.

Теорема Штольца

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
105 1077
Скачать документ

Содержание работы:

Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

Применение теоремы Штольца:

;

;

;

.

Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения
последовательностей.

Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы
Штольца.

часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

:

.

найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей,
а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

Напишем теперь тождество:

,

откуда

.

, что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

, что и требовалось доказать.

При а>1

Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного
предложения:

имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и
варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn=a1+a2+…+an, yn=n,

Имеем:

,

Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

,

.

Полагая в теореме Штольца

xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,

будем иметь

.

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,

так что

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…

и

.

Определим предел варианты

,

:

.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще
раз ту же теорему. Получим

.

,

,

так что, окончательно,

.

Пример:

.

Пример:

=

=

=

=

=

=

.

Пример:

.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к.
последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно
обобщить для функций.

Теорема.

, причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция
возрастающая.

,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

или

.

ни взять, все дроби

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

Откуда

.

, что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

=2

=0

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией
Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления”
Физматгиз 1962г. Москва.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020