Способы решения систем линейных уравнений

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

Анжеро-Судженск

2004г.

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

Реферат по математике

Выполнила:

Ученица 92 класса

Бойко Юлия

Научный

Руководитель:

Клокова
Татьяна

Васильевна.

Анжеро-Судженск

2004г.

Содержание:

Введение.
2

Глава I. Матрицы и действия над ними.
5

1.1. Основные понятия.
–

1.2. Действия над матрицами.
8

1.3. Обратная матрица.
11

1.4. Ранг матрицы.
16

Глава II. Системы линейных уравнений.
23

2.1. Основные понятия.
–

2.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
Правило

Крамера.
24

2.3. Однородная система n линейных уравнений с n

неизвестными.
28

2.4. Метод Гаусса решения общей системы линейных

уравнений.
30

2.5. Критерий совместности общей системы линейных

уравнений.
37

Заключение.
45

Список литературы.
46

-1-

Введение.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному
уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.
Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m
уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a11x1 + … + a1n xn = b1 ;

a21x1 + … + a2n xn = b2 ;

………………………………

am1x1+ … + amnxn = bm .

Здесь x1, … , xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы
при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение
систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На
практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими
степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими
величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что
решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при
численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693)
обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений
наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и
показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так
называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных
уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметом
самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не
исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений.
Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми
математическими объектами, является одним из разделов математики,
формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной
алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства
операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции.
Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория

-2-

векторных пространств и модулей, частью которых являются
сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория
матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах
математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа
являются бесконечномерные векторные пространства.

Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой
системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название
правила Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных
уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа
линейных уравнений может встретить различные трудности, так как
нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими
вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого)
решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых
является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно
единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже
бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также
оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения
(несовместная система). Вопрос о совместности системы линейных
уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных
уравнений, решается сравнением ранга матриц [аij] и [aij, bj ]. Если
ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше
ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера-Капелли).

Несколько уравнений вида a1x1 + …+ anxn= b образуют систему линейных
уравнений

aj1x1 + …+ ajnxn = bj , j = 1, …, m,

которую можно записать как

x1a1 + …+ xnan = b,

где а1, …, аn, b m-мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной
матрицы В системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в
функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения,
линейные интегральные уравнения

-3-

являются бесконечномерными аналогами обычных систем линейных уравнений.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная
тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном
курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к
исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц
и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не
изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки,
с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет
намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы
решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для
достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи.
Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам
матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное
состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый
материал; а также провести практическую часть работы.

-4-

Глава I. Матрицы и действия над ними.

Основные понятия.

Матрица размерами m * n – совокупность mn чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А)

2 5 2

А= 3 10 7 – матрица.

6 -3 -4

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В
общем виде матрицы:

а11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

M = a31 a32 … a3n

…………………

am1 am2 … amn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер
строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или
столбцов) – её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются
матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [aij] и В = [bij]
одинакового типа называются равными, если aij = bij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется
матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы
аij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов,
составляют главную диагональ, а элементы квадратной

-5-

матрицы порядка n,сумма индексов каждого из которых равна n+1, –

побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом
матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной
диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

1 0 … 0

Е = 0 1 … 0

………………

0 0 … 1

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной
диагонали, равны нулю, называется треугольной:

a11 а12 … а1n b11
0 … 0

А = 0 а22 … а2n ; B = b21 b22
… 0

……………… ………………

0 0 … ann bn1
bn2 … bnn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной.
Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк
соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким
образом, если

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n ;

…………………

an1 an2 … ann

то

a11 a21 … an1

AT = a12 a22 … an2 .

………………

a1n a2n … ann

Определитель n-го порядка матрицы

-6-

а11 а12 … а1n

А = а21 а22 … а2n

…………….…

аn1 а n2 … аnn

есть число

а11 а12 … а1n

? = а21 а22 … а2n = ? (-1)I(k , k , …, k )
a1k a2k … ank

……………… (k1, k2, …, kn)

аn1 аn2 … аnn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки
индексов элементов аij, т.е. на всевозможные перестановки (k1, k2, …,
kn). Числа аij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется
невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной.

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из

нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно
вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки
определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается
на это число.

Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух
слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все
строки, кроме i-й, те же, что и у данного определителя; i-я строка
определителя состоит из первых слагаемых элементов i-й строки данного
определителя, а i-я

строка другого – из вторых слагаемых элементов i-й строки.

-7-

Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить
соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

1.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение,
вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные
операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей
весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же
размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А
и В. Таким образом, если

а11 … а1n b11 … b1n

А = ………….. ; (1) В = …………… , то
(2)

am1 … аmn bm1 … bmn

a11+ b11 … a1n + b1n

A + B = ………………………

am1+ bm1 … amn + bmn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и
распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a11 – b11 … a1n – b1n

A – B = ………………………

am1 – bm1 … amn – bmn

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц.
Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет
следующим свойствам:

-8-

А + В = В + А; (коммутативность)

А + (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность)

А + О = А.

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая
матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [аij] на число ? называется матрица, элементы
которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их
на число ?. Произведение обозначим

?А. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

a11 … a1n ?a11 … ?a1n

A = ………… , то ?A = ………………

am1 … amn ?am1 … ?amn

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением
матрицы на число. Матрица –А = –1А называется противоположной матрице А.
Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число
удовлетворяет следующим свойствам:

1А = А;

(? + ?)А = ?А + ??;

?(А + В) = ??+ ?В;

4) ?( ?А) = (??)А;

5) А + (-А) = О.

Здесь А, В – произвольные матрицы; ?, ? – произвольные числа; О –
нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае,
когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Пусть
матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк
матрицы В:

а11 … а1n b11
… b 1n

A = …………… ; B = ………………

am1 … amn bm1 … bmn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В, которые

-9-

заданы в определенном порядке (А – 1ая, В – 2ая), является матрица С,
элемент которой сij определяется по следующему правилу:

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj = ? n ? = 1 ai?b?j,

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента сij матрицы произведения С = АВ нужно элементы
i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца
матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

1 2 3 7 8

А = ; В = 9 10 , то
(1)

4 5 6 11 12

1 7 + 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ = =
(2)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов
– числу столбцов матрицы В.

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением
матриц. Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ? ВА. Убедимся в примере матриц (1). Перемножив их в обратном
порядке, получим:

39 54 69

ВА = 49 68 87
(3)

59 82 105

Сравнив правые части выражений (2) и (3), убедимся, что АВ ? ВА.

Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются перестановочными.
Например:

1 2 -3 2

А = ; В =
перестановочны, т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

АВ = ВА=

-4

-10-

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим
свойствам:

А(ВС) = (АВ)С; (ассоциативность)

?(АВ) = (?А)В = А(?В);

А(В + С) = АВ + АС. (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц
размеров; ? – произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай,
когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в
остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А
и В – квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда
выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

1.3.Обратная матрица.

Пусть дана квадратная матрица

a11 … a1n

A = …………… ,

am1 … amn

= A – её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная
матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А, а
сама матрица А – обратимой. Обратная матрица для А обозначается А-1.

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна
обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х
существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую
обозначим за Х1. Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ1
= Е. Умножив второе равенство на матрицу Х, получим ХАХ1 = ХЕ =Х. Но,
т.к. ХА = Е, то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ1 = Х или Х
= Х1.

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Найдем теперь выражение для матрицы А-1 при условии, что матрица

-11-

А – обратимая. Пусть дана обратимая квадратная матрица А с элементами
аij. Обозначим через Аij алгебраическое дополнение элемента аij в
определителе ? матрицы А и составим матрицу В:

А11 A21 … An1

B = ……………………
(4)

A1n A2n … Ann

Заметим, что в i-й строке матрицы В расположены алгебраические
дополнения элементов j-го столбца определителя ?. Матрица (4) называется
присоединённой для матрицы А. Докажем, что матрицы А и В удовлетворяют
матричному равенству

АВ = ВА = ?Е.
(5)

Для этого вычислим элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце
произведения АВ. Искомый элемент равен сумме произведений элементов i-й
строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn.
(6)

Согласно правилу разложения определителя по элементам строки (или
столбца) выражение (6) равно определителю ? при i = j и нулю при i ? j.
Следовательно, мы установили, что произведение АВ есть матрица вида

? 0 … 0 1 0 … 0

0 ? … 0 = ? 0 1 … 0

…………… ……………

0 0 … ? 0 0 … 1

Таким образом, АВ = ?Е. Аналогично доказывается и равенство

ВА = ?Е.

Пусть теперь А – невырожденная матрица (т.е. ? ? 0). Тогда, умножив обе
части равенства (5) на числовой множитель 1/? , получим

(7)

Сравнивая равенства (5) и (7) и учитывая единственность обратной

-12-

матрицы, замечаем, что

Таким образом, доказано, что, во-первых, обратимы только невырожденные
матрицы, и, во-вторых, для матрицы А обратной является матрица

Пусть А невырожденная матрица, тогда АА-1 = Е. Переходя в этом равенстве
к определителям, получаем А А-1 = 1, откуда

А-1 = А -1.

