Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§1. Представление рациональных чисел цепными дробями
§2. Подходящие дроби. Их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными
бесконечными цепными дробями
1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную
бесконечную цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей . . . . .
1.3. Единственность представления действительного иррационального числа
правильной бесконечной цепной дробью
§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным
ограничением для знаменателя
2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей
дробью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями
2.3. Теорема Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения
§3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Используемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Введение
Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В
ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности
разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности,
которые возникают в результате этого разложения, и применение теории
цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли.
Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского
математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века
Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об
их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к
разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное
их обобщение.
Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым
(1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли
(1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат
французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного
решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.
Глава I. Правильные конечные цепные дроби.
§1. Представление рациональных чисел цепными дробями.
, называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел
называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий
общий делитель данных чисел.
– рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида
для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную
систему равенств:
>0, а соответствует остаток 0.
Системе равенств (1) соответствует равносильная система
в виде:
– натуральные числа.
Имеются различные формы записи цепных дробей:
Согласно последнему обозначению имеем
называются элементами цепной дроби.
Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение)
любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов
цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в
системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также
неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что
процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении
целой части и перевертывании дробной части.
Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так
как она применима к разложению в непрерывную дробь не только
рационального, но и любого действительного числа.
имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида
последовательного деления a на b является конечным.
.
.
:
так что представление можно удлинить:
например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).
. В самом деле:
если n=1, то
если n>2, то
,
.
, что невозможно.
Теорема доказана.
между рациональными числами и конечными цепными дробями существует
взаимно однозначное соответствие.
Замечания:
.
При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда
относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные
положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым
отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.
.
Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую
из одного элемента.
.
§2. Подходящие дроби. Их свойства.
.
При этом основную роль играют дроби вида:
или
.
имеет порядок k.
.
,
,
, …,
и так далее.
и сохранится также при переходе от k к (k+1).
, имеем
(1),
(2)
(3)
.
подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:
Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).
.
=(2, 3, 1, 4, 2)
.
А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.
Доказательство: Проведем индукцию по k:
.
).
Докажем справедливость равенства при k=n+1.
, то есть равенство верно при k=n+1.
).
Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно
простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима.
.
.
)
)
, что и требовалось доказать.
Докажем второе соотношение.
.
Теорема доказана полностью.
.
положительны.
, из (*) получаем
, что и требовалось доказать.
Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные
подходящие дроби – убывающую последовательность:
;
.
, у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.
Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше
нечетной.
Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:
.
четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.
.
, что и требовалось доказать.
Глава II. Бесконечные цепные дроби.
§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными
бесконечными цепными дробями.
Разложение действительного иррационального числа в правильную
бесконечную цепную дробь.
разлагается в конечную непрерывную дробь.
)
(1)
и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной
дроби.
Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к
любому действительному числу.
указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная
дробь равна рациональному числу.
) (2)
– ее элементами или неполными частными.
возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой
части – процесс однозначный.
.
.
Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы
получаем:
;
;
.
Если остановиться на этом шаге, то можно записать:
, вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут
повторяться.
Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность
неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется,
называется периодической непрерывной дробью.
Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена,
то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае –
смешанной периодической.
.
разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3,
(3, 6)).
поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе
выделения целой части после k–го шага, будем иметь:
так что
.
.
Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную
последовательность конечных непрерывных дробей.
. Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые
выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих
дробей.
В частности, мы имеем:
;
;
.
. Имеем
,
можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения
. (5)
не является здесь целым положительным числом.
.
всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего
разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей
дроби.
Доказательство: Из формулы (5) следует
;
.
Теорема доказана.
, и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном
расположении подходящих дробей:
больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех
подходящих дробей четного порядка;
указанные последовательности являются бесконечными), то есть
).
————
.
Итак, мы имеем следующий важный результат:
равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в
бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).
Сходимость правильных бесконечных цепных дробей.
– произвольно выбранные целые положительные числа.
Но для этого мы заново исследуем взаимное расположение подходящих
дробей.
С этой целью рассмотрим формулы:
(2),
которые справедливы для любой бесконечной непрерывной дроби.
и так далее.
, то
.
————
.
Подходящие дроби дальнейших порядков располагаются таким же образом.
.
находится между любыми двумя соседними подходящими дробями.
.
Единственность представления действительного иррационального числа
правильной бесконечной цепной дробью.
.
в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще? Покажем, что
только одно.
с помощью выделения целой части. Докажем это важное утверждение.
.
(1).
.
последовательным выделением целой части, что и требовалось доказать.
.
). При этом рациональным числам соответствуют конечные непрерывные
дроби, а иррациональным – бесконечные дроби.
§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным
ограничением для знаменателя.
Рациональные числа образуют счетное множество, в то время как множество
иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную
массу всех действительных чисел составляют иррациональные числа.
Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется заменой
данного иррационального числа некоторым рациональным числом, мало
отличающимся в пределах требуемой точности от этого иррационального
числа. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно
простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после
запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим
знаменателем.
Для громоздких рациональных чисел, то есть чисел с большими
знаменателями, также иногда возникают задачи, связанные с необходимостью
отыскания хороших рациональных приближений, понимая под этим отыскание
рациональных чисел со сравнительно небольшими знаменателями, мало
отличающимися от данных чисел.
Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С
помощью цепных дробей удается заменять действительные числа
рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению
со знаменателями этих рациональных чисел.
2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей
дробью.
.
до любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя
подходящими дробями, то есть
.
.
справедливо неравенство:
.
и согласно предыдущей теореме имеем:
.
, то
.
.
Из теорем 1-3 получаем следующие оценки погрешности:
из которых первая является наиболее точной, а последняя – наиболее
грубой.
2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями.
Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.
Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился
голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при построении модели
солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его
к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.
.
, то для точного решения задачи возникает техническая трудность
изготовления колес с большим количеством зубцов.
Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством
зубцов. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности,
ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных
требований можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.
.
в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим
знаменателем, не превышающим 100.
=(1, 2, 3, 7, 8, 2)
Составляя схему, находим:
1 2 7 51 415 881
, то есть весьма незначительна.
.
по существу возможно лишь приближенное решение задачи.
с точностью до 0,001.
.
Сделаем это, используя схему:
с недостатком или избытком).
Решенные задачи в более общем виде формулируются так:
с наибольшим знаменателем, не превышающим n.
.
2.3. Теорема Дирихле.
рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими
дробями.
А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты,
показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел
рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа
будут подходящими дробями.
– любое заранее положительное число.
.
).
Доказательство: Теорему легко доказать с помощью аппарата цепных дробей.
. Рассмотрим два случая:
имеем:
, имеем:
.
Теорема доказана.
Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип,
который носит теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N-1
ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это
доказательство.
, из которых первые t являются полусегментами, а последний сегментом.
——
1
.
).
и 1 принадлежат одному промежутку, то
).
Теорема доказана.
Рассмотрим пример применения теоремы Дирихле.
.
в цепную дробь.
-2b.
является наилучшим приближением.
(1).
.
.
.
.
, а это для k>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше
допущение неверно, а верно то, что требуется доказать.
.
.
Теорема доказана полностью.
, которые ему не удовлетворяют.
Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает
теорема Гурвица-Бореля:
таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство
)
.
. Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного.
Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей
выполняются неравенства:
(2)
и поэтому при нечетном k из (2) следует
,
. (3)
. (4)
из (3) и (4) получаем:
.
).
).
Докажем вторую часть.
. Теорема доказана полностью.
, был доказан Борелем в 1903 году.
Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование.
– любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное
решение x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах.
Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах,
то есть о нахождении таких пар чисел x(x>0) и y, чтобы:
.
, то существуют такие действительные числа, для которых таких пар
имеется лишь конечное множество.
Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма
значительное применение в теории диофантовых приближений.
§ 3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби.
с целыми коэффициентами.
Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те
иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми
коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими
иррациональностями.
(1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.
, где P, Q – целые, а D (D>1) – целое неквадратное число.
.
=0.
Примеры:
.
. Здесь P=–1, Q=–3, D=5.
не является квадратической иррациональностью.
, а это не так.
Теорема: Всякая периодическая непрерывная дробь изображает
квадратическую иррациональность.
– чисто периодическая цепная дробь.
.
.
является, очевидно, квадратической иррациональностью, что и
требовалось доказать.
Докажем обратную теорему, которая носит имя Лагранжа.
Теорема Лагранжа: Всякая действительная квадратическая иррациональность
изображается периодической непрерывной дробью.
(1) с целыми коэффициентами a, b, c.
порядка k+1.
из (2) в (1), получаем
(3), где
(4)
(6).
Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой же, как и дискриминант
уравнения (1), откуда следует, что он от k не зависит.
ограничены по модулю.
с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь –
периодическая.
.
.
Поэтому из первого равенства (4) имеем
, то
,
.
Этим и завершается доказательство теоремы Лагранжа.
Отметим без доказательства следующие свойства разложений квадратических
иррациональностей:
при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не
являющегося полным квадратом, период начинается со второго звена;
чисто периодическая цепная дробь получается тогда и только тогда, когда
квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная иррациональность
лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было доказано Э. Галуа в 1828
году. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения
сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы, но
расположенные в обратном порядке).
Примеры:
Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую
цепную дробь x и найти соответствующую иррациональность x=((2, 6, 1)).
Решение: x=(2, 6, 1, x).
Составляем схему вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.
.
Положительное решение этого уравнения дает искомую периодическую дробь.
– иррациональность, сопряженная с x – лежит в интервале (-1; 0).
Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую
цепную дробь x=(3, (2, 1)) и найти соответствующую иррациональность.
Решение x=(3, y), где y=(2, 1, y). Составляем схему для вычисления
числителей и знаменателей подходящих дробей y:
.
§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида.
Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные цепные дроби
являются частным случаем бесокнечных и конечных цепных дробей общего
вида:
(1),
.
может также быть равно нулю.
.
– частным знаменателем.
, за исключением одного, выбрать произвольно.
(2).
может быть любым целым числом.
Правильные цепные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными
среди цепных дробей общего вида, однако и другие цепные дроби играют
большую роль и имеют важные применения, например, в приближенном
анализе, где при их помощи без сложных выкладок получают
дробно-рациональные приближения функций.
Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных дробей общего вида.
Происхождение таких цепных дробей связано с обобщенным алгоритмом
Евклида.
.
.
. Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного вычисления
подходящие дроби могут быть сократимыми, но сокращать их можно лишь при
определенных условиях.
Свойства подходящих дробей цепных дробей общего вида с положительными
элементами и правильных цепных дробей вполне аналогичны.
принимается за значение этой дроби. Не всегда общие бесконечные цепные
дроби являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь
положительные элементы.
Существует ряд признаков сходимости цепных дробей:
Пусть дана непрерывная дробь вида
, то цепная дробь сходится.
расходится (теорема Зейделя).
Интересной особенностью цепных дробей общего вида является то, что даже
рациональные числа могут ими разлагаться в бесконечные цепные дроби.
Например, имеется разложение
, …
0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …
Примечательно то, что квадратические иррациональности разлагаются и в
непериодические цепные дроби общего вида.
Например, имеется разложение
, …
1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …
:
, …
1,33; 1,22; 1,284.
, EMBED????????????????????????
Приведем еще несколько примеров разложений других иррациональностей в
цепные дроби общего вида:
, …
была найдена еще более 300 лет назад английским математиком Брункером.
.
разложения e в цепную дробь имеют вид:
в виде цепной дроби.
в правильную цепную дробь есть числа:
3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84,
2, 1, 1.
Решение задач
Записать в виде конечной цепной дроби
Решение:
=(0, 2, 15);
=(3, 7, 15, 1, 292);
=(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10);
=–(2, 1, 30, 2)=(-2, 1, 30, 2)
Разложить простую дробь в цепную дробь и найти ее подходящие дроби.
Решение:
=(3, 2, 1, 24);
Находим подходящие дроби:
=(3, 3, 33);
=(3, 7, 15, 1, 292);
;
Сократить дробь
;
Разложим ее в конечную цепную дробь и найдем последнюю подходящую дробь
для нее.
=(4, 1, 1, 6)
.
=(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2)
.
=(1, 1, 2, 2, 32)
.
=3,14159265…
.
5. Преобразуйте в обыкновенную дробь следующие цепные дроби: a) (2, 1,
1, 2, 1, 6, 2, 5); b) (2, 3, 1, 6, 4); c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5);
d) (0, 3, 1, 2, 7).
Составим таблицу подходящих дробей:
c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)
6. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью с точностью до
0,001 следующие числа:
.
. Повторяя эту операцию выделения целой части и переворачивания
дробной, получаем:
;
;
.
=(2, (4)).
Составим таблицу подходящих дробей:
, так как 17·72>1000.
.
=5
;
;
;
;
;
.
=(5, (1, 1, 1, 10)).
.
=(3, 2, 5, 2, 7, 2);
, так как 24·179>1000.
.
=1
;
;
;
=((1, 2))
, так как 30·41>1000.
.
7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:
a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))
Решение:
a) (4, (3, 2, 1)) – смешанная периодическая дробь.
, где
x=((3, 2, 1)) – чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение,
начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид:
.
.
.
)
Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить
задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей:
D=4+4·2=12
.
.
8. Решить в целых числах уравнения:
a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.
Решение:
a) 143x+169y=5 – диофантово уравнение.
(143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида)
уравнение решений не имеет.
.
b) 2x+5y=7
уравнение имеет решение в целых числах.
получим
– частное решение.
Все решения могут быть найдены по формулам
c) 23x+49y=53
существуют целые решения.
=(0, 2, 7, 1, 2)
17·23-8·49=(-1)5
23·(-901)+49·424=53
9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых
кратно 11, а второе – 17.
Решение: Пусть 11x – первое число 11x>0 x>0;17y – второе число 17y>0
y>0.
Тогда 11x+17y=150
существуют решения.
(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)
1 1 2 3 17
11·3-2·17=(-1)5=–1
11·(-450)+17·300=150
99 – первое число
51 – второе число.
Ответ: 99; 51.
10. Решить уравнения Пелля:
Решение:
в виде цепной дроби:
=(5, (10)).
.
– наименьшее положительное решение.
Ответ: x=51, y=10.
Количество чисел в периоде четное (шесть)
Ответ: .
Заключение
Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.
Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида .
Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы
найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей
можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.
Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных
уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:
.
Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения
алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления
значений отдельных функций.
В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в
вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для
решения ряда задач на ЭВМ.
Литература:
1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.
2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.
Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение»,
84.
И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.
А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М,
«Просвещение», 84.
Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и
теории чисел. М, «Просвещение», 93.
Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.
Математическая энциклопедия, том , М, «Советская энциклопедия», 85.
Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
