.

Структура аффинного пространства над телом

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 428
Скачать документ

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1 SEQ MTEqn \r \h
\* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT Структура
аффинного пространства над телом

Введение

Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся
сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного
пространства. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы
возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более
того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие
группы на некотором множестве.

Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем

– ее нейтральный элемент.

удовлетворяет условиям

. (1)

удовлетворяет условиям

. (1/)

).

.

.

Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на
множестве понимается как действие слева.

оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же
группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными
способами.

всегда единственный.

.

.

.

.

.

.

; фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит.

Однородные пространства

.

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

.

является однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи
биекции) к пространству такого вида.

.

– биекция.

Специальный случай

.

, при произвольном выборе нейтрального элемента.

Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.

2.Аффинные пространства

.

Это действие записывается обычно в виде

.

.

; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных
определения, не опирающихся на понятие действия группы.

, таких, что

;

.

, таким, что

биективно;

из ? выполнено соотношение Шаля

.

.

. Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.

.

; множество ? с этой структурой будет обозначаться ?A.

.

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести
все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем
выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но
больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора
начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ?.
Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры
с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

.

, ассоциированную с нулевым векторным пространством.

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными
подпространствами в ?.

; сформулируем

, суть векторные подпространства векторного пространства ?A.

.

Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно
следующему элементарному определению:

.

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

.

.

.

: ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к
следующему равносильному определению:

– отношение эквивалентности, определяемое на ? с помощью

;

.

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ?, но нам
кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу
изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

и

.

.

).

Размерность линейного аффинного многообразия

суть точки ?.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство
которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

.

.

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же
обозначениях имеет место

, и тогда

.

.

не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а
также

имеют единственную общую точку.

Параллелизм

.

.

).

пространства ?

и обладающее следующим свойством:

.

.

”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!

, то получим также

.

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное
доказательству предложения 3.2.

и, следовательно, совпадает с

.

Отсюда вытекает

) образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

.

, удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех
условий a), b), c):

,

,

.

.

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения
Шаля.

Свойства. a) Однородность (слева).

имеем

b) Ассоциативность.

.

, то

.

Доказательства получаются непосредственно

равна 1. В этом и только в этом случае можно положить

.

равносильно каждому из следующих утверждений:

, (1)

, (2)

так как (2) влечет за собой (1).

.

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за
некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар
точек.

.

, такое, что

.

.

.

элементов.

барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

.

.

, удовлетворяющие соотношению вида

,
(3)

; это соотношение также записывается в виде

;

.

единственным образом представляется в виде

.

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее,
называется аффинным репером.

.) Отсюда вытекает

не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ?.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

точками.

не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

.

Характеризация аффинных подпространств

.

была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

;

.

.

.

.

.

Рис. 1

, откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

.

полулинейно (соответственно линейно).

.

,

что и доказывает требуемое.

.

.

, сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных)
отображений ?А в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см.
ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения
полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной)
частью и образом одной точки.

– постоянный элемент.

полуаффинно, то

.

есть ЛАМ в ? или пустое множество.

.

Применение аффинных реперов

.

.

.

определяется равенством

.

определяется заданием образа аффинного репера из ?.

Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

. Тогда

.

.

, линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы

;

образ эквибарицентра любых трех точек ? был эквибарицентром их
образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

имеем

.

.

,

откуда

.

является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую
аффинную прямую в ? аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных
отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

.

откуда вытекает первое утверждение.

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Отсюда выводится

.

).

.

.

, образованная трансляциями.

, образованная трансляциям и центральными симметриями.

, называемая группой дилатаций.

Сформулируем

.

.

Проектирования

Рис. 2

. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их
геометрическая характеризация:

(рис. 2).

Аффинные симметрии

.

Такое отображение называется аффинной симметрией.

(см.рис.2)

.

Теорема Фалеса

(см. рис. 3).

В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация
того факта, что установленное

Рис.3

является аффинным.

векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой
фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не
параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное.
Приложения.

Предварительно сформулируем такое утверждение:

по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева
на скаляры:

. Тогда

.

постоянна.

выполнено соотношение

, (1)

.

, можно канонически присоединить:

,

,

.

.

, но это связано с утомительными выкладками.

.

.

. Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить
многие вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

).

.

такие, что

(1)

и возможностью складывать подобные соотношения.

.

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от
теории векторных продолжений

).

.

.

Доказательство.

.

, и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум
условиям:

,

.

.

, это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция
ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).

Рис.4

.

Т.о. мы можем сформулировать

).

Случай конечной размерности.

(рис 4).

имеет вид

, (2)

имеет форму

(3)

. Таким образом, получается

.

.

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

. Для ясности начнем со случая инъективных отображений.

было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло
следующим двум условиям:

;

Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство

удовлетворяет условиям 1) и 2).

суть также две различные прямые.

.

.

. Если

тоже настоящий параллелограмм, откуда

. Применяя предыдущий случай, имеем

.

.

инъективно и удовлетворяет условию

. (1)

.

, такое, что

. (2)

(по предположению ненулевого).

, совпадали бы, что невозможно в силу А).

имеем

,

.

свободны. Отсюда находим, что

.

.

является изоморфизмом тел.

)

,

– гомоморфизм тел.

биективно.

Случай плоскости.

. Мы можем, таким образом, сформулировать

полуаффинное отображение.

дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных
многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую
теорему:

было полуаффинным, достаточно, чтобы

, либо сводился к одной точке.

.

удовлетворяет условиям 1) и 2).

.

.

. (1)

. Отсюда следует включение

.

.

.

.

.

, получим с помощью леммы 3, что

и аналогично

,

.

не имеют общих точек.

имеет размерность 2.

– прямая.

– две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е.
параллельные.

также сводится к точке.

– ЛАМ с общим направлением.

.

.

является аффинной.

.(см. §2).

полуаффинно.

покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

.

.

.

.

на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или
точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны»,
даже при условии, что биективно.

не изоморфны).

.

является аффинной.

.(см. §2).

полуаффинно.

покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

.

.

.

.

на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или
точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны»,
даже при условии, что биективно.

не изоморфны).

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019