Таким образом, определитель обратной матрицы равен обратной величине
определителя данной матрицы. Из этого следует, что если матрица А –
невырожденная, то обратная матрица А-1 также невырожденная.

Пусть теперь дана матрица А-1. Для неё обратной будет матрица

(А-1)-1.Поэтому из определения обратной матрицы будем иметь

А-1(А-1) -1 = Е. Умножив это соотношение слева на А, получим

АА-1(А-1) -1 = АЕ или (А-1) -1 = А.

-13-

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице

1 2 3

А = –3 –1 1 .

2 1 –1

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли
она невырожденной:

1 2 3 1 2 5

?А = –3 –1 1 = –3 –1 0 = 5 –3 1 = 5 (–3 + 2) = –5
? 0.

2 1 –1 2 1 0 2 1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

А11 = –1 1 = 0; А12 = – –3 1 = –1;

1 –1 2
–1

А13 = –3 –1 = –1; А21 = – 2 3 = 5;

2 1 1 –1

А22 = 1 3 = –7; А23 = – 1 2
= 3;

2 –1
2 1

А31 = 2 3 = 5; А32 = 1 3
= –10;

–1 1
–3 1

А33 = 1 2 = 5.

–3 –1

Составим присоединённую матрицу для матрицы А:

0 5 5

–1 –7 –10 .

–1 3 5

Отсюда находим обратную матрицу:

0 5 5

А-1 = – –1 –7 –10 .

–1 3 5

-14-

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В, если:

А = 2 3 ; В = 3 4 .

1 2 -1 1

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на
матрицу А-1, получим:

А-1АХ = А-1В; Х = А-1В.

Найдем А-1: ?А = 1, А11 = 2, А12 = -1, А21 = -3, А22 = 1, следовательно,

А-1 = 2 -3 .

-1 1

Найдем матрицу Х:

Х = А-1В = 2 -3 3 4 = 9 5 .

-1 1 -1 1 -4 -3

-15-

1.4. Ранг матрицы.

Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу

а11 … а1n

A = ……………
(8)

am1 … amn

Выделим некоторое число k строк этой матрицы и такое же число столбцов.
Элементы матрицы (8), стоящие на пересечение выделенных строк и
столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой
матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Если не все числа аij
матрицы А равны нулю, то всегда можно указать число r такое, что у
матрицы А имеется минор,

имеющий порядок r + 1 и выше, равен нулю.

Число r, представляющее собой наибольший из порядков отличных от нуля
миноров матрицы А, называется рангом матрицы и обозначается rangA. Если
все элементы аij равны нулю, то ранг матрицы принимается равным нулю.
Отличный от нуля минор r-го порядка матрицы A (таких миноров у матрицы А
может быть несколько, но все они имеют один и тот же порядок r)
называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, из которых
построен базисный минор, называют базисными. Понятие ранга матрицы
широко применяется в различных приложениях теории матриц.

Выделим в матрице А произвольно k строк. Пусть это будут строки

a1, а2, …, аk:

а?11, а?12, …, а?1n;

а?21, а?22, …, а?2n;

……………………

а?k1, а?k2, …, а?kn.

-16-

Если существуют такие числа ?1, ?2, …, ?k, не все равные нулю, что для
элементов некоторой другой, отличной от выделенной, строки i выполняются
следующие соотношения:

(9)

то говорят, что i-я строка линейно выражается через строки

?1, ?2, …, ?k. В случае, если равенства (9) выполняются тогда и только
тогда, когда все числа ?1, ?2, …, ?k – нули, то говорят, что i-я строка
линейно зависима от строк ?1, ?2, …, ?k. Аналогичным образом можно
ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости между
столбцами матрицы.

Теорема 1.2.(о базисном миноре) Любая строка матрицы А является линейной
комбинацией её базисных строк.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что базисный минор матрицы (8)
расположен в её верхнем левом углу, т.е. в первых r строках и первых r
столбцах. Такое предположение не уменьшает общности рассуждения. Пусть k
– номер любой строки матрицы А (k может принимать значения от 1 до m), а
l – номер любого её столбца (l может принимать значения от 1 до n).

Рассмотрим следующий минор матрицы (8):

a11 a12 … a1r a1l

a21 a22 … a11 a1l

? = ………………………
(10)

ar1 ar2 … arr arl

………………………

ak1 ak2 … akr akl

Если k

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter