Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я
считаю нужным сказать о слабой сходимости.
.
Определение.
,
.
Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций
распределения во всех точках непрерывности предельной функции
распределения.
Свойство 1.
, то
и т.д. (продолжить ряд).
.
Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.
Свойство 2.
.
.
Свойство 3.
.
.
Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но
основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно
мощное и универсальное средство для асимптотического анализа
распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных
величин предоставляет нам центральная предельная теорема.
Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов:
1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае,
т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных
случайных величин.
Центральная предельная теорема.
.
слабо сходится к стандартному нормальному распределению.
Доказательство.
. Требуется доказать, что
. Требуется доказать, что
равна
. Получим
к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:
В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального
закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о
слабой сходимости :
распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному
распределению, что и утверждается в ЦПТ.
, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.
— независимые и одинаково распределенные случайные величины с
конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг
другу и равносильны утверждению ЦПТ.
имеет место сходимость
имеет место сходимость
имеет место сходимость
— произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то
Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.
Предельная теорема Муавра — Лапласа.
.
имеет место сходимость
Доказательство.
:
Осталось воспользоваться ЦПТ.
Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.
Пример 1.
З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность
того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на
одну сотую.
одного слагаемого.
Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа,
последовательность
.
Пример 2.
Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в
страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения
потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не
играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых
страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней
величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых
случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной
теоремы распределение суммарного иска является нормальным
распределением. Обозначив его дисперсию как DZ, а математическое
ожидание (среднее значение суммарного иска) как
– где – среднее значение числа страховых случаев и величины
страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки
Тr:
Тr = [(Т0(()/()]((
2(DN) 0.5
– где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества
страховых случаев.
В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их
дисперсия равна нулю), имеем:
Тr = (Т0(()/N0.5
Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации
уровня страховых выплат значительно меньше единицы.
При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая
величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении
вероятностей представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по
каждому риску в отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как
среднеквадратичная величина всех рисковых надбавок.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
