7вопрос Относительные величины
Статистика широко применяет относительные величины, потребность в
которых возникает на стадии обобщения. Они помогают установить
закономерности, в них заключен «молчаливый вывод»; являются
самостоятельными статистическими показателями и имеют самостоятельную
широкую сферу применения, например, уровень рождаемости, естественного
прироста населения, рентабельность и т.д.
Относительная величина – это статический показатель, полученный путем
сопоставления двух других величин (абсолютных, средних и других
относительных).
При пользовании относительными величинами следует применять достаточное
для целей исследования число значащих цифр. Поэтому существуют различные
способы выражения относительных величин. Если сравниваемая величина
больше базы y1 > y0, то удобно пользоваться коэффициентом К = у1/у0.
Если между уровнями у1 и у0 различия абсолютных величин невелики, то
удобно применять децили и проценты: ? = 10 (у1/у0); Т = 100 (у1/у0).
Если уровень у1 значительно меньше базы, то удобно применять
промилле и продецимилле: П = 1000 (у1/у0); П? = 10000 (у1/у0).
Например, рост цен может быть измерен и коэффициентом, и процентом (рост
в 2,1 раза или 103,15%), рождаемость и естественный прирост определяют
на 1000 чел. населения и т.д.
2.2. Виды относительных величин
В зависимости от характера сравниваемых абсолютных величин можно
выделить два типа относительных величин. Если сравниваются две
абсолютные величины, имеющие одинаковые единицы измерения, то
относительная величина показывает «отношение» и является безразмерной.
Если сравниваются две абсолютные величины, у которых единицы измерения
не совпадают, то относительные величины имеют размерность.
Относительная величина структуры определяется как отношение числа единиц
f или значения признака у изучаемой части к общему числу ?f: W = f / ?f;
Относительная величина координации показывает отношение численности
единиц одной части совокупности к численности единиц другой.
Изменение уровня изучается во времени относительной величиной
динамики. Например, уровень показателя 1999 г. (у1) сравнивается с
уровнем того же показателя по тому же объекту 1990 г. (у0): К1 = у1/у0.
Прогнозируемый уровень сравнивается с существующим – относительная
величина прогноза: Кпр = упр/у0.
Изменение уровня изучается по сравнению с предварительным прогнозом
(нормой, планом) – относительная величина выполнения прогноза: Кв. пр. =
у1/упр.
Относительная величина интенсивности представляет собой сравнение двух
разных статических показателей, которые имеют размерность. К таким
показателям относится плотность населения, автомобильных дорог и т.д.
Относительными величинами также являются индексы: биржевые, социальные,
сезонности и т.д.
iр = р1/р0; iq = q1/q0; iz = z1/z0 и т.д.
Тема 3. Средние величины и показатели вариации
3.1. Сущность и значение средних величин
Средняя величина отражает типичные размеры признака, характеризует
качественные особенности явлений в количественном выражении.
Средние характеризуют одной величиной значение изучаемого признака для
всех единиц качественно однородной совокупности.
К. Маркс отметил: «Средняя величина – всегда средняя многих различных
индивидуальных величин одного и того же вида».
Средняя величина – величина абстрактная, потому что характеризует
значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры
совокупности.
Понятие степенной средней, формула расчета, виды средних величин и
область их применения, правило мажорантности средних
В зависимости от показателя степени К средняя может быть гармонической
(К = -1), арифметической (К = 1), геометрической (К = 0), квадратической
(К = 2), кубической (К = 3), биквадратической (К = 4). Каждая средняя
обладает определенными свойствами и имеет свою сферу применения.
Если К = 1, то средняя является арифметической:
где n – число наблюдений.
где f – частота повторения признака (статический вес).
где ?W – суммарное значение признака.
Если К = 0, то средняя является геометрической. Эта величина, полученная
как корень m-й степени из произведения значений признака:
Взвешенная –
Если К = 2, то средняя является квадратичной:
и т.д.
Правило называется мажорантности степенных средних.
3.3. Свойства средней арифметической
Средняя величина арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих
ускорить расчет.
Она не изменяется, если веса всех вариантов умножить или разделить на
одно и то же число.
Если все значения признака одинаковые, то средняя равна этой же
величине.
Средние суммы или разности равны сумме или разности средней:
Если из всех значений Х вычесть постоянную величину С, то средняя
уменьшается на это значение.
Если все значения уменьшить в d раз (Х/d), то средняя уменьшится в d
раз.
Сумма отклонений значения признака равна 0.
3.4. Расчет моды и медианы
Модой (М0) называется чаще всего встречающийся вариант или то значение
признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой
распределения.
В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В
интервальном вариационном ряду мода приближенно равна центральному
варианту так называемого модального интервала.
где хМ0 – нижняя граница модального интервала;
iM0 – величина модального интервала;
fM0 – частота, соответствующего модального интервала;
fM0-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;
fM0+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Медиана (Ме) – это величина, которая делит численность упорядоченного
вариационного ряда на 2 равные части: одна часть значения варьирующая
признака меньшие, чем средний вариант, а другая часть – большие. Для
ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта,
расположенная в центре ряда, а с четным числом членов медианой будет
средняя арифметическая из двух смежных вариант.
В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий:
располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для
данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных
частотах находим медианный интервал.
Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где
накопительная частота составляет половину или больше половины всей суммы
частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности
совокупности.
Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или
убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула
медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:
где хме – нижняя граница медианного интервала;
ime – величина медианного интервала;
?f/2 – полусумма частот ряда;
?fmе-1 – сумма накопительных частот, предшествующих медианному
интервалу;
fmе – частота медианного интервала.
Квартили – это значения признака, которые делят ряд на 4 равные части.
Различают нижний квартиль Q1, медиану Ме и верхний квартиль Q3.
где xmin – минимальные границы квартильных интервалов;
i – интервал ряда распределения
?fQf-1; ?fQ3-1 – суммы частот всех интервалов, предшествующих
квартильным;
fQ1; fQ3 – частоты квартильных интервалов
Децили (D) – варианты, которые делят ранжированный ряд на 10 равных
частей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам:
где xmin – минимальные границы децильных интервалов;
i – интервал ряда распределения
?fОf-1; ?fО2-1 – суммы частот всех интервалов, предшествующих
децильным;
fD1; fD3 – частоты децильных интервалов
3.5. Понятие вариации признака, показатели вариации, дисперсия
альтернативного признака. Упрощенный способ расчета дисперсии.
Виды дисперсий в совокупности, разбитой на группы, правило
сложения дисперсий
Способность признака принимать различные значения называют вариацией
признака. Для измерения вариации признака используют различные
обобщающие показатели – абсолютные и относительные.
Размах вариации – это разность максимального и минимального значений
признака: R = хmax – хmin.
Среднее линейное отклонение – это средняя из абсолютных значений
отклонений признака от своей средней:
Средняя из квадратов отклонений значений признака от своей средней, т.е.
дисперсия:
Дисперсия есть разность среднего квадрата и квадрата средней
– простая
– взвешенная
, то моменты – центральными; если А = С, то моменты – условными.
В зависимости от показателя степени К, в которую возведены отклонения (х
– А)к, моменты называются моментами 1-го, 2-го и т.д. порядков.
Расчет дисперсии методом условных моментов состоит в следующем:
Выбор условного нуля С;
Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по данным о дисперсии (
= ((2
Относительные величины вариации
Виды дисперсий и правило сложения дисперсий
– общая средняя всей совокупности
– средняя по отдельным группам
Дисперсия альтернативного признака.
Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком и доли единиц,
не обладающих им
Тема 4. Ряды динамики
4.1. Понятие о рядах динамики, виды рядов динамики
Ряды динамики – это последовательность упорядоченных во времени числовых
показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.
Ряды динамики бывают:
В зависимости от времени – моментные и интервальные ряды.
От формы представления уровней – ряды абсолютных, относительных и
средних величин.
От расстояния между датами – полные и неполные хронологические ряды.
От числа показателей – изолированные и комплексные ряды.
4.2.Производные показатели рядов динамики
Показатели Базисный Цепной
Абсолютный прирост уi – у0 уi – уi-1
Коэффициент роста (Кр) уi : у0 уi : уi-1
Темп роста (Тр) (уi : у0) · 100 (уi : уi-1) · 100
Коэффициент прироста (Кпр) Кр – 1; уi – у0
у0
?баз : у0 Кр – 1; уi – уi-1
уi-1
?цеп : уi-1
4.3. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста
Темп прироста (Тпр) Кпр · 100 : Тр – 100 Кпр · 100 : Тр – 100
Абсолютное значение 1-го процентного прироста (1%А) у0 : 100 уi-1 : 100;
? : Тпр
уi – уi-1
Тр – 100
Соотношения: у2/у1 · у3/у2 · у4/у3 · у5/у4 = у5/у1 у4/у1
: у3/у1 = у4/у3
4.4. Средние показатели ряда динамики
4.5. Измерение сезонности явлений.
Индексы сезонности. Построение сезонной волны
Метод простых средних:
4.6. Выравнивание рядов динамики
Выравнивание рядов динамики производят одним из способов:
а) Механическое выравнивание состоит в укрупнении интервала времени и
расчете средней хронологической
где a0 и а1 – это параметры уравнения, которые рассчитываются на
– это условное время принятое от какой-то базы.
а0, а1, а2 -параметры, определяемые с помощью системы
уравнений:
если ?t = 0, то ?t3 = 0
Это уравнения прямой для логарифмов уравнений, поэтому выравнивание
осуществляется аналогично прямой, но предварительно определяются
логарифмы
При выборе модели можно руководствоваться правилами
, если абсолютные приросты колеблются около постоянной величины, то
можно использовать модель прямой линии
?y = уi – уi-1; а0 – база; а1t – прирост.
, если приросты приростов, т.е. ускорение колеблется около постоянной
величины, то можно использовать параболу 2-го порядка: а0 – база; а1t
– прирост; а2t2 – ускорение (?у2 – ?у1)
– ср. коэффициент роста, если ежегодные темпы роста примерно постоянны,
то можно использовать модель показательной функции.
6. Индексы
6.1. Понятие индекса, индивидуальные и общие индексы, различие
между ними
Индекс – это относительная величина сравнения сложных совокупностей и
отдельных их единиц, которая показывает изменение изучаемого явления:
Бывают индексы общими и индивидуальными.
1. Общий индекс цен в агрегатной форме:
– индекс Ласпейреса
2. Индексы как средние величины:
Индекс цен переменного и постоянного состава
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
