Содержание работы:
Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
Применение теоремы Штольца:
;
;
;
.
Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения
последовательностей.
Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы
Штольца.
часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
:
.
найдется такой номер N, что для n>N будет
или
.
, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей,
а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
.
Напишем теперь тождество:
,
откуда
.
, что и доказывает наше утверждение.
Примеры:
, что и требовалось доказать.
При а>1
Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного
предложения:
имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и
варианта
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
Имеем:
,
Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
,
.
Полагая в теореме Штольца
xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,
будем иметь
.
Но
(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,
так что
nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…
и
.
Определим предел варианты
,
:
.
Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще
раз ту же теорему. Получим
.
,
,
так что, окончательно,
.
Пример:
.
Пример:
=
=
=
=
=
=
.
Пример:
.
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к.
последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно
обобщить для функций.
Теорема.
, причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция
возрастающая.
,
если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
.
или
.
ни взять, все дроби
.
Напишем тождество(которое легко проверить):
,
Откуда
.
, что и доказывает теорему.
Примеры:
Найти следующие пределы:
=2
=0
Литература:
“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией
Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления”
Физматгиз 1962г. Москва.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter