Министерство Образования РБ.
Средняя общеобразовательная школа №42
«Три знаменитые классические
задачи древности»
Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван
Проверил: Леонова Вера Михайловна
г. Улан – Удэ
2005 г.
Введение
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки
было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним
геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя
лишь HYPERLINK
“http://www.schools.keldysh.ru/sch1905/Geom_postroeniya/instrumenti.htm”
циркуль и линейку , а построения, выполненные с помощью других
инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач
относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:
о квадратуре круга о трисекции
угла
о удвоении S круга.
Задача о квадратуре круга
-отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно
выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926…
было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками математиком В.
Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в
1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким
огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение
микроскопических расстояний к телескопическим.
), удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в
практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а
интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту
задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.
Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и
вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная
постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих
сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх
рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.)
находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре
круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт
Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома
Метона следующие слова:
Возьму линейку, проведу прямую,
И мигом круг квадратом обернётся,
Посередине рынок мы устроим,
А от него уж улицы пойдут –
Ну, как на Солнце! Хоть оно само
И круглое, а ведь лучи прямые!..
Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень
популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон
считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем
в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам,
построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник
и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон
сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий
любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже
Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное
решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с
кругом.
, как на диаметрах, Рис. 1
описываются полуокружности.
Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются
луночками.
По теореме Пифагора:
. (1)
. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и
получим, что площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или
сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника
BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал
свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно,
не удалось.
, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и
соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась
каждым новым поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их
не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может
быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача
до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит
появление до сих попыток её решить.
Задача о трисекции угла
Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских
слов tria – три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении
угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое
ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом
Платоном.
, на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2
CAB
угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN
.
, п – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол
невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и
линейки. Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в.
Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда
P R ” – ¦ A A ? O ae ae ?
?
B*
B*
B*
c ¤ ¦ A O ae AE
E
“^”//iaa//////////OAEAEAE??
8Z\†
A
Ae
AE
E
ae
`„?a$gd#Qw
hUe
jn
j5
h
ha6
hS
`„?gdIBI
`„?gd?gv
ph становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в
геометрических построениях одними только классическими инструментами,
циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и
средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий
Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался
для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II
в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой,
названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для
черчения этой кривой.
Рис. 4
Рис. 5
, то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем
о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании
равнобедренного треугольника имеем:
,
,
значит,
, а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока
точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет
искомой третьей частью угла AOE (Рис.5). Как видно, в этом приёме
используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и
окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную
точку A окружности. В указанном выше построении применяется, помимо
циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а
линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.
Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя
насечками предложенное Кемпе:
Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей
линейки обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)
Построение
.
Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре
так, чтобы точка Р
линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы
на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через
вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая
третью часть угла В.
Доказательство
как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М
прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника
PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный,
и значит
.
(Ч.Т.Д.).
Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом
поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и
процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой
книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на
стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не
входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса
приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто
накладывает фигуру на фигуру – и только.
Задача об удвоении куба
Удвоение куба – так называется третья классическая задача
древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла
большую роль в развитии математических методов.
Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма
данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра
х искомого куба должно удовлетворять уравнению
, не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было
доказано лишь в первой половине XIX в.
Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи
со следующей легендой.
На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда
жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы,
они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они
считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они
построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра
старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили
объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ
на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше
изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение
жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а
потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не
дорожат геометрией».
Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский,
который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два
средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b,
т.е. найти х и у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной
пропорции:
а : х = х : у = у : b (1)
. Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку
располагают так, как показано на рисунке.
Имеем:
,
или
а : х = х : у = у : 2а.
Отсюда
или
,
т.е.
.
искомый.
Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской
задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен,
Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др.
Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных
ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к
доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому
поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в
течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно.
При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий,
имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные
задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад,
окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так
необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого
человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед
богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища
Индии.
Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.
PAGE
PAGE 2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
