Приднестровский государственный университет
им. Т.Г. Шевченко
Физико-математический факультет
Кафедра математического анализа
и методики преподавания математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему:
«Тождественные преобразования
показательных и логарифмических
выражений»
Работу выполнила:
студентка _______ группы
физико-математического ф-та
_________________________
Работу проверила:
_________________________
Тирасполь, 2003г.
Содержание:
Введение……………………………………………………………………2
Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания в школьном
курсе алгебры и начала анализа……………………………………..4
§1. Формирование навыков применения конкретных видов
преобразований…………………………………………………………………………….4
§2. Особенности организации системы знаний при изучении тождественных
преобразований .…….………………………….………..………….5
§3. Программа по математике ……………………………………….11
Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных и
логарифмических выражений…………………………………………………13
§1. Обобщение понятия степени……………………………………..13
§2. Показательная функция…………………………………………..15
§3. Логарифмическая функция……………………………………….16
Глава 3. Тождественные преобразования показательных и логарифмических
выражений на
практике……………………………………………………….
……….19
Заключение………………………………………………………………..24
Список использованной литературы…………………………………….25Введение
В данной курсовой работе будет рассмотрено тождественные преобразования
показательной и логарифмической функции, рассмотрена методика
преподавания их в школьном курсе алгебры и начала анализа.
Первая глава данной работы описывает методику преподавания тождественных
преобразований в школьном курсе математики, так же включает программу по
математике в курсе «Алгебры и начала анализа» с изучением показательной
и логарифмической функции.
Вторая глава рассматривает непосредственно саму показательную и
логарифмическую функции, их основные свойства, используемые при
тождественных преобразованиях.
Третья глава – решение примеров и задач с использованием тождественных
преобразований показательной и логарифмической функции.
Изучение различных преобразований выражений и формул занимает
значительную часть учебного времени в курсе школьной математики.
Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических
операций, производятся уже в начальной школе и в IV–V классах. Но
основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения
преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с
резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так
и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий
применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества,
тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического
следования.
Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как
и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над
объектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их
выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать
преобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от
исходного аналитического выражения к выражению, наиболее
соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением
области определения аналитических выражений в цепочке тождественных
преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразований.
Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобразований
представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема
решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому –
статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно
констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и
преобразований, допускаемые учащимися различных классов при выполнении
контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных
заведений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов.
Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о
том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и
тождественных преобразований в средней школе является следствием
формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.
Глава 1.
Тождественные преобразования и методика преподавания
в школьном курсе алгебры и начала анализа.
§1. Формирование навыков применения
конкретных видов преобразований.
Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на
этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она
используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу
своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных
преобразованиях, учитывающих особенности структуры преобразуемых
выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение
соответствующих видов преобразований начинается с введения формул
сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные
с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных
функций – показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических.
Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором
внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.
По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие
черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести
понятия тождественного и равносильного преобразований.
Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного
преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а
только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два
класса: тождественные преобразования – это преобразования выражений, и
равносильные – преобразования формул. В случае, когда возникает
потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется
выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного
преобразования. Соответствующий предикат при этом считается неизменным.
Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), то
основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппарата,
пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.
В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в
основных чертах уже сформированная, продолжает постепенно
совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды
преобразований, однако они только обогащают ее, расширяют ее
возможности, но не меняют ее структуру. Методика изучения этих новых
преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.
§2. Особенности организации системы заданий
при изучении тождественных преобразований.
Основной принцип организации любой системы заданий – предъявление их от
простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками
посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основной
принцип требует конкретизации применительно к особенностям данного
учебного материала. Для описания различных систем заданий в методике
математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений
характеризуется соединением в последовательности упражнений нескольких
аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к
тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано
следующим образом.
Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого
группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В
состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие
распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое
тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых
областях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются
связанные с ним обороты речи.
Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся
задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они
служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков,
объединенных одной темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое
тождество с различными приложениями. Эта группа не образует
композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным
темам.
Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков
применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе –
этапе синтеза циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы
заданий, образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы
исключаются наиболее простые по формулировкам или по сложности
выполнения задания. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых,
происходит слияние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу
чего повышается роль действий по распознаванию применимости того или
иного тождества.
Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для
элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых,
соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционального
материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и
изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения
тождественных преобразований.
Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область
чисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в
первую группу заданий циклов должны войти задания на установление связи
этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.
Приведем примеры таких заданий.
Пример 1. Вычислить:
Рядом с каждым выражением указано тождество, в циклах по которым могут
присутствовать предлагаемые задания. Цель таких заданий – в освоении
особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в
развитии навыков математической речи.
Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных
с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и
трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств,
входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно
проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение
его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.
Последовательность шагов при этом способе решения такова:
;
;
.
. Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих
к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к
алгебраическому уравнению.
.
Первый способ:
Второй способ:
Здесь видно, что при первом способе шаг а) сложнее, чем при втором.
Первым способом «труднее начать», хотя дальнейший ход решения
значительно проще. С другой стороны, у второго способа имеются
достоинства, состоящие в большей легкости, большей отработанности в
обучении сведения к алгебраическому уравнению.
Для школьного курса алгебры типичны задания, в которых переход к
алгебраическому уравнению осуществляется даже еще проще, чем в данном
примере. Основная нагрузка таких заданий относится к выделению шага в)
как самостоятельной части процесса решения, связанного с использованием
свойств изучаемой элементарной функции.
Пример 3. Решить уравнение:
.
. Для решения этих уравнений требуется знание лишь простейших фактов о
показательной функции: ее монотонность, область значений. Как и задание
предыдущего примера, уравнения а) и б) можно отнести к первой группе
цикла упражнений на решение квадратно-показательных уравнений.
Таким образом, приходим к классификации заданий в циклах, относящихся к
решению трансцендентных уравнений, включающих показательную функцию:
;
;
.
Аналогично можно классифицировать задания и для других элементарных
функций.
Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры и алгебры и
начал анализа, доказывается в них или, по крайней мере, поясняется. Эта
сторона изучения тождеств имеет большое значение для обоих курсов,
поскольку доказательные рассуждения в них с наибольшей четкостью и
строгостью проводятся именно по отношению к тождествам. За пределами
этого материала доказательства обычно менее полны, они не всегда
выделяются из состава применяемых средств обоснования.
В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств,
используются свойства арифметических операций.
Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразований
может быть, направлено на развитие логического мышления, если только от
учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и
тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что
достигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений и
тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности,
самоконтроля, творческой инициативы.
Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют
формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных
вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в
процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы
специальные тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и
преобразованиях.
. Цель упражнений всегда сообщается учащимся. В ходе выполнения
упражнения может возникнуть необходимость потребовать от учащихся
обоснований отдельных преобразований, действий или решения всей задачи,
даже если это не планировалось. Там, где возможны различные способы
решения задачи, желательно всегда ставить вопросы: «Каким способом
решалась задача?», «Кто решил задачу другим способом?»
:
@
B
D
F
H
l
p
?
?
O
O
??????x?p
†
?
?
O
O
ae
ae
cAeAEE
L
?
?
$
??
??
??????????указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и
полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения
при любых системах (наборах) значений переменных.
Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы
тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств
соответствующих действий.
– целые числа.
§3. Программа по математике.
В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематически
изучают показательную и логарифмическую функции и их свойства,
тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений и
их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств,
знакомятся с основными понятиями, утверждениями.
В XI классе на уроки алгебры уходит по 3 часа в неделю, всего получается
102 часа в год. На изучение показательной, логарифмической и степенной
функции по программе уходит 36 часов.
В программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов:
и натуральный логарифм. Производная степенной функции.
Основной целью раздела изучения показательной и логарифмической функции
является ознакомление учащихся с показательной, логарифмической и
степенной функцией; научить учащихся решать показательные и
логарифмические уравнения и неравенства.
-ой степени и степени с рациональным показателем являются обобщением
понятий квадратного корня и степени с целым показателем. Следует
обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и
степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми
обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми
показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств
степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие
степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной
основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при
введении показательной функции.
Изучение свойств показательной, логарифмической и степенной функции
построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций.
При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров.
Показательные и логарифмические неравенства решаются с опорой на
изученные свойства функций.
Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение
знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в
курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так
и при проведении обобщающего повторения.Глава 2.
Тождественные преобразования и вычисления
показательных и логарифмических выражений
§1. Обобщение понятия степени.
.
называют так же радикалом.
.
, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого
числа неотрицательна.
.
.
называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют
кубическим корнем.
-ой степени.
справедливы равенства:
.
Степень с рациональным показателем.
. Напомним свойства таких степеней.
.
.
.
При сформулированном определении степени с рациональным показателем
сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей
(разница заключается в том, что свойства верны только для положительных
оснований).
§2. Показательная функция.
.
Сформулируем основные свойства показательной функции.
действительных чисел.
всех положительных действительных чисел.
.
(рис. 1)
Рис. 1
Эти формулы называют основными свойствами степеней.
непрерывна на множестве действительных чисел.
§3. Логарифмическая функция.
.
) называют основным логарифмическим тождеством.
При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие
из свойств показательной функции:
выполнены равенства:
.
.
– положительное число, не равное 1.
.
Перечислим основные свойства логарифмической функции.
.
2. Область значений логарифмической функции – множество всех
действительных чисел.
).
(рис. 2)
Рис. 2
(рис. 3).
Рис. 3
Глава 3.
Тождественные преобразования показательных и
логарифмических выражений на практике.
Задание 1.
Вычислите:
;
;
;
;
.
Решение:
;
;
;
;
.
.
Задание 2.
Упростите выражения:
;
;
.
Решение:
;
;
.
Задание 3.
Найдите значение выражения:
;
;
;
.
Решение:
;
;
;
.
.
Задание 4.
выражение:
;
.
Решение:
;
.
.
Задание 5.
, если:
;
.
Решение:
;
.
.
Задание 6.
.
Решение:
.
.
Задание 7.
Решите уравнения:
;
;
.
Решение:
;
;
.
.
Заключение
В данной курсовой работе по теме «Тождественные преобразования
показательных и логарифмических выражений» мною было рассмотрено
введение данного материала в обучение в школьном курсе алгебры и начала
анализа.
Тема тождественных преобразований, в общем, является одной из часто
используемых в вычислениях и решении различных задач. Поэтому о
преобразованиях начинают говорить уже с начала средней школы при
изучении математики.
Рассмотрела методы формирования навыков у учеников при изучении данного
материала. Так же представила программу по математике изучения курса
показательной и логарифмической функции в курсе «Алгебры и начала
анализа».
В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию, с
использованием тождественных преобразований. Данные задания могут быть
использованы для проведения контрольных или самостоятельных работ
проверки знаний учащихся.
Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики
преподавания математики в средне образовательных учреждениях и может
быть использована как наглядное пособие для учителей школ, а так же для
студентов дневного и заочного отделений.
Список использованной литературы:
Алгебра и начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н. М.: Просвещение,
1991г.
Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика
5–11 кл. М.: Дрофа, 2002г.
И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике (решение
задач). Уч. пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991г.
В.А. Оганесян и др. Методика преподавания математики в средней школе:
Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-математического
факультета педагогических институтов. -2-е издание переработано и
дополнено.М.: Просвещение ,1980г.
Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней
школе. М.: Просвещение, 1985г.
Журнал “Математика в школе”.
PAGE
PAGE 2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
