.

Три знаменитые классические задачи древности

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 499
Скачать документ

Министерство Образования РБ.

Средняя общеобразовательная школа №42

«Три знаменитые классические

задачи древности»

Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван

Проверил: Леонова Вера Михайловна

г. Улан – Удэ

2005 г.

Введение

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки
было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним
геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя
лишь HYPERLINK
“http://www.schools.keldysh.ru/sch1905/Geom_postroeniya/instrumenti.htm”
циркуль и линейку , а построения, выполненные с помощью других
инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач
относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:

о квадратуре круга о трисекции
угла

о удвоении S круга.

Задача о квадратуре круга

-отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно
выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926…
было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками математиком В.
Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в
1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким
огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение
микроскопических расстояний к телескопическим.

), удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в
практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а
интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту
задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.

Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и
вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная
постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих
сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх
рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.)
находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре
круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт
Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома
Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!..

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень
популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон
считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем
в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам,
построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник
и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон
сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий
любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже
Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное
решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с
кругом.

, как на диаметрах, Рис. 1
описываются полуокружности.

Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются
луночками.

По теореме Пифагора:

. (1)

. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и
получим, что площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или
сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника
BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал
свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно,
не удалось.

, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и
соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась
каждым новым поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их
не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может
быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача
до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит
появление до сих попыток её решить.

Задача о трисекции угла

Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских
слов tria – три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении
угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое
ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом
Платоном.

, на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2
CAB

угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN

.

, п – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол
невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и
линейки. Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в.

Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда

P R ” – ¦ A A ? O ae ae ?

?

B*

B*

B*

c ¤ ¦ A O ae AE

E

“^”//iaa//////////OAEAEAE??

8 Z \ †

A

Ae

AE

E

ae

`„?a$gd#Qw

hUe

jn

j5

h

ha6

hS

`„?gdIBI

`„?gd?gv

ph становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в
геометрических построениях одними только классическими инструментами,
циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и
средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий
Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался
для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II
в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой,
названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для
черчения этой кривой.

Рис. 4

Рис. 5

, то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем
о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании
равнобедренного треугольника имеем:

,

,

значит,

, а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока
точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет
искомой третьей частью угла AOE (Рис.5). Как видно, в этом приёме
используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и
окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную
точку A окружности. В указанном выше построении применяется, помимо
циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а
линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.

Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя
насечками предложенное Кемпе:

Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей
линейки обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)

Построение

.

Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре
так, чтобы точка Р

линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы

на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через
вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая
третью часть угла В.

Доказательство

как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М
прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника
PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный,
и значит

.

(Ч.Т.Д.).

Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом
поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и
процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой
книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на
стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не
входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса
приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто
накладывает фигуру на фигуру – и только.

Задача об удвоении куба

Удвоение куба – так называется третья классическая задача
древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла
большую роль в развитии математических методов.

Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма
данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра
х искомого куба должно удовлетворять уравнению

, не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было
доказано лишь в первой половине XIX в.

Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи
со следующей легендой.

На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда
жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы,
они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они
считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они
построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра
старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили
объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ
на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше
изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение
жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а
потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не
дорожат геометрией».

Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский,
который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два
средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b,
т.е. найти х и у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной
пропорции:

а : х = х : у = у : b (1)

. Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку
располагают так, как показано на рисунке.

Имеем:

,

или

а : х = х : у = у : 2а.

Отсюда

или

,

т.е.

.

искомый.

Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской
задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен,
Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др.

Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных
ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к
доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому
поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в
течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно.
При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий,
имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные
задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад,
окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так
необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого
человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед
богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища
Индии.

Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.

PAGE

PAGE 2

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019