Содержание
1. Введение 3
1.1. Волны в природе 3
1.2. Открытие уединенной волны 4
1.3. Линейные и нелинейные волны 5
2. Уравнение Кортевега – де Фриса 8
2.1. Солитоны Кортевега – де Фриса 10
2.2. Групповой солитон 13
3. Постановка задачи 15
3.1. Описание модели 15
3.2. Постановка дифференциальной задачи. 15
4. Свойства уравнения Кортевега – де Фриза 16
4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ 16
4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ 17
5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ 19
5.1. Обозначения и постановка разностной задачи. 19
5.2. Явные разностные схемы (обзор) 21
5.3 Неявные разностные схемы (обзор). 23
6.Численное решение 25
7. Заключение 26
8. Литература 27
1. Введение
Волны в природе
Из школьного курса физики [1] хорошо известно, что если в какой-либо
точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить
колебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача
возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с
другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, распространяются
в пространстве с определенной скоростью. Волной принято называть процесс
передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от
одной точки к другой.
Природа механизма распространения волны может быть различной. В
простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены
силами упругости, которые возникают из-за деформаций в среде. При этом в
твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при
которых смещения частиц среды осуществляются в направлении
распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц
перпендикулярны распространению волны. В жидкости или газе в отличие от
твердых тел нет сил сопротивления сдвигу, поэтому могут распространяться
только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в
природе — звуковые волны, которые возникают из-за упругости воздуха.
Среди волн иной природы особое место занимают электромагнитные волны,
передача возбуждений у которых происходит из-за колебаний электрического
и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные
волны, как правило, оказывает существенное влияние на процесс
распространения волн, однако электромагнитные волны в отличие от упругих
могут распространяться даже в пустоте. Связь между различными участками
в пространстве при распространении таких волн обусловлена тем, что
изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля и
наоборот.
С явлениями распространения электромагнитных волн мы часто сталкиваемся
в нашей повседневной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны,
применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи
можно упомянуть работу радио и телевидения, которая основана на приеме
радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном
диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружающие
нас предметы.
Очень важным и интересным типом волн являются волны на поверхности воды.
Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в
детстве и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса
физики. Однако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], “более неудачного
примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько
не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые
могут быть в волнах”.
Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на
его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды
начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что
частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании
возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием
силы тяжести. Развитие этого явления со временем и приведет к
распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются
не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не
являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других.
С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости,
уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю.
Если анализировать скорость распространения волны на воде, то
оказывается, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн
пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения,
умноженному на длину волны. Причиной возникновения таких волн является
сила тяжести.
Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой
поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна
корню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент
поверхностного натяжения, а в знаменателе — произведение длины волны на
плотность воды. Для волн средней длины волны скорость их распространения
зависит от перечисленных выше параметров задачи [2]. Из сказанного ясно,
что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.
1.2. Открытие уединенной волны
Волны на воде издавна привлекали к себе внимание исследователей. Это
связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в
природе и, кроме того, сопровождают перемещение судов по воде.
Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон Скотт Рассел в
1834 году. Он занимался исследованием перемещения по каналу баржи,
которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса
воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у
носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась
по каналу с большой скоростью в виде уединенного возвышения, не меняя
своей формы и не снижая скорости.
На протяжении всей жизни Рассел неоднократно возвращался к наблюдению за
этой волной, поскольку верил, что открытая им уединенная волна играет
важную роль во многих явлениях в природе. Он установил некоторые
свойства этой волны. Во-первых, заметил, что она движется с постоянной
скоростью и без изменения формы [3]. Во-вторых, нашел зависимость
скорости С этой волны от глубины канала h и высоты волны а:
где g — ускорение свободного падения, причем a 3. Постановка задачи
3.1. Описание модели. В настоящее время наблюдается значительно
возрастающий интерес к исследованию нелинейных волновых процессов в
различных областях физики (например, в оптике, физике плазмы,
радиофизике, гидродинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной
амплитуды в дисперсионных средах в качестве модельного уравнения часто
используют уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):
ut + иих + (иххх = 0 (3.1)
.
Основные предположения, которые делаются при выводе уравнения: 1) малая,
но конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной
дисперсии.
Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность
формироваться в дисперсионной среде стационарным волнам конечной
амплитуды - уединенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения
КдФ после работы [8] стали называться солитонами [9]. Периодические
волны носят название кноидальных волн. Соответствующие формулы для их
описания даны в [4].
3.2. Постановка дифференциальной задачи. В работе исследуется численное
решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими
условиями по пространству в прямоугольнике QT={(t,x):0
в случае периодической задачи – в пространстве L((0,T,H((C))где С –
окружность длины, равной периоду, на русском языке эти результаты
представлены в книге [12].
Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость начальной функции
u0(L2(R1), рассмотрен в работе [13]. Там вводится понятие обобщенного
решения задачи (3.2),(3.4), устанавливается существование обобщенного
решения и(t,х) ( L((0,T,L2(R1)) в случае произвольной начальной функции
u0 (L2(R1); при этом и(t,х) ( L2(0,Т;H-1(-r,r)) для любого r>0, и если
для некоторого ( > 0 (x(u02(x)) ( L1(0,+() , то
(4.1)
в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и
l.
Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной
задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При помощи этого метода
были получены результаты о существовании и гладкости решений при
достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15]
установлен, в частности, результат о разрешимости задачи (3.2),(3.4) в
пространстве C((О, Т; S(R1)).
Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно
найти в [16].
4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения
КдФ существует бесконечное число законов сохранения. В работе [17]
приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12]
различные законы сохранения применялись для доказательства нелокальных
теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих
пространств.
Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для задачи Коши на
R1 и периодической задачи.
Для получения первого закона сохранения достаточно проинтегрировать
уравнения (3.2) по пространственной переменной. Получим:
отсюда и следует первый закон сохранения:
Здесь в качестве a и b выступают +( и -( для задачи Коши и границы
основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье
слагаемые обращаются в 0.
(4.2)
Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравнение (3.2) на
2 u(t,x) и проинтегрировать по пространственной переменной. Тогда,
используя формулу интегрирования по частям получим:
но в силу “краевых” условий все слагаемые кроме первого опять
сокращаются
Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:
(4.3)
Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение
(3.2) на (и2 + 2( ихх), таким образом получим:
После применения несколько раз интегрирования по частям третий и
четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагаемые исчезают
из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:
что эквивалентно
(4.4)
А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим
смыслом первых двух интегральных законов сохранения в некоторых моделях
можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и
последующих законов сохранения физический смысл охарактеризовать уже
труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную
информацию о решении, которая используется потом для доказательств
теорем существования и единственности решения, исследования его свойств
и вывода априорных оценок.
5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ
={(x,t):0(x(l,0(t(T} обычным образом введем равномерные сетки, где
со значениями в узлах сетки yi=yh(xi). Предполагается, что выполнены
условия периодичности y0=yN. Кроме того, формально полагаем yi+N=yi для
i ( 1.
Введем скалярное произведение в пространстве (h
(5.1)
Снабдим линейное пространство П/г нормой:
Поскольку в пространство (h входят периодические функции, то это
скалярное произведение эквивалентно скалярному произведению:
Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сетке с
периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозначения
разностных аппроксимаций. Введем их.
Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном
(n-м) временном слое, то есть
Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных. Для первой
производной по времени:
Аналогично для первой производной по пространству:
Теперь введем обозначения для вторых производных:
Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим
образом:
Также нам потребуется аппроксимация у2, которую мы обозначим буквой Q и
введем следующим образом:
(5.2)
Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать
уравновешенную аппроксимацию, т.е.
за исключением аппроксимации у2 на полу целом слое. Приведем одну из
возможных аппроксимаций у2 на полу целом слое:
1 выполняется равенство:
Определение 1. Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем
называть консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог
первого интегрального закона сохранения, справедливого для
дифференциальной задачи.
Определение 2. Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем
называть L2-консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог
второго интегрального закона сохранения, справедливого для
дифференциальной задачи.
5.2. Явные разностные схемы (обзор). При построении разностных схем
будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы [19] для
линеаризованного уравнения КдФ, которое сохраняет свойства самого
уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения.
(5.3)
Исследуем теперь схему (5.4) на свойства консервативности. Выполнение
первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это
уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье слагаемые схемы (5.4)
дадут 0, а от первого останется:
(5.4)
Это сеточный аналог первого закона сохранения.
Для вывода второго закона сохранения умножим скалярно уравнение (5.3) на
2( у. Приходим к энергетическому тождеству
(5.5)
).
Другим примером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема
Лакса-Вендрофа [20]. Это схема типа предиктор-корректор:
В данный момент наиболее популярными схемами для уравнения КдФ считаются
трехслойные схемы ввиду их простоты, точности и удобства реализации.
(5.6)
Эту же схему можно представить в виде явной формулы
(5.7)
Самой простой трехслойной схемой является следующая схема:
Эта схема была использована при получении первых численных решений КдФ
[8]. Эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком О ((2 +
h2). Согласно [21], схема является устойчивой при выполнении условия
(при малых Ь):
Приведем еще несколько схем. Трехслойная явная схема с порядком
аппроксимации O((2 + h4)[20]:
Третья производная по пространству аппроксимируется на семиточечном
шаблоне, а первая строится по пяти точкам. Согласно [21], эта схема
устойчива при выполнении условия (при малых h):
Легко видеть, что для этой схемы с более высоким порядком аппроксимации
условие устойчивости является более жестким.
В работе [19] предлагается следующая явная разностная схема с порядком
аппроксимации О((2 + h2) :
(5.8)
Так как разностное уравнение (5.8) можно записать в дивергентном виде
(5.9)
то, скалярно умножив уравнение (5.9) на 1, получим
следовательно, выполняется соотношение:
которое можно считать сеточным аналогом первого закона сохранения. Таким
образом, схема (5.8) является консервативной. В [19] доказано, что схема
(5.8) является L2-консервативной и ее решение удовлетворяет сеточному
аналогу интегрального закона сохранения
5.3. Неявные разностные схемы (обзор). В этом параграфе мы рассмотрим
неявные разностные схемы для уравнения Кортевега-де Фриза.
Вариант двухслойной схемы – неявная абсолютно устойчивая схема с
порядком аппроксимации О ((2, h4) [21]:
Решение разностной схемы (3.29) вычисляется с помощью семи диагональной
циклической прогонки [22]. Вопрос о консервативности этой схемы не
исследовался.
В работе [15] предлагается неявная трехслойная схема с весами:
(5.10)
Разностная схемы (5.10) с периодическими по пространству решениями,
консервативна, L2-консервативна при ( =1/2 и ( =1/4 для ее решения
имеют место сеточные аналоги интегральных законов сохранения.
6. Численное решение
Численное решение для (3.2), (3.3), (3.4) было проделано с
использованием явной схемы
(5.7)
Решалась начально-краевая задача на отрезке [0, 2(]. В качестве
начальных условий бралась функция
u0(x)=sin (x).
Явным образом было получено решение.
Программа для расчетов была написана на языке Turbo Pascal 7.0. Текст
основных частей программы прилагается.
Расчеты велись на вычислительной машине с процессором AMD-K6-2 300 МГц с
технологией 3DNOW!, размер оперативной памяти 32 Мб.
7. Заключение
Настоящая работа посвящена исследованию уравнения Кортевега – де Фриза.
Проведен обширный литературный обзор по теме исследования. Изучены
различные разностные схемы для уравнения КдФ. Выполнен практический счет
с использованием явной пяти точечной разносной схемы
Как показал анализ литературных источников, явные схемы для решения
уравнений типа КдФ наиболее применимы. В данной работе также решение
было получено с использованием явной схемой.
8. Литература
1. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. М.: Наука, 1964. Т. 3.
2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.:
Мир, 1965. Вып.4.
3. Филиппов А. Г Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. (Б-чка “Квант”;
Вып. 48).
4. Рубанков В.Н. Солитоны, новое в жизни, науке, технике. М.: Знание,
1983. (Физика; Вып. 12).
5. Korteweg D.J., de Vries G. On the change form of long waves advancing
in a rectangular channel and on new type of long stationary
waves.//Phyl.May. 1895. e5. P. 422-443.
6. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной
плазме.-В кн.: Вопросы теории плазмы, Вып.4. М.: Атомиз-дат, 1964,
с.20-80.
7. Березин Ю.А., Карпман В.И. К теории нестационарных волн конечной
амплитуды в разреженной плазме. // ЖЭТФ, 1964, т.46, вып.5, с.
1880-1890.
8. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interactions of “solitons”in a
collisionless plasma and the reccurence of initial states //
Phys.Rev.Lett. 1965. V.15. еб. Р.240-243.
9. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. М.: Мир; 1983
10. Sjoberg A. On the Korteweg-de Vries equation, existence and
uniqueness, Uppsala University, Department of Computers, 1967
11. Temam R. Sur un probleme non lineare // J.Math.Pures Anal. 1969,
V.48, 2, P. 159-172.
12. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:
Мир, 1972.
13. Кружков С.Н. Фаминский А.В. Обобщенные решения для уравнения
Кортевега-де Фриза.// Матем. сборник, 1983, т. 120(162), еЗ, с.396-445
14.. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for
solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P.
1095-1097.
15. Шабат А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза // ДАН СССР, 1973,
т.211, еб, с.1310-1313.
16. Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и
его обобщений: Дисс…. докт. физ.-матем. наук,М:РУДН,2001
17. Miura R.M., Gardner C.S., Kruscal M.D. Korteweg-de Vries equation
and generlization. II. Existence of conservation laws and constants of
motion. // J.Math.Phys. 1968. V.9. P. 1204-1209.
18. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для уравнений движений
газа.
19. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Михайлик И.А.
Z/2-консервативные схемы для уравнения Кортевега-де Фриса.// ДАН, 1997,
т.357, е4, с.458-461
20. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов.
Новосибирск: Наука. 1982.
21. Березин Ю.А., О численных решениях уравнения Кортевега-де Вриза.//
Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1973, т.4, е2,
с.20-31
22. Самарский А.А., Николаев Методы решения сеточных уравнений. М:
Наука, 1978
23. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989
24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М:
Наука, 1987
PAGE
PAGE 3
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
