.

Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 610
Скачать документ

Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я
считаю нужным сказать о слабой сходимости.

.

Определение.

,

.

Иначе говоря, слабая сходимость  —  это поточечная сходимость функций
распределения во всех точках непрерывности предельной функции
распределения.

Свойство 1.

, то

  и т.д. (продолжить ряд).

.

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 2.

.

.

Свойство 3.

.

.

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но
основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно
мощное и универсальное средство для асимптотического анализа
распределений сумм  независимых и одинаково распределенных случайных
величин предоставляет нам центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов:
1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае,
т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных
случайных величин.

Центральная предельная теорема.

.

слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Доказательство.

. Требуется доказать, что

. Требуется доказать, что

равна

. Получим

к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального
закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о
слабой сходимости :

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному
распределению, что и утверждается в ЦПТ.

, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие.

 —  независимые и одинаково распределенные случайные величины с
конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг
другу и равносильны утверждению ЦПТ.

имеет место сходимость

имеет место сходимость

имеет место сходимость

 —  произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра  —  Лапласа.

.

имеет место сходимость

Доказательство.

:

Осталось воспользоваться ЦПТ.

Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.

Пример 1.

З а д а ч а.  Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность
того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на
одну сотую.

одного слагаемого.

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра  —  Лапласа,
последовательность

.

Пример 2.

Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в
страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения
потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не
играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых
страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней
величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых
случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной
теоремы  распределение суммарного иска является нормальным
распределением. Обозначив его дисперсию как DZ, а математическое
ожидание (среднее значение суммарного иска) как =

– где , – среднее значение числа страховых случаев и величины
страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки
Тr:

Тr = [(Т0(()/(()](((DQ + 2(DN) 0.5

– где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества
страховых случаев.

В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их
дисперсия равна нулю), имеем:

Тr = (Т0(()/N0.5

Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации
уровня страховых выплат значительно меньше единицы.

При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая
величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении
вероятностей представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по
каждому риску в отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как
среднеквадратичная величина всех рисковых надбавок.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019