Введение
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе
массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности.
Теория вероятности изучает данные закономерности.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории
вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр
(Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.).
Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба
Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии
название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием
накопленных ранее фактов.
Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу,
Гауссу, Пуассону и др.
Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева
(1821—1894) и его учеников А.А.Маркова(1856—1922) и А. М.Ляпунова
(1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной
математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь
русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А.
Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В
настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей
также принадлежит советским математикам.
Цель: Изучить материал на формулу полной вероятности.
Задачи:
Научиться решать задачи на данную формулу.
Найти и прочитать историческую справку о тех, кто вывел данную формулу.
Изучить историческую справку об истории возникновения предмета «Теория
вероятности и математическая статистика».
Ляпунов Александр Михайлович
Ляпунов Александр Михайлович [25.5(6.6).1857, Ярославль, – 3.11.1918,
Одесса], русский математик и механик, академик Петербургской АН (1901;
член-корреспондент 1900). Ученик П. Л. Чебышева. В 1880 окончил
Петербургский университет. С 1885 доцент, с 1892 профессор Харьковского
университета; с 1902 работал в Петербургской АН. Л. создал современную
строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем,
определяемых конечным числом параметров. С математической стороны этот
вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем
обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимого
переменного к бесконечности. Устойчивость определялась Л. по отношению к
возмущениям начальных данных движения. До работ Л. вопросы об
устойчивости обычно решались по первому приближению, то есть путём
отбрасывания всех нелинейных членов уравнений, причём не выяснялась
законность такой линеаризации уравнений движения. Выдающаяся заслуга Л.
— построение общего метода для решения задач об устойчивости; основной
труд — докторская диссертация Л. «Общая задача об устойчивости движения»
(1892). В этой работе даётся строгое определение основных понятий теории
устойчивости, указываются случаи, когда рассмотрение линейных уравнений
первого приближения даёт решение вопроса об устойчивости, и проводится
подробное исследование некоторых важных случаев, когда первое
приближение не даёт ответа на этот вопрос. Диссертация и последующие
работы Л. в рассматриваемой области содержат целый ряд фундаментальных
результатов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений как
линейных, так и нелинейных.
Большой цикл исследований Л. посвящен теории фигур равновесия
равномерно вращающейся жидкости, частицы которой взаимно притягиваются
по закону всемирного тяготения. До Л. были установлены для однородной
жидкости эллипсоидальные фигуры равновесия. Л. впервые доказал
существование фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости,
близких к эллипсоидальным. Он установил, что от некоторых
эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются близкие к ним
неэллипсоидальные фигуры равновесия однородной жидкости, а от других
эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются фигуры равновесия слабо
неоднородной жидкости. Л. разрешил также задачу, предложенную ему ещё в
начале его научной деятельности П. Л. Чебышевым, о возможности
ответвления от эллипсоидальной фигуры равновесия с наибольшей (возможной
для эллипсоидов) угловой скоростью неэллипсоидальных фигур равновесия.
Ответ получился отрицательным. Л. впервые строго доказал существование
близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной
жидкости при весьма общих предположениях об изменении плотности с
глубиной. Л. занимался также исследованием устойчивости, как
эллипсоидальных фигур, так и открытых им новых фигур для случая
однородной жидкости. Сама постановка вопроса об устойчивости для
сплошной среды (жидкость) до работ Л. была неясной. Он впервые строго
поставил вопрос и с помощью тонкого математического анализа провёл
исследование устойчивости фигур равновесия. В частности, он доказал
неустойчивость так называемых грушевидных фигур равновесия и тем самым
опроверг противоположное утверждение английского астронома Дж. Дарвина.
Цикл работ Л. по фигурам равновесия вращающейся жидкости и устойчивости
этих фигур занимает центральное место во всей теории фигур равновесия.
Небольшим по объёму, но весьма важным для дальнейшего развития науки
был цикл работ Л. по некоторым вопросам математической физики. Среди
работ цикла основное значение имеет его труд «О некоторых вопросах,
связанных с задачей Дирихле» (1898). Эта работа основана на исследовании
свойств потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределённых по
некоторой поверхности. Наиболее существенно исследование так называемого
потенциала двойного слоя (случай диполей). Далее Л. получил важные
результаты, касающиеся поведения производных решения задачи Дирихле (см.
Гармонические функции) при приближении к поверхности, на которой задано
граничное условие. На этой основе им впервые были доказаны симметрия
функции Грина для задачи Дирихле и формула, дающая решение задачи в виде
интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное
условие, на нормальную производную функции Грина. При всех этих условиях
Л. налагает на граничную поверхность некоторые ограничения; поверхности,
удовлетворяющие им, называются теперь поверхностями Л.
В теории вероятностей Л. предложил новый метод исследования (метод
«характеристических функций»), замечательный по своей общности и
плодотворности; обобщая исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова
(старшего), Л. доказал так называемую центральную предельную теорему
теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его
предшественники (см. Ляпунова теорема).
Ляпунова методы
Ляпунова методы, два основных метода исследования устойчивости движения,
предложенных А. М. Ляпуновым. По существу каждый из Л. м. охватывает
целую совокупность способов исследования, объединённых общей идеей.
Первый Л. м. основывается на отыскании и исследовании решений уравнений
так называемого возмущённого движения, то есть движения, которое по
каким-то причинам (например, вследствие случайного толчка) отличается от
рассматриваемого невозмущенного движения. Второй (или прямой) Л. м.
наиболее распространён и состоит в исследовании устойчивости движения с
помощью некоторых, специальным образом вводимых функций, называемых
функциями Ляпунова, (см. также Устойчивость движения).
Устойчивость движения
Устойчивость движения, одно из важнейших понятий механики. Движение
любой механической системы, например машины, гироскопического
устройства, самолёта, снаряда и т.п., зависит от действующих сил и т. н.
начальных условий, т. е. от положений и скоростей точек системы в момент
начала движения. Зная эти силы и начальные условия, можно теоретически
рассчитать, как будет двигаться система. Движение, соответствующее этому
расчёту, называется невозмущённым. Но поскольку все измерения
производятся с той или иной степенью точности, то на практике истинные
значения начальных условий будут обычно несколько отличаться от
расчётных. Кроме того, механическая система может во время движения
подвергнуться незначительным случайным воздействиям, не учтенным при
расчёте, что тоже эквивалентно изменению начальных условий. Возникающие
по разным причинам отклонения начальных условий от их расчётных
значений, называются начальными возмущениями, а движение, которое
система будет совершать при наличии этих возмущений, – возмущённым
движением.
точек, их скорости и т.п.) может быть двояким. Если при достаточно
малых начальных возмущениях каких-нибудь из характеристик во всё
последующее время мало отличается от того значения, которое она должна
иметь в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой
характеристике называется устойчивым. Если же при сколь угодно малых, но
не равных нулю начальных возмущениях данная характеристика со временем
будет всё более и более отличаться от значения, которое она должна иметь
в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой
характеристике называется неустойчивым. Эти определения соответствуют
определению У. д. по А. М. Ляпунову. Условия, при которых движение
механической системы является устойчивым, называются критериями
устойчивости.
В качестве примера рассмотрим гироскоп (волчок), ось которого
вертикальна и который вращается вокруг этой оси с угловой скоростью
(рис.). Теоретически ось гироскопа должна оставаться вертикальной при
любом значении (, но фактически, когда ( меньше некоторой величины (кр,
ось при любом малом возмущении (толчке) будет всё более отклоняться от
вертикали. Если же ( больше (кр, то малые возмущения практически
направление оси не изменят.
, где Р вес гироскопа, а расстояние от точки опоры О до центра тяжести
С, Ix и Iy – моменты инерции гироскопа относительно осей х и у
соответственно.
Теория У. д. имеет важное практическое значение для многих областей
техники, т.к. У. д. должны обладать различного рода двигатели,
автомобили, самолёты, ракеты, гироскопические приборы, системы
автоматического регулирования и др. В небесной механике проблема У. д.
возникает при изучении вопроса о длительности сохранения структуры
солнечной системы, двойных звёзд и др.
Ляпунова теорема
– дисперсия суммы Xi,…, Xn. Утверждается, что, если при некотором
(>0,
(условие Ляпунова), то вероятность неравенства
стремится при n к пределу
равномерно относительно всех значений x1 и x2. Ляпунов дал также оценку
скорости сходимости. В Ляпуновой теореме в дальнейшем были установлены
условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только
достаточными, но в некотором смысле необходимыми.
Байеса теорема
Бейеса теорема (в теории вероятностей), одна из основных теорем
элементарной теории вероятностей. Названа по имени установившего её
английского математика Т. Бейеса (Th. Bayes, 18 в.).
Пусть A1, A2,…, An — некоторые попарно несовместимые события, хотя бы
одно из которых обязательно наступает, и В — некоторое событие. Тогда,
согласно Байесавой теореме, условная вероятность Ак при условии, что
наступило В, может быть определена по формуле:
.
’
” h
a’
3(383?6¶6^8l8O8oe8¦9AE9I9i9o9iUiE?E?E?E?E?E?E?E?–?E??–?E?–?–?–?„r” h
aJ ” h
h
” h
h
” h
& h
( h
% h
” h
j h
j h
h
h
j h
j h
” h
” h
h
W†W?W?WeUA¬e?U?U?U?U?U?‡U?‡U?U?UwUwUeS” h
% h
” h
h
h
h
j h
h
h
j h
” h
” h
h
” h
& h
]-] ]F]H]J]L]N]?]¬]®]eN1/4¬?¬??¬x¬1/4¬`I1/45¬51/4′ h
h
h
” h
” h
h
j h
h
h
aJ ” h
” h
h
h
‘ h
j h
j# h
h
h
? потеряла своё значение.
Формула полной вероятности.
Пусть имеется группа событий H1, H2, …, Hn, обладающая следующими
свойствами:
Hj =(; i, j=1,2,…,n; i(j;
2) их объединение образует пространство элементарных исходов (:
.
Рис.8
В этом случае будем говорить, что H1, H2,…,Hn образуют полную группу
событий. Такие события иногда называют гипотезами.
Пусть А – некоторое событие: А ( ( (диаграмма Венна представлена на
рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:
(i = 1,2,…,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения
вероятностей получаем
) = P(A/Hi)P(Hi) (i = 1,2,…,n), то из последней формулы легко
получить приведенную выше формулу полной вероятности.
Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов,
причем доля первого завода – 30(, второго – 50(, третьего – 20(. Брак в
их продукции составляет соответственно 5(, 3( и 2(. Какова вероятность
того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.
Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на
первом заводе, H2 на втором, H3 – на третьем заводе. Очевидно:
P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.
Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась
бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбрана
бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия
задачи следует:
P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10
По формуле полной вероятности получаем
Формула Байеса
Пусть H1,H2,…,Hn – полная группа событий и А ( ( – некоторое событие.
Тогда по формуле для условной вероятности
(*)
Здесь P(Hk /A) – условная вероятность события (гипотезы) Hk или
вероятность того, что Hk реализуется при условии, что событие А
произошло.
По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно
представить в виде
= P(A /Hk) P(Hk)
Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу
полной вероятности
Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:
По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы Hk при
условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой
вероятности гипотез. Вероятность P(Hk) называют априорной вероятностью
гипотезы Hk, а вероятность P(Hk /A) – апостериорной вероятностью.
Пример. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только
изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом
магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта
лампа изготовлена на втором заводе. Величина P(H2) = 0,5 в данном случае
это априорная вероятность события, состоящего в том, что купленная лампа
изготовлена на втором заводе. Получив информацию о том, что купленная
лампа бракованная, мы можем поправить нашу оценку возможности
изготовления этой лампы на втором заводе, вычислив апостериорную
вероятность этого события.
Выпишем формулу Байеса для этого случая
Из этой формулы получаем: P(H2 /A) = 15/34. Как видно, полученная
информация привела к тому, что вероятность интересующего нас события
оказывается ниже априорной вероятности.
Задачи
Пример 1.
В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных.
При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После
того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти
вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.
.
= 3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности:
Р(А) = (5/33)((7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330
Пример 2.
В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после того, как из первой
урны во вторую перекатились два шара и шары во второй урне перемешались,
из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны
во вторую перекатились разноцветные шары.
Вычисления предыдущей задачи подставим в формулу Байеса
Р(Н3/А) = Р(А/Н3)Р(Н3)/ Р(А) = (3/22)(7/15)/( 47/33) = 7/47
Пример 3.
В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для
игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для
второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность
того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.
Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет
проводиться новыми мячами. Пусть гипотеза Н1 состоит в том, что для
первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза Н2 состоит в том, что
для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н3 состоит
в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим
вероятности гипотез:
.
Теперь вычислим условные вероятности события А.
.
Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности
Пример 4.
Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть
как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на
70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и
единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то
какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?
Пусть событие В0 состоит в том, что отправлен сигнал “0”, а событие
В1 – в том, что отправлен сигнал “1”. Пусть событие А0 состоит в том,
что принят сигнал “0”, с событие А1 – в том, что принят сигнал “1”. Нас
интересует Р(В0/А1). По условию
Р(В0) = 0,7 Р(В1) = 0,3
Р(А0/ В0) = 0,8 Р(А1/ В0) = 0,2
Р(А1/В0) = 0,8 Р(А0/В 1) = 0,2
По формуле Байеса получаем
Р(В0/А1) = 0,2(0,7/(0,2(0,7+0,8(03) = 0,37. Пример 5.
Бригада, работающая в дневную смену, производит изделий в два раза
больше, чем бригада, работающая в ночную смену. Отсюда следует, что если
выбрать случайным образом изделие, произведённое в цеху, то с
вероятностью 2/3 ( 0,66 оно произведено бригадой, работающей днём. Это
априорная вероятность. Известно, что бригада, работающая днём,
производит 3% некондиционных изделий, а бригада, работающая ночью, – 7%
некондиционных изделий. Пусть случайным образом отобранное изделие
оказалось некондиционным. Тогда по формуле Байеса можно вычислить
апостериорную вероятность того, что это изделие произведено дневной
бригадой
P(Н1/А) = (3/100)(2/3)/((3/100)(2/3) + (7/100)(1/3)) ( 0,632
Как видно, апостериорная вероятность интересующего нас события здесь
несколько ниже априорной вероятности.
Пример 6.
В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на
четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с
3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка
прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30,
для 3-го — 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина
лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная
лампочка прогорит более 1500 часов?
Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что лампочка прогорит более
1500 часов, а Н1, Н2, Н3 и Н4 — гипотезы, что она изготовлена
соответственно 1, 2, 3 или 4-м заводом. Так как всего лампочек 2000 шт.,
то вероятности гипотез соответственно равны
Далее, из условия задачи следует, что
Используя формулу полной вероятности (11), имеем
Пример 7.
На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м
заводе, 460—на 2-м и 340 – на 3-м. Вероятность того, что подшипник
окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го — 0,02, для
3-го — 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова
вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?
– гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом.
Вероятности указанных гипотез составляют
Из условия задачи следует, что
, т. е. вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным,
изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем
Таким образом, вероятность гипотезы, что подшипник изготовлен 1-м
заводом, изменилась после того, как стало известно, что он нестандартен.
Пример 8.
Пусть имеем три урны с шарами. В первой урне 7 белых и 3 черных
шара. Во второй урне 7 белых и 7 черных шаров. В третьей урне 3 белых и
7 черных шаров. Наугад выбрали одну урну. Из этой урны наугад вынули
шар. Какова вероятность, что вынули белый шар?
Решение:
Пусть событие А – вынули белый шар, событие Ei – вынули шар из i-той
урны, i=1,2,3. Вероятности P(Ei) полагаем равными, т.е.
Р(Ei)=1/3.
Вероятность Р(A|E1)=7/10, вероятность Р(А|E2)=7/14=1/2,
вероятность Р(А|E3)=3/10. Таким образом, по формуле полной вероятности
(4.3) имеем
Р(А)=Р(A|E1)·Р(E1)+Р(A|E2)·Р(E2)+Р(A|E3)·Р(E3)=
=(1/3)·(7/10+5/10+3/10)=(1/3)·15/10=1/2
Ответ: Вероятность вынуть белый шар равна Ѕ.
Пример 9.
Пусть имеем те же урны с теми же наборами шаров, как и в задаче. Снова
из выбранной наугад урны выбрали наугад шар. Оказалось, что вынули
черный шар. Какова вероятность, что его вынули из третьей урны?
Решение:
Пусть В – событие, состоящее в том, что вынули черный шар. События Ei те
же, что и в решении задачи (5.1). Интересующая нас вероятность есть
условная вероятность Р(E3|B). По формуле Бейеса (4.5) имеем
Р(Е3|B)=P(B|E3)·P(E3)/(P(B|E1)·P(E1)+P(B|E2)·P(E2)+P(B|E3)·P(E3)) (6.1)
У нас: Р(Ei)=1/3, i=1,2,3, P(B|E1)=3/10, P(B|E2)=1/2, P(B|E3)=7/10.
Таким образом, получаем
Р(Е3|B)=(7/10)·(1/3)/((1/3)·(7/10+5/10+3/10))=(7/10)/(15/10)=7/15 (6.2)
Ответ: Вероятность того, что вынули шар из третьей урны, при условии,
что шар оказался черным равна 7/15.
Список литературы:
HYPERLINK “http://www.4students.ru” http://www.4students.ru
HYPERLINK “http://www.5ballov.ru” http://www.5ballov.ru
HYPERLINK “http://www.referats.ru” http://www.referats.ru
HYPERLINK “http://www.5ka.ru” http://www.5ka.ru
HYPERLINK “http://www.zakroma.narod.ru” http://www.zakroma.narod.ru
Устойчивость движения. Рис.
Рис. Волчок
Рис. Гироскоп
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
