панова Е. В.

Содержание

TOC \o “1-3” \h \z \u HYPERLINK \l “_Toc62048426” Введение.
PAGEREF _Toc62048426 \h 3

HYPERLINK \l “_Toc62048427” 1. Свойства систем дифференциальных
уравнений. PAGEREF _Toc62048427 \h 4

HYPERLINK \l “_Toc62048428” 1.1. Основные определения. PAGEREF
_Toc62048428 \h 4

HYPERLINK \l “_Toc62048429” 1.2. Траектории автономных систем.
PAGEREF _Toc62048429 \h 5

HYPERLINK \l “_Toc62048430” 1.3. Предельные множества траекторий.
PAGEREF _Toc62048430 \h 6

HYPERLINK \l “_Toc62048431” 1.4. Траектории линейных систем на
плоскости. PAGEREF _Toc62048431 \h 8

HYPERLINK \l “_Toc62048432” 1.5. Линейные однородные системы с
периодическими коэффициентами. PAGEREF _Toc62048432 \h 10

HYPERLINK \l “_Toc62048433” 2. Устойчивость решений систем
дифференциальных уравнений. PAGEREF _Toc62048433 \h 12

HYPERLINK \l “_Toc62048434” 2.1. Устойчивость по Ляпунову. PAGEREF
_Toc62048434 \h 12

HYPERLINK \l “_Toc62048435” 2.2. Устойчивость линейных однородных
систем. PAGEREF _Toc62048435 \h 14

HYPERLINK \l “_Toc62048436” 2.3. Устойчивость периодических решений.
PAGEREF _Toc62048436 \h 17

HYPERLINK \l “_Toc62048437” 2.4. Классификация положений равновесия
системы второго порядка. PAGEREF _Toc62048437 \h 18

HYPERLINK \l “_Toc62048438” 2.5. Автономные системы на плоскости.
Предельные циклы. PAGEREF _Toc62048438 \h 23

HYPERLINK \l “_Toc62048439” 2.6. Устойчивость по первому приближению.
PAGEREF _Toc62048439 \h 25

HYPERLINK \l “_Toc62048440” 2.7. Экспоненциальная устойчивость.
PAGEREF _Toc62048440 \h 28

HYPERLINK \l “_Toc62048441” 3. Второй метод Ляпунова. PAGEREF
_Toc62048441 \h 29

HYPERLINK \l “_Toc62048442” 3.1. Основные определения. PAGEREF
_Toc62048442 \h 29

HYPERLINK \l “_Toc62048443” 3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.
PAGEREF _Toc62048443 \h 30

HYPERLINK \l “_Toc62048444” 3.3. Устойчивость по первому приближению.
PAGEREF _Toc62048444 \h 33

HYPERLINK \l “_Toc62048445” Заключение. PAGEREF _Toc62048445 \h 36

HYPERLINK \l “_Toc62048446” Список литературы. PAGEREF _Toc62048446
\h 37

Введение.

Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются
через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных
уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем
часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а
особенности решений: поведение отдельных решений при изменении
параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных
данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение
системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная
теория дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости
решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической
системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения
отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то
есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же
изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.

Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при
асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной
курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости
непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого
порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения,
необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие
устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в
главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.

1. Свойства систем

дифференциальных уравнений.

1.1. Основные определения.

— непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярные
функции.

Определение. Совокупность уравнений

(1)

называется нормальной системой n дифференциальных уравнений первого
порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить

;

Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта:
интегральная кривая и траектория.

, n-мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что
из существования и единственности решения задачи Коши интегральные
кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории
могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка
определяется n+1 координатой. В частности траектория может совпадать с
точкой (положение равновесия).

Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не
входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной,
если она имеет вид:

(1′)

значение решения.

1.2. Траектории автономных систем.

(2)

— ?-периодическая функция.

, при этом должно выполняться тождество

— периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного
вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения
(2) принадлежит одному из следующих трех типов:

положение равновесия;

замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с
положительным наименьшим периодом;

траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое
решение.

1.3. Предельные множества траекторий.

, а также ?-предельного множества.

определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой
ограниченной области фазового пространства.

Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу
траектории не пусто, компактно и связно.

. Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние
равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной
точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает
свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей
точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы
и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических
колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории,
возникающие в хаотических системах.

Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в
случае n = 2.

1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых
траекторий.

2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку,
то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.

к некоторому циклу.

является замкнутой траекторией и одновременно ?-предельным множеством
для всех траекторий, отличных от положения равновесия.

1.4. Траектории линейных систем на плоскости.

где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных
чисел имеют место следующие случаи:

, имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

. Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая
геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование
приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы
А.

. Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае
центра все решения системы (3) периодические с периодом 2?/?.

. Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система
преобразуется к виду

Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы

с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

(4)

. Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом ?
или ?-периодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид

где G — ?-периодическая матрица, R — постоянная матрица.

, при этом простым мультипликаторам соответствуют простые
характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели
с элементарными делителями той же кратности.

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное
решение периода ? тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее
мультипликаторов равен единице.

. Отсюда имеем:

, (5)

— ?-периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы
линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические
показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы
коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с
постоянными коэффициентами.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

, (6)

— ?-периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами
уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной
системы, т. е. системы

. Мультипликаторы являются собственными числами матрицы

2. Устойчивость решений систем

дифференциальных уравнений.

2.1. Устойчивость по Ляпунову.

называется устойчивой по Ляпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову
приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то
всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория
остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно
возвращается в ?-окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие
на старте траектории остаются близкими всегда)

(1)

и функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:

. В результате получим уравнение

, (2)

2.2. Устойчивость линейных однородных систем.

(3)

, т. е. произвольное решение уравнения (3) переводится в тривиальное
решение того же уравнения. Следовательно, все решения уравнения (3)
устойчивы по Ляпунову, асимптотически устойчивы или неустойчивы
одновременно. Поэтому можно говорить об устойчивости уравнения (3),
понимая под этим устойчивость всех его решений, в частности
тривиального.

обладает таким свойством.

. (*)

. (**)

, что и дает асимптотическую устойчивость.

. Теорема доказана.

. Отсюда получаем следующую теорему:

Теорема 2. Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1)
устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных
чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которых
положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые,
либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически
устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы
коэффициентов имеют отрицательные вещественные части.

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности
корней характеристического уравнения линейной однородной системы с
постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также
частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком,
эквивалентным критерию Гурвица.

называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные
вещественные части.

-матрицу Гурвица вида

на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным
использование частотного критерия Михайлова.

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

квадрантов.

2.3. Устойчивость периодических решений.

, (4)

— мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

?????????

?????????U

nprtvxz|~?¶??th

????????????I

?????????

?????????а и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше
единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия

системы второго порядка.

. Его корни можно найти по формуле

Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.

), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка —
неустойчивый узел.

), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть
положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка —
устойчивый узел.

). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно
возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло
всегда неустойчиво.

), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет
неустойчивым.

), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость
асимптотическая.

). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение
равновесия является устойчивым, но не асимптотически.

, положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

, то прямая будет содержать устойчивые особые точки.

. Особая точка неустойчива.

. Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова
форма матрицы А имеет вид:

. Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему,
получаем:

. Определим новое положение осей:

. Схематическое изображение траекторий:

возможно 10 “грубых” случаев (рис. 3, 1)-5) и 1′)-5′)) и ряд
“вырожденных” (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней
равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи
кратных корней здесь не рассматриваются.

Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4.
Случаи 1′)-5′) получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t,
так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи
1′)-5′), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4)
устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.

светлым — начало координат.

Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы.

Рассмотрим автономную двумерную систему

, (5)

— область.

, проходящие через точки нормали. Запишем уравнение

(6)

с неизвестными t, s (? — параметр).

— ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о
неявной функции.

Следствие. Справедлива формула

, если ? достаточно мало.

называется функцией последования.

Так как в реальной действительности время течет в положительном
направлении, то на практике реализуются те периодические движения,
которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения
называются автоколебаниями.

. (7)

— неустойчивый предельный цикл.

, образуя бесконечное число витков спирали, как изнутри, так и снаружи.

2.6. Устойчивость по первому приближению.

получим уравнение (2), которое, используя разложение в ряд Тейлора,
запишем в виде

, (8)

. (9)

уравнения (8) асимптотически устойчиво.

были неположительны.

, (10)

. (11)

Из (11) и теорем 5 и 6 вытекает следующее утверждение.

асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет
положительную вещественную часть, то оно неустойчиво.

. Положения равновесия:

имеют вид

асимптотически устойчивы, а при k нечетном неустойчивы.

, (12)

, определяемой теоремой Флоке. Следовательно, замена (12) переводит (8)
в уравнение

, (13)

. При этом, как отмечалось, имеет место равномерность по t.

, то из теорем 5 и 6 вытекает следующая теорема:

Теорема 8. Если модули всех мультипликаторов периодического решения
периодического уравнения (1) меньше единицы, то это решение
асимптотически устойчиво. Если же модуль хоть одного из мультипликаторов
больше единицы, то оно неустойчиво.

неустойчиво по теореме 8. В противном случае теорема 8 неприменима.

мультипликаторов периодического решения уравнения (10) имеют модули,
меньшие единицы, то это решение устойчиво по Ляпунову.

не может быть асимптотически устойчивым.

2.7. Экспоненциальная устойчивость.

справедливо неравенство

. (14)

— собственные числа матрицы A (их вещественные части по условию
отрицательны).

Для автономного уравнения (10) из экспоненциальной устойчивости следует
асимптотическая устойчивость, и наоборот. Однако для неавтономных систем
справедливо только первое утверждение.

Для неавтономной системы по формуле (14) вводится аналогичное понятие
экспоненциальной устойчивости, однако асимптотическая устойчивость.
Кроме того, справедлив следующая теорема.

, обладающие следующими свойствами:

вещественная, симметричная и ограниченная;

;

(см. п. 3.1).

3. Второй метод Ляпунова.

3.1. Основные определения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

. Рассмотрим вопрос об устойчивости этого решения.

задан линейный оператор D, определяемый формулой

. (2)

называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

, (3)

— определенно-положительная функция.

в G.

Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно
рассматривать и как положительную, и как отрицательную.

. (4)

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.

уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.

. Покажем, что

. (5)

по Ляпунову. Теорема доказана.

устойчиво по Ляпунову.

уравнения (1) асимптотически устойчиво.

такое, что

. (6)

— строго убывающая функция t.

Предположим, что теорема неверна. Тогда

. (7)

. Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.

асимптотически устойчиво.

не совпадает с началом координат. Теорема доказана.

асимптотически устойчиво.

Соответствующая система двух уравнений имеет вид

V —определенно-положительная функция, при этом

системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

с началом координат на ее границе.

уравнения (1) неустойчиво.

, в силу (3).

, получаем

. Противоречие доказывает теорему.

. Имеем:

системы неустойчиво, что и требовалось доказать.

3.3. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (8)

— заданная квадратичная форма.

Лемма 1. Если собственные числа матрицы A удовлетворяют условию

, (9)

, являющееся квадратичной формой.

В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы, являющиеся
функциями Ляпунова для линейного уравнения

(10)

и удовлетворяющие условиям теорем 2 и 4.

, являющееся определенно-положительной квадратичной формой.

уравнения

непуста.

Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у
которого

(11)

удовлетворяет условию

(12)

уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию
теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет
условиям теоремы 2 и для уравнения (1).

— квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению

. Отсюда получаем:

. (13)

уравнения (1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.

уравнения (1) неустойчиво.

для функции V непуста. Составим DV в силу уравнения (1). Имеем

. Таким образом, выполнены все условия теоремы 4, откуда и следует, что
нулевое решение уравнения (1) неустойчиво. Теорема доказана.

Заключение.

Список литературы.

Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Сб. статей.
Новосибирск: Наука, 1987.

М. Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

Б. П. Демидович. Лекции по математический теории устойчивости. М.:
Наука, 1967.

И. Г. Петровский. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
М.: Наука, 1964.

Ю. Н. Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая
школа, 1991.

В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Изд. ФМЛ, 2001.

PAGE

PAGE 35

Северодвинск

2004 г.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter