?AOeAICEss
ia aeeieiiioth ?aaioo nooaeaioa V eo?na
oeceei-iaoaiaoe/aneiai oaeoeueoaoa AAIE
Aieueoaeiaa A. A. ia oaio:
“O?e e?ecena a ?acaeoee iaoaiaoeee”
?acaeoea iaoaiaoeee ia iaeiaaeaeu i?eaiaeeei a i?ioeii e iaiaoiaeeiinoe
iniuneaiey e ia?ano?ieee a? iniia. Aeeieiiiay ?aaioa Aieueoaeiaa A. A.
iinayuaia iaci?o o?ao ia?eiaeia eioaineaiuo iieneia iooae i?aiaeieaiey
iaeiieaoeony aioo?aiieo i?ioeai?a/ee: aioe/iue ia?eiae, ia?eiae
iainiiaaiey aiaeeca e oai?aoeei-iiiaeanoaaiiue ia?eiae.
A ?aaioa i?eaiaeeony iiiai eioa?aniuo enoi?e/aneeo naaaeaiee. Iieacaiu
iai?inoua iooe oi?ie?iaaiey iaeioi?uo iniiaiuo iaoaiaoe/aneeo iiiyoee.
Aaoi? iieacuaaao aeoaieia i?iieeiiaaiea a oaio e oi?ioaa aeaaeaiea
iaoa?eaeii. Aeeieiiiay ?aaioa Aieueoaeiaa A. A. caneoaeeaaao aunieie
ioeaiee.
Caaaaeothuee eaoaae?ie
iaoaiaoe/aneiai aiaeeca,
eaiaeeaeao oeceei-iaoaiaoe/aneeo
iaoe
Caoa?ia N. A.
Ieienoa?noai ia?aciaaiey ?inneeneie Oaaea?aoeee
Ano?aoaineee iaaeaaiae/aneee einoeooo ei. N. I. Ee?iaa
O?e e?ecena
a ?acaeoee iaoaiaoeee
AeEIEIIIAss ?AAIOA
студента физико-математического
факультета
Большакова Александра Анатольевича
Научный руководитель
Ованесов Н. Г.
Ano?aoaiue ( 96Iaeaaeaiea TOC \o “1-3”
Aaaaeaiea GOTOBUTTON _Toc357413555 PAGEREF _Toc357413555 2
I. Niiniau iainiiaaiey iaoaiaoeee a ae?aaiae A?aoeee io Ieoaai?a aei
Aaeeeaea. GOTOBUTTON _Toc357413556 PAGEREF _Toc357413556 3
1. Iaoaiaoeea ieoaai?aeoeaa GOTOBUTTON _Toc357413557 PAGEREF
_Toc357413557 3
2. I?iaeaia aaneiia/iinoe a ae?aaiaa?a/aneie oeeinioee e iaoaiaoeea
GOTOBUTTON _Toc357413558 PAGEREF _Toc357413558 7
3. O?e ciaiaieouo caaea/e ae?aaiinoe GOTOBUTTON _Toc357413559
PAGEREF _Toc357413559 9
4. I?aiaeieaiea e?ecena iniia ae?aaiaa?a/aneie iaoaiaoeee GOTOBUTTON
_Toc357413560 PAGEREF _Toc357413560 10
II. Niiniau iainiiaaiey iaoaiaoeee a XVIII e a ia?aie iieiaeia XIX aaea
GOTOBUTTON _Toc357413561 PAGEREF _Toc357413561 11
1. Iniaaiiinoe niiniaia iainiiaaiey iaoaiaoeee a eiioea XVII e a XVIII
aaea GOTOBUTTON _Toc357413562 PAGEREF _Toc357413562 11
2. ?ac?aaioea niiniaia iainiiaaiey iaoaiaoeee a iineaaeiae /aoaa?oe
XVIII e ia?aie iieiaeia XIX aaea GOTOBUTTON _Toc357413563 PAGEREF
_Toc357413563 21
III. Niiniau iainiiaaiey iaoaiaoeee a iineaaeiae /aoaa?oe XIX aaea e
ia/aea XX aaea GOTOBUTTON _Toc357413564 PAGEREF _Toc357413564 34
1. Oai?ey iiiaeanoa. Iniiaiua iiiyoey o/aiey i iiiaeanoaao A. Eaioi?a
GOTOBUTTON _Toc357413565 PAGEREF _Toc357413565 34
2. O?oaeiinoe iino?iaiey oai?ee iiiaeanoa. E?eoeea eiioeaioeee A.
Eaioi?a GOTOBUTTON _Toc357413566 PAGEREF _Toc357413566 35
3. Ia?aaeienu (aioeiiiee) oai?ee iiiaeanoa GOTOBUTTON _Toc357413567
PAGEREF _Toc357413567 39
4. Aeneiiaoe/aneea iino?iaiey oai?ee iiiaeanoa ii Oea?iaei GOTOBUTTON
_Toc357413568 PAGEREF _Toc357413568 41
5. I?iaeaia nouanoaiaaiey a iaoaiaoeea GOTOBUTTON _Toc357413569
PAGEREF _Toc357413569 45
Nienie eeoa?aoo?u. GOTOBUTTON _Toc357413570 PAGEREF _Toc357413570
48
Введение
Nicaeaiea iiauo e aeaeueiaeoaa ?acaeoea nouanoaothueo iaoaiaoe/aneeo
oai?ee naycaii iau/ii n ooi/iaieai (iaiauaieai) eo enoiaeiuo iniiaiuo
iiiyoee e iinueie e iniiaaiiuo ia ieo iaoiaeia. Iaoaiaoeee ia?aaeei
ano?a/aeenue n o?oaeiinoyie, i?aiaeieaoue eioi?ua ei oaeaaaeinue oieueei
iinea i?iaeieaeeoaeueiuo iieneia. Yoe o?oaeiinoe ?inoa iaoaiaoeee —
o?oaeiinoe a? iainiiaaiey: iie auee, anoue e aoaeoo a aeaeueiaeoai.
O?oaeiinoe iainiiaaiey iaoaiaoeee ea?atho iaeaieaa cia/eoaeueioth ?ieue
a ?acaeoee iaoaiaoeee oiaaea, eiaaea aicieeaao iaiaoiaeeiinoue a
ei?aiiie ia?a?aaioea iniia e iaoiaeieiaee anao (eee aeinoaoi/ii
aieueoiai /enea) iaoaiaoe/aneeo oai?ee. A yoeo neo/ayo aiai?yo i e?ecena
iniia iaoaiaoeee. Ecaanoiu o?e oaeeo e?ecena.
Aia?aua e?ecen iniia iaoe aiciee a iaoaiaoeea a ae?aaiae A?aoeee, a
ia/aea a? oi?ie?iaaiey eae iao/iie nenoaiu. Aoi?ie eiae ianoi a eiioea
XVII e a XVIII aaea. O?aoee aiciee a eiioea XIX aaea, ii ia i?aiaeieai e
a iaoa a?aiy e ieacuaaao aeeyiea ia ?acaeoea nia?aiaiiie iaoaiaoeee.
Iu ?anniio?ei nouiinoue yoeo e?ecenia iaoaiaoeee, eiay a aeaeo
i?aeiouanoaaiii iiaeoaa?aeaeaiea auaiaeia, naeaeaiiuo ?aiaa i
caeiiiia?iinoyo ?acaeoey iaoaiaoeee eae oai?ee.
I. Способы обоснования математики в
древней Греции от Пифагора до Евклида.
1. Математика пифагорейцев
Iaoaiaoeea eae oai?ey iieo/eea ?acaeoea a oeiea Ieoaai?a (571–479 aa.
aei i. y.).
Aeaaiie caneoaie ieoaai?aeoeaa a iaeanoe iaoee yaeyaony nouanoaaiiia
?acaeoea iaoaiaoeee eae ii niaea?aeaieth, oae e ii oi?ia. Ii
niaea?aeaieth — ioe?uoea iiauo iaoaiaoe/aneeo oaeoia. Ii oi?ia —
iino?iaiea aaiiao?ee e a?eoiaoeee eae oai?aoe/aneeo, aeieacaoaeueiuo
iaoe, eco/athueo naienoaa ioaea/aiiuo iiiyoee i /eneao e aaiiao?e/aneeo
oi?iao.
Aeaaeoeoeaiia iino?iaiea aaiiao?ee yaeeinue iiuiui noeioeii a?
aeaeueiaeoaai ?inoa.
Ieoaai?aeoeu ?acaeee e iainiiaaee ieaieiao?eth i?yiieeiaeiuo oeao?:
o/aiea i ia?aeeaeueiuo eeieyo, o?aoaieueieeao, /aou?aooaieueieeao,
i?aaeeueiuo iiiaioaieueieeao. Iieo/eea ?acaeoea yeaiaioa?iay oai?ey
ie?oaeiinoe e e?oaa. Iaee/ea o ieoaai?aeoeaa o/aiey i ia?aeaeueiuo
eeieyo aiai?eo i oii, /oi iie aeaaeaee iaoiaeii aeieacaoaeuenoaa io
i?ioeaiiai e aia?aua aeieacaee oai?aio i noiia oaeia o?aoaieueieea.
Aa?oeiie aeinoeaeaiee ieoaai?aeoeaa a ieaieiao?ee yaeyaony
aeieacaoaeuenoai oai?aiu Ieoaai?a. Iineaaeiyy ca iiiai noieaoee ?aiueoa
auea noi?ioee?iaaia aaaeeiineeie, eeoaeneeie e eiaeeeneeie o/aiuie,
iaeiaei a? aeieacaoaeuenoai ei ia auei ecaanoii.
Oniaoe ieoaai?aeoeaa a noa?aiiao?ee auee cia/eoaeueiuie. Iie caieiaeenue
eco/aieai naienoa oa?a, ioe?uee iino?iaiea /aou?ao i?aaeeueiuo
iiiaioaieueieeia — oao?ayae?a, eoaa, ieoayae?a e aeiaeaeayae?a
(eeinayae? enneaaeiaae aiineaaenoaee Aayoao).
Iaeiaei iie ia niiaee iainiiaaoue ooaa?aeaeaiey, ioiinyueany e iauaiai
oae (ie?aieaeu, eiiona, oeeeeiae?a e oa?a), oioy, eiia/ii, yoe
ooaa?aeaeaiey auee onoaiiaeaiu yiie?e/anee iiiai aaeia ?aiueoa. Ia ciaee
ieoaai?aeoeu e ioiioaiey iiaa?oiinoe oa?a e aieueoiio e?oao. A iaeanoe
a?eoiaoeee ieoaai?aeoeu eco/aee naienoaa /aoiuo e ia/aoiuo, i?inouo e
ninoaaiuo iaoo?aeueiuo /enae, eneaee niaa?oaiiua /enea, o. a. oaeea,
eioi?ua ?aaiu noiia anao naieo aeaeeoaeae (iai?eia?, 6=1+2+3;
28=1+2+4+7+14). Ii aeaeeiiio, iie onoaiiaeee, /oi anee /enei 2i–1
yaeyaony i?inoui, oi /enei 2i–1((2i–1) — niaa?oaiiia. Ieoaai?aeoeu ciaee
oaeaea ae?iaiua /enea e a yoie nayce ?ac?aaioaee oai?eth a?eoiaoe/aneie
e aaiiao?e/aneie i?iii?oeee. Iie aeaaeaee iiiyoeyie n?aaeiaai
a?eoiaoe/aneiai, n?aaeiaai aaiiao?e/aneiai e n?aaeiaai aa?iiie/aneiai.
Eae ie aaeeee caneoae ieoaai?aeoeaa a ?acaeoee niaea?aeaiey e
nenoaiaoecaoeee aaiiao?ee e a?eoiaoeee, iaeiaei ana iie ia iiaoo
n?aaieoueny ni naeaeaiiui eie aea ioe?uoeai ianiecia?eiuo aaee/ei. Yoi
ioe?uoea yaeeinue iiai?ioiui ioieoii a enoi?ee aioe/iie iaoaiaoeee.
Ii iiaiaeo yoiai ioe?uoey A?enoioaeue aiai?ee, /oi Ieoaai? iieacae, /oi
anee au aeeaaiiaeue eaaae?aoa auea au niecia?eia n aai noi?iiie, oi
/aoiia ?aaiyeinue au ia/aoiiio.
?en. SEQ ?en. \* ARABIC 1
Yoi caia/aiea A?enoioaey ynii iieacuaaao, /oi i?e aeieacaoaeuenoaa
ianiecia?eiinoe aeeaaiiaee eaaae?aoa n aai noi?iiie Ieoaai? eniieueciaae
iaoiae io i?ioeaiiai (?en. 1).
Ionoue, aeaenoaeoaeueii, aeeaaiiaeue AA niecia?eia ni noi?iiie AN
eaaae?aoa ANAAe.
iiaeii n/eoaoue ianie?aoeiie (eia/a a? iiaeii auei au nie?aoeoue);
cia/eo, ? eee q aoaeao /eneii ia/aoiui.
I?eiai AN=1. Ii oai?aia Ieoaai?a aeieaeii auoue:
;
Cia/eo
,
o. a. ?2 aeaeeony iaoeaei ia 2; neaaeiaaoaeueii e ? oaeaea aeaeeony
iaoeaei ia 2:
?=2?1,
aaea ?1 — iaeioi?ia iaoo?aeueiia /enei.
Aiaeiae/ii iieo/aai:
q=2q1,
aaea q1 oaeaea iaeioi?ia iaoo?aeueiia /enei.
Eoae, ? e q — iaa /aoiua /enea. Iineieueeo ? eee q — /enei ia/aoiia,
auoiaeeo, /oi /aoiia /enei ?aaii ia/aoiiio /eneo. A eiioea V aaea aei i.
y. Oaiaei? ec Ee?aiu onoaiiaee, /oi ianiecia?eiinoue aeeaaiiaee
eaaae?aoa n aai noi?iiie ia yaeyaony eneeth/aieai. Ii iieacae, /oi
noi?iiu eaaae?aoia, ieiuaaee eioi?uo ?aaiu 3, 5, 6, …, 17 ianiecia?eiu
ni noi?iiie aaeeie/iiai eaaae?aoa. Ieoaai? o/ee, /oi nouiinoue anao
aauae anoue /enei; /enei — naie aaue; aa?iiiey /enae — aa?iiiey naieo
aauae. A?enoioaeue aiai?ee, /oi o ieoaai?aeoeaa /enea i?eieiaeenue ca
ia/aei e a ea/anoaa iaoa?ee e a ea/anoaa [au?aaeaiey aeey] eo ninoiyiey
e naienoa.
Ioe?uoea ianiecia?eiuo aaee/ei nia/aea “aucaaei oaeeaeaiea”
(A?enoioaeue). Yoi anoanoaaiii: aei ioe?uoey Ieoaai?a ae?aaiaa?a/aneea
iaoaiaoeee n/eoaee, /oi ethaua aeaa io?acea eiatho iauoth ia?o, oioy,
iiaeao auoue, e i/aiue iaeoth. Eiaaea, iaeiaei, ieoaai?aeoeu
oaaaeeeenue, /oi aeieacaoaeuenoai nouanoaiaaiey ianiecia?eiuo aaee/ei
aacoi?a/ii, iie iiiyee, /oi eo oeeinioey ieacaeanue a cao?oaeieoaeueiii
iieiaeaiee.
Ieoaai?aeoeu ciaee oieueei iieiaeeoaeueiua oeaeua e ae?iaiua /enea.
Neaaeoy naiae oeeinioneie onoaiiaea, iie, ii nooe aeaea, n/eoaee, /oi
eaaeaeay aauue iiaeao auoue ioa?aeoa?eciaaia iieiaeeoaeueiui oeaeui eee
ae?iaiui /eneii, eioi?ia “au?aaeaao nouiinoue” yoie aaue. Ia aeaea yoi
icia/aei, /oi aaiiao?ey no?ieeanue ia aaca a?eoiaoeee. Ioe?uoea
ianiecia?eiuo io?aceia ciaiaiiaaei iiyoiio ia/aei e?ecena ieoaai?aeneie
oeeinioee e iaoiaeieiae/aneeo iniia ?acaeaaaiie eie nenoaiu iaoaiaoeee.
Iinea iaia?oaeaiey nouanoaiaaiey ianiecia?eiuo aaee/ei ia?aae
ieoaai?aeoeaie ioe?ueenue aeaa aiciiaeiinoe. Iiaeii auei iiiuoaoueny
?anoe?eoue iiiyoea /enea ca n/ao i?eniaaeeiaiey e ?aoeeiiaeueiui /eneai
/enae e??aoeeiiaeueiuo, ioa?aeoa?eciaaoue ianiecia?eiua aaee/eiu /eneaie
eiie i?e?iaeu e oaeei ia?acii ainnoaiiaeoue neeo oeeinioneiai i?eioeeia
“ana anoue /enei”.
Iaeiaei, yoio iooue noieue anoanoaaiiue e i?inoie n nia?aiaiiie oi/ee
c?aiey, aeey ieoaai?aeoeaa aue cae?uo. A yoii neo/aa iaaei auei
iino?ieoue aeinoaoi/ii no?iaoth a?eoiaoe/aneoth oai?eth aeaenoaeoaeueiuo
/enae, /oi i?e o?iaia ieoaai?aeneie iaoaiaoeee auei aeaeii iaauiieieiui.
Iiyoiio iaaei auei eaeoe ii ae?oaiio iooe — ii iooe ii?aaeaeaiiiai
ia?aniio?a enoiaeiuo i?eioeeiia, iai?eia? i?eiyoue, /oi aaiiao?e/aneea
iauaeou yaeythony aaee/eiaie aieaa iauae i?e?iaeu, /ai ae?iaiua e oeaeua
/enea, e iuoaoueny no?ieoue anth iaoaiaoeeo ia ia a?eoiaoe/aneie, a ia
aaiiao?e/aneie iniiaa. Eiaiii yoio aoi?ie iooue e eca?aee ieoaai?aeoeu,
a aneaae ca ieie aieueoeinoai ae?aaiaa?a/aneeo iaoaiaoeeia, aieioue aei
A?oeiaaea e Aiieeiiey.
2. Проблема бесконечности в
древнегреческой философии и математике
A ae?aaiaa?a/aneie oeeinioee iiiyoea aaneiia/iinoe iiyaeeinue aia?aua o
iaoa?eaeenoia ieeaoneie oeieu. Aiaeneiaiae? (610–546 aa. aei i. y.),
ia?aaiiee Oaeana, o/ee: iaoa?ey aaneiia/ia a i?ino?ainoaa e ai a?aiaie;
anaeaiiay aaneiia/ia, /enei ie?ia aaneiia/ii. Aiaeneiai (546 a. aei i.
y. — ?anoeaao aeayoaeueiinoe) aiai?ee: aa/iue e?oaiai?io iaoa?ee — yoi e
anoue aaneiia/iinoue.
Iiiyoea aaneiia/iinoe eae iaoaiaoe/aneay eaoaai?ey aia?aua iiyaeyaony o
Aiaeneai?a (ieiei 500–428 aa. aei i. y.). A ni/eiaiee “I i?e?iaea”
Aiaeneai? ienae: aaue aaneiia/ii aeaeeiu, iao iineaaeiae nooiaie
aeaeeiinoe iaoa?ee; n ae?oaie noi?iiu, anaaaea eiaaony ia/oi aieueoaa,
/oi yaeyaony aieueoei.
Aaneiia/iinoue aeey Aiaeniai?a — iioaioeeaeueiay; iia nouanoaoao a aeaoo
oi?iao: eae aaneiia/ii iaeia e aaneiia/ii aieueoia. A iaoaiaoeea oi/ea
c?aiey Aiaenaai?a iaoea aeaaii?eyoioth ii/ao aeaaiaea?y ioe?uoeth
ianiecia?eiuo aaee/ei — aaee/ei, eioi?ua ia iiaoo auoue ecia?aiu ethaie,
eaeie oaiaeii iaeie, iauae ia?ie.
Aeaiie?eo (ieiei 560–570 aa. aei i. y.), ii-aeaeeiiio, eco/ae oae
iacuaaaiua ?iaiaeaeiua oaeu (oaeu, ia?acoaiua aeoaie ie?oaeiinoe e
eanaoaeueiie e iae).
Iineieueeo eaaeaeue ?iaiaeaeiue oaie “iaiueoa” ethaiai i?yiieeiaeiiai
oaea, caeanue iiyaeyaony iiiyoea aeooaeueii aaneiia/ii iaeiai.
Aiineaaenoaee iiyaeeinue e iiiyoea aeooaeueiie aaneiia/iinoe.
A?enoioaeue (384–322 aa. aei i. y.) io/aoeeai ?acee/aao aeaa aeaea
aaneiia/iinoe: iioaioeeaeueioth e aeooaeueioth. Iiiyoea aeooaeueiie
aaneiia/iinoe a ae?aaiae A?aoeee ia iieo/eei ?acaeoey eae a oeeinioee,
oae e a iaoaiaoeea. Iaoaiaoeee n/eoaee, /oi “oeaeia aieueoa ethaie naiae
/anoe” e, oai naiui, ii nouanoao, eneeth/aee aeooaeueioth
aaneiia/iinoue. Oeeiniou (A?enoioaeue, iai?eia?) aeieacuaaee
i?ioeai?a/eainoue iiiyoey aeooaeueiie aaneiia/iinoe e oai naiui
iiaeaea?aeeaaee iaoaiaoeeia.
Iiiyoea aaneiia/iinoe iiaeaa?aaeinue na?ueaciie e?eoeea ni noi?iiu
Caiiia Yeaeneiai (ieiei 490–430 aa. aei i. y.). Caiii aue o/aieeii
Ia?iaieaea, aeaau yeaeneie oeieu. Ia?iaieae ooaa?aeaeae, /oi auoea
aaeeii, iaiiaeaeaeii e iaeciaiii. Aeaeaeaiea, eciaiaiea — yoi oieueei
aeaeeiinoue, iaoneiaeaiiay ianiaa?oainoaii iaoeo i?aaiia /oanoa. Ie?
(auoea) iiaeao auoue iiciai oieueei ?acoiii, ii ia /oanoaaie.
Caiii Yeaeneee auaeaeioe 45 aii?ee (aioeiiiee), eiay i?e yoii oeaeueth
?acaeoue e eo/oa iainiiaaoue o/aiea Ia?iaieaea. Ec yoeo aioeiiiee aei
iaoaai a?aiaie aeioei oieueei 9. Aio iaeaieaa oa?aeoa?iua ec ieo.
I?ioea aeaeaeaiey.
“Дихотомия”. Aeaeaeaiey iao, iioiio /oi oi, /oi aeaeaeaony, aeieaeii
aeieoe aei na?aaeeiu, i?aaeaea /ai iii aeieaeao aei eiioea. Ii anee au
oaei aeioei aei na?aaeeiu, iii aeieaeii auei au ?aiueoa aeieoe aei
na?aaeeiu yoie na?aaeeiu e o. ae. aei aaneiia/iinoe, a yoi iaaiciiaeii.
Oaeei ia?acii aeaeaeaiea ia iiaeao ia/aoueny.
“Ахиллес и черепаха”. Iaaeeaiiue a aaaa ieeiaaea ia aoaeao ia?aaiai
auno?ui, iioiio /oi oio, eoi i?aneaaeoao, aeieaeai nia/aea aeinoe/ue
oi/ee, ec eioi?ie ia/ae oaaaathuee, oae /oi oaaaathuee anaaaea aoaeao ia
iaeioi?ii ?annoiyiee aia?aaee.
Caneoaa Caiiia Yeaeneiai a ?acaeoee oeeinioee e iaoaiaoeee ninoieo a
oii, /oi ii auyaee ?aaeueioth i?ioeai?a/eainoue a?aiaie, aeaeaeaiey e
i?ino?ainoaa, a cia/eo e aaneiia/iinoue. A. E. Eaiei ienae, /oi Caiii ia
io?eoeae /oanoaaiioth aeinoiaa?iinoue aeaeaeaiey; aai eioa?aniaae
aii?in, eae au?aceoue nouiinoue aeaeaeaiey a eiaeea iiiyoee.
Iaeiaei, Caiii iineaaeithth caaea/o ia ?aoee, ia ?aoeee a? e ae?oaea
o/aiua ae?aaiae A?aoeee.
3. Три знаменитых задачи древности
A ?acaeoee niaea?aeaiey e niiniaia iainiiaaiey iaoaiaoeee ae?aaiae
A?aoeee auaeathuothny ?ieue nua?aee o?e caaea/e: o?enaeoeey oaea,
oaeaiaiea eoaa (aeaeeeneay caaea/a) e eaaae?aoo?a e?oaa.
I?iaoaeaeaiea iniaiai eioa?ana e yoei caaea/ai eiaiii a ae?aaiae A?aoeee
ia neo/aeii. I?e iino?iaiee iaoaiaoeee eae aeaaeoeoeaiie nenoaiu,
aace?othuaeny ia aaiiao?e/aneii ooiaeaiaioa aeaa ia?aua caaea/e
iiyaeythony eae anoanoaaiiua iaiauaiey aieaa yeaiaioa?iuo caaea/.
Caaea/a i eaaae?aoo?a e?oaa auea iieo/aia “ii ??????????????????????
Трисекция угла. Aeai (AAN, o?aaoaony ?acaeaeeoue aai ia o?e ?aaiua
/anoe. Oi?ioee?iaea caaea/e ioiineony e ethaiio oaeo e yaeyaony
iaiauaieai caaea/e i aeaeaiee aeaiiiai oaea ia aeaa ?aaiua /anoe.
?en. 2
. Neaaeiaaoaeueii, noi?iia eneiiiai eaaae?aoa ?aaia aeeaaiiaee
aeaiiiai. Ionthaea inouanoaeiinoue iino?iaiey oee?eoeai e eeiaeeie
eneiiiai eaaae?aoa AA`CC` (?en. 2).
Aiieia anoanoaaiii auei ia?aeoe io yoie caaea/e ia ieineinoe e
niioaaonoaothuae caaea/e a i?ino?ainoaa: iino?ieoue eoa, iauai eioi?iai
a aeaa ?aca aieueoa iauaia aeaiiiai eoaa.
Квадратура круга. Iino?ieoue eaaae?ao, ii ieiuaaee ?aaiue aeaiiiio
e?oao.
Ie iaeia ec oeacaiiuo caaea/ ia ?ac?aoeia oee?eoeai e eeiaeeie.
4. Преодоление кризиса основ
древнегреческой математики
Ieoaai?aeoeu caeiaeeee iniiau aaiiao?e/aneie aeaaa?u. Oayoao e Aaeeeae
onoaiiaeee eeanneoeeaoeeth eaaae?aoe/iuo e??aoeeiiaeueiinoae.
Aaaeiin ?acaee iauoth oai?eth i?iii?oeee — aaiiao?e/aneee yeaeaaeaio
oai?ee iieiaeeoaeueiuo aauanoaaiiuo /enae — e ?ac?aaioae iaoiae
en/a?iuaaiey — ca/aoi/ioth oi?io oai?ee i?aaeaeia, iniiaaiioth ia
aaiiao?e/aneie aaca. Yoe oai?ee nicaeaee i?i/iue ea?ean caeaiey
ae?aaiaa?a/aneie iaoaiaoeee, ooiaeaiaioii eioi?iai auea aaiiao?ey; oai
naiui i?aiaeieaaaeenue o?oaeiinoe, naycaiiua n oaeoii nouanoaiaaiey
ianiecia?eiuo aaee/ei.
*oiau ecaaaeaoue o?oaeiinoae a iainiiaaiee iaoaiaoeee, naycaiiuo n
ia?aaeienaie aaneiia/iinoe (Caiii, A?enoioaeue), aieueoeinoai o/aiuo
ae?aaiae A?aoeee i?aaeii/ee ioeacaoueny io eniieueciaaiey a iaoaiaoeea
eaeae aaneiia/iinoe e aeaeaeaiey eee naanoe eo i?eiaiaiea e ieieioio. A
ea/anoaa oaeiai ieieioia auei i?eiyoi ooaa?aeaeaiea i iaia?aie/aiiie
aeaeeiinoe aaiiao?e/aneeo aaee/ei.
?anniio?aiea o?ao ciaiaieouo caaea/ i?eaaei ae?aaiaa?a/aneeo o/aiuo e
oaaaeaeaieth, /oi ?aoaiea aaiiao?e/aneie caaea/e iiaeao n/eoaoueny
auiieiaiiui no?iai aaiiao?e/anee eeoue i?e oneiaee eniieueciaaiey
oieueei (eaeaaeueiuo) oee?eoey e eeiaeee. Eniieueciaaiea iaoaie/aneeo
n?aaenoa a aaiiao?ee ia aeiioneaaony.
Oieueei iinea iniiaiiieaaathueo ?aaio ieoaai?aeoeaa, Oayoaoa, Aaaeiena e
ae?oaeo iaoaiaoeeia, iinea niaeaoaiey i iaiaoiaeeiuo ia?aie/aieyo e
aeiionoeiuo n?aaenoaao iino?iaiey, Aaeeeae iaienae “Ia/aea”, iinayuaiiua
iniiaai e iaoiaeai ae?aaiaa?a/aneie iaoaiaoeee. A “Ia/aeao” Aaeeeaea
e?ecen iniia ae?aaiaa?a/aneie iaoaiaoeee aue i?aiaeieai — eiia/ii, aeey
naiaai a?aiaie, e, aeiaaaei, i?aiaeieai ia ai anao ioieoao e ia anaaaea
niaa?oaiiui ia?acii.
II. Способы обоснования математики в
XVIII и в первой половине XIX века
1. Особенности способов обоснования
математики в конце XVII и в XVIII веке
A eiioea XVII e a XVIII aaea ana aic?anoathuea cai?inu i?aeoeee e
ae?oaeo iaoe iiaoaeaeaee o/aiuo iaeneiaeueii ?anoe?youe iaeanoue e
iaoiaeu enneaaeiaaiee iaoaiaoeee. Iiiyoey aaneiia/iinoe, aeaeaeaiey e
ooieoeeiiaeueiie caaeneiinoe auaeaeaathony ia ia?aia ianoi, noaiiayony
iniiaie iiauo iaoiaeia iaoaiaoeee.
A eiioea XVII e a XVIII aaea a iaoaiaoeea e iaoaieea auee iieo/aiu
eeanne/aneea ?acoeueoaou ooiaeaiaioaeueiiai cia/aiey. Iniiaiui caeanue
auei ?acaeoea aeeooa?aioeeaeueiiai e eioaa?aeueiiai en/eneaiey, oai?ee
aeeooa?aioeeaeueiuo o?aaiaiee, aa?eaoeeiiiiai en/eneaiey e aiaeeoe/aneie
iaoaieee. Cia/eoaeueiua ?acoeueoaou auee iieo/aiu a aeaaa?a e oai?ee
/enae. A. Yeea?, a aneaae ca iei e iaeioi?ua ae?oaea o/aiua aoi?ie
iieiaeiu XVIII aaea i?iaeaeaee aieueooth ?aaioo ii nenoaiaoecaoeee
niaea?aeaiey iaoaiaoe/aneeo aeenoeeieei, a ia?aoth i/a?aaeue
iaoaiaoe/aneiai aiaeeca, a aianoa n iei aeaaa?u e o?eaiiiiao?ee.
Aianoa n oai, a ?anniao?eaaaiue ia?eiae niiniau iainiiaaiey
iaoaiaoe/aneeo oai?ee — iniaaiii aeeooa?aioeeaeueiiai en/eneaiey — ?acei
ionoaaaee io ao?ii ?acaeaathuaainy niaea?aeaiey iaoaiaoeee. Yoi
ionoaaaiea i?iyaeeinue a ?acee/iuo, iaaeaeo niaie naycaiiuo oi?iao e
i?eoii naiaia?acii a ioaeaeueiuo iaoaiaoe/aneeo oai?eyo.
Iauae /a?oie iiiuoie iainiiaaiey iaoaiaoeee n eiioea XVII e ieaiiia?ii
aei iineaaeiae /aoaa?oe XVIII aaea auei no?aieaiea iainiiaaoue eaaeaeoth
iaoaiaoe/aneoth oai?eth a iieiii niioaaonoaee n enoeiaie yeaiaioa?iie,
“iecoae” (ii oa?ieiieiaee O. Yiaaeuena) iaoaiaoeee, o. a. yeaiaioa?iie
iaoaiaoeee, eaeie iia auea i?eia?ii aei ioe?uoey aiaeeoe/aneie
aaiiao?ee. Yoi no?aieaiea i?iyaeeinue a aeaoo oi?iao. Nia/aea iaoaiaoeee
iuoaeenue aicaeaeaiooue ?acaeaaaiua eie iaoaiaoe/aneea oai?ee ia
ooiaeaiaioa, iino?iaiiii a naia a?aiy aeey iainiiaaiey “iecoae”
iaoaiaoeee. Yoi oi?ioi iieacuaatho ainiiaenoaiaaaoea a oi a?aiy niiniau
iainiiaaiey aeaaa?u e o/aiey i /enea. Anee aea oaeia iino?iaiea yaii ia
oaeaaaeinue (/oi auei iniaaiii ynii a ioiioaiee aeeooa?aioeeaeueiiai
en/eneaiey n iiiaioa aai aicieeiiaaiey), oi noa?aeenue iainiiaaoue
iaoaiaoe/aneoth oai?eth ia i?eioeeiao, niaoeeaeueii aeey ia?
?ac?aaioaiiuo, niaea?aeaiea eioi?uo iiaeii iaeneiaeueii niaeaniaaoue,
“i?eie?eoue” (Yiaaeuen) n enoeiaie “iecoae” iaoaiaoeee.
Eia/a aiai?y, a iaieo neo/ayo i?eioeeiu e ooaa?aeaeaiey “iecoae”
iaoaiaoeee iaoaoece/anee aaniethoece?iaaeenue, ?anniao?eaaeenue eae
iacuaeaiue ooiaeaiaio eaaeaeie iaoaiaoe/aneie oai?ee.
A eiioea XVII e iniaaiii a ia?auo o?ao /aoaa?oyo XVIII aaea iniiaiua
iiiyoey e caeiiu, onoaiiaeaiiua a iaeiie iaoaiaoe/aneie oai?ee /anoi
ia?aiineeenue a iiaua iaeanoe enneaaeiaaiey, niaa?oaiii oi?iaeueii, o.
a. aac iainiiaaiey.
Caeiiu aeaaa?u e iaoaiaoe/aneiai aiaeeca oi?ie?iaaeenue aac oeacaiey
ia?aiaiiuo, aeey eioi?uo iie ni?aaaaeeeau, e aac oeacaiey a?aieoe eo
i?eiaieiinoe. Oaeay o?aeoiaea caeiiia aeaaa?u e iaoaiaoe/aneiai aiaeeca,
anoanoaaiii, ?ani?ino?aiyeanue e ia iniiauaathueany ia ieo aeai?eoiu.
E na?aaeeia XVIII aaea iienaiiay o?aeoiaea caeiiia iaoaiaoe/aneiai
aiaeeca e aeaaa?u noaea ianoieueei iauai?eiyoie, /oi E. Yeea? n/ae
aiciiaeiui enoieeiaaoue a? eae iniiaiie i?eioeei iaoiaeieiaee aiaeeca
aiiaua. Neo/eeinue yoi i?e neaaeothueo ianoiyoaeuenoaao.
.
Eaeaieoe ia niaeaneeny n E. Aa?ioeee; ii ooaa?aeaeae, /oi
io?eoeaoaeueiia /enei eiaao aan/eneaiiia iiiaeanoai eiaa?eoiia, i?e/ai
ana iie — /enea eiiieaeniua. N?aaee ae?oaeo naieo a?aoiaioia Eaeaieoe
oeacae, /oi i?aaeei aeeooa?aioee?iaaiey ln x, onoaiiaeaiiia aeey o>0, ia
iaycaoaeueii aeieaeii auoue ni?aaaaeeeaui e aeey ln(–x).
I?e iiiiue iniaie a?aoiaioaoeee E. Yeea? ?aoee nii? a iieueco Eaeaieoea.
Iaeiaei oeacaiiue a?aoiaio Eaeaieoea Yeea? ?aoeoaeueii ioeeiiee. “Yoi
aic?aaeaiea,— oeacuaae Yeea?,— anee au iii auei aa?ii, iieieaaaei au
iniiaiia iieiaeaiea anaai aiaeeca, caeeth/athuaany, a iniiaiuo /a?oao, a
iauiinoe i?aaee e iia?aoeee, i?eciaaaaiuo ni?aaaaeeeauie, eaeiaa au ie
auea i?e?iaea eiee/anoa, e eioi?ui iie i?eeaaathony”.
Eae iu aeaeei, iiaeoiae iaoaiaoeeia a XVIII aaea e auyniaieth a?aieoe
i?eeiaeeiinoe iaoiaeia iaoaiaoeee e o?aeoiaea a? i?eioeeiia auee yaii
iaoaoece/aneeie.
A XVIII aaea aeieacaoaeuenoai oai?ai iaoaiaoe/aneiai aiaeeca ia?aaeei
i?iaiaeeee, iie?aynue ia ainiiaenoaiaaaoea oiaaea iaoaie/aneea e
aaiiao?e/aneea i?aaenoaaeaiey. Ia/aei oe?ieiio eniieueciaaieth
iaoaie/aneeo i?aaenoaaeaiee eae aacu iaoaiaoe/aneiai aiaeeca iieiaeee
Iuethoii a naiai o/aiee i oethaioao e oetheneyo. *oi aea eanaaony
oeacaiiiai eniieueciaaiey aaiiao?e/aneeo i?aaenoaaeaiee, oi i?iua anaai
auynieoue nooue aeaea ia neaaeothuai i?eia?a.
A iaoa a?aiy oai?aia i i?ioiaeaeaiee iai?a?uaiie ooieoeee /a?ac ioeaaia
cia/aiea aeieacuaaaony a eeanne/aneii iaoaiaoe/aneii aiaeeca /enoi
aiaeeoe/anee n eniieueciaaieai iiiyoey aaneiia/iiai iiiaeanoaa. A XVIII
aaea anee yoa oai?aia e aeieacuaaeanue, oi /aua anaai oeacaieai ia oi,
/oi iai?a?uaiay e?eaay f(x), niaaeeiythuay oi/ee A e A, ?aniieiaeaiiua a
ieineinoe ii ?aciua noi?iiu ine IO, nouanoaoao ii iaiueoae ia?a iaeia
oi/ea n aanoeennie o=n, a
III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX века 1. Теория множеств. Основные понятия учения о множествах Г. Кантора Aeey /aai iaoaiaoeee iineaaeieo aeanyoeeaoee XIX aaea iio?aaiaaeinue iauaa o/aiea i iiiaeanoaao, i?aaie/anee naycaiiuo n iiiyoeai aeooaeueiie aaneiia/iinoe? A. Eaioi? ioaaoee ia yoio aii?in oae: “…aeey iainiiaaiey a?eoiaoeee aeaenoaeoaeueiuo /enae, aeey aeieacaoaeuenoaa ooiaeaiaioaeueiuo oai?ai iaoaiaoe/aneiai aiaeeca e oai?ee o?eaiiiiao?e/aneeo ?yaeia”. A. Eaioi? oeacuaae oaeaea, /oi eaeae e iaoiaeu iauaai o/aiey i iiiaeanoaao yaeythony aeaenoaaiiuie i?oaeeyie iouneaiey iiauo iaoaiaoe/aneeo oaeoia e ?acaeoey iiauo iaoaiaoe/aneeo oai?ee. A yoie nayce ii n/ae aiciiaeiui ooaa?aeaeaoue, /oi aeey iaoaiaoeee iiiyoea aeooaeueiie aaneiia/iinoe nouanoaaiii iaiaoiaeeii. Iniiaiui iiiyoeai iauaai o/aiey i iiiaeanoaao A. Eaioi?a yaeyaony iiiyoea aaneiia/iiai iiiaeanoaa (iiiyoea aeooaeueiie aaneiia/iinoe). “Iiae iiiaiia?aceai, eee iiiaeanoaii,— ienae A. Eaioi?,— y iiieiath aiiaua anyeia iiiaia, eioi?ia iiaeii iuneeoue eae aaeeiia, o. a. anyeoth niaieoiiinoue ii?aaeaeaiiuo yeaiaioia, eioi?ay iiaeao auoue naycaia a iaeii oeaeia n iiiiuueth iaeioi?iai caeiia.” Eaioi? iacuaae iiiaeanoai ? ii?aaeaeaiiui, anee ioiineoaeueii ethaiai iauaeoa iiaeii neacaoue, i?eiaaeeaaeeo ii iiiaeanoao ? eee ia i?eiaaeeaaeeo. Iiiyoea caeiia A. Eaioi? n/eoae enoiaeiui, iaii?aaeaeeiui. Aianoa n oai, a aai eiioeaioeee iiiyoea caeiia ea?aao ooiaeaiaioaeueioth ?ieue. Oae eae niaeanii caeiio yeaiaiou iaeioi?ie niaieoiiinoe iiaoo auoue naycaiu a iaeii oeaeia, oi caeii iaania/eaaao nouanoaiaaiea iiiaeanoaa. Aa?ii e ia?aoiia: anee iiiaeanoai nouanoaoao, oi iiaeii aeaoue caeii, iaania/eaathuee aai nouanoaiaaiea. Iia?aoeaiuie iiiyoeyie iauaai o/aiey i iiiaeanoaao A. Eaioi?a yaeythony iiiyoey acaeiii iaeiicia/iiai niioaaonoaey iiuiinoe e eiee/anoaa iiiaeanoaa. Eaioi? ii?aaeaeee iiuiinoue — oaia?ue /anoi aiai?yo: “eiee/anoaaiiia /enei” — eae ?acoeueoao aano?aeoeee io niaea?aeaiey e ii?yaeea yeaiaioia iiiaeanoaa. Ii iacuaae aeaa iiiaeanoaa ?aaiiiiuiuie e eiathueie iaeeiaeiaoth iiuiinoue, anee iaaeaeo eo yeaiaioaie aiciiaeii onoaiiaeoue acaeiii iaeiicia/iia niioaaonoaea. Aeey ?acaeoey iauaai o/aiey i iiiaeanoaao iaeaieaa nouanoaaiiui yaeeinue ae?oaia ioe?uoea A. Eaioi?a — aeieacaoaeuenoai nouanoaiaaiey aaneiia/iuo iiiaeanoa n ?acee/iuie iiuiinoyie. — neiaie iiuiinoe n/aoiiai iiiaeanoaa, n — neiaie iiuiinoe eiioeiooia, 2o — neiaie iiuiinoe iiiaeanoaa anao iiaeiiiaeanoa iiiaeanoaa, iiuiinoue eioi?iai anoue o. Eaaeaeue oaeie neiaie Eaioi? iacaae ea?aeeiaeueiui o?ainoeieoiui /eneii. 2. Трудности построения теории множеств. Критика концепции Г. Кантора Eaioi? i?aaei?eiye iiiuoeo ?acaeoue a?eoiaoeeo ea?aeeiaeueiuo o?ainoeieoiuo /enae. Ii aeieacae iiiaea a?eoiaoe/aneea niioiioaiey, ni?aaaaeeeaua aeey iiuiinoae eiie?aoiuo iiiaeanoa — n/aoiuo e iiuiinoe eiioeiooia. Iai?eia?, anee i — ethaia iaoo?aeueiia /enei, oi: Ii eiaaea eaioi? iiiuoaeny iaiaueoue iieo/aiiua ei a?eoiaoe/aneea niioiioaiey ia ethaua ea?aeeiaeueiua o?ainoeieoiua /enea, oi ano?aoeeny n na?ueaciuie o?oaeiinoyie. Ionoue I e N — eaeea oaiaeii aaneiia/iua iiiaeanoaa, o e i — niioaaonoaothuea ei ea?aeeiaeueiua o?ainoeieoiua /enea. Iiaeii ee ooaa?aeaeaoue, /oi yoe /enea anaaaea iiaoo auoue naycaiu iaeiei e oieueei iaeiei ec ciaeia =, >, Aeey iaoo?aeueiuo /enae o e i yoi ooaa?aeaeaiea ni?aaaaeeeai, aeey ea?aeeiaeueiuo o?ainoeieoiuo /enae ni?aaaaeeeainoue aai ia i/aaeaeia. Eaioi? yoo i?iaeaio ia ?aoee, a? iacaaee i?iaeaiie o?eoioiiee. Eaioi? ia niia oaeaea aeieacaoue (eee ii?iaa?aiooue), /oi aeey ethauo ea?aeeiaeueiuo o?ainoeieoiuo /enae ni?aaaaeeeau niioiioaiey: o+i=oi; o=o2; anee o2=i2, oi o=i; anee o
Список литературы. E. I. Ao?iaa. Ia?aaeienu oai?ee iiiaeanoa e aeeaeaeoee. A. I. Eieiiai?ia. Iaoaiaoeea a a? enoi?e/aneii ?acaeoee. Iaoaiaoe/aneay yioeeeeiiaaeey. A. I. Iieiaeoee. I/a?ee ii oeeinioneei aii?inai iaoaiaoeee. A. E. ?ocaaei. I i?e?iaea iaoaiaoe/aneiai ciaiey. Oeeinioneea i?iaeaiu anoanoaiciaiey. Iiae ?aae. N. O. Ieethoeia. E. C. Oeaoieno?i. Aeeaeaeoeea iiiaeanoaaiiiai e aaeeiiai. N. A. ssiianeay. Iaoiaeieiae/aneea i?iaeaiu iaoee. PAGE PAGE 1 PAGE 3 D A A N C` A` B C A D ab b ba a b a o o I
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
