Шпора 2 по мат анализу

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то
говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, …, xn). Множество D
называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется
множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных
превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, …, хn=cn; y=f(x1,
c2, …, cn) – функция одной переменной х1.

– функция двух переменных,

– функция трех переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, …, xn, y, которые связаны между
собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, …,
xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что
задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие
набору x1, x2, …, xn называется значением функции f в точке (x1, x2,
…, xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,…, xn) или
y =y(x1,x2,…, xn).

Переменные x1, x2, …, xn являются аргументами этой функции, а
переменная y – функцией от n переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных
по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция ?(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в
точке х0=?(t0). Тогда функция f(?(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием
двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

что и говорит о том, что f(?(t)) непрерывна в точке t0. ?

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=?(t), то |?(t)-?(t0)|( может быть записано как |x-x0|(, и f(x) превращается в F(?(t)); . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата. 5.Частные производные функции m переменных. 6.Дифференцируемость функции m переменных. 7.Дифференциал функции m переменных. 8.Дифференцирование сложной функции. 9.Производная по направлению. Градиент. . , а его модуль равен производной по этому направлению. 10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой. R. (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые HYPERLINK "http://www.ssea.ru/mat/COURSE1/RAZDZ10/g87.htm" миноры матрицы А являются положительными, т.е. , , , 11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума. 12.Достаточные условия локального экстремума. 1. предположим, что в некоторой окрестности точки х0 существует f'(х) ( в самой точке х0 производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х0 слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а
после точки х0 убывает (т.е. f'(х)0
при х х0 , то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)0 при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью
второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки
х0 , в том числе и в самой точке х0 , существует первая производная
f'(х). Кроме того, в точке х0 существует вторая производная f”(х0).
Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что
f”(х0)=0. Посмотрим теперь на f”(х)как на первую производную от
функции

Допустим, что f”(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе
значений х х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание
f'(х0)0, при х > х0 . (для значений х из
достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается
минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f”(х0)0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

14.Условный экстремум функции m переменных.

15.Метод множителей Лагранжа.

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий
f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на
этом промежутке и обозначается (f(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( (f(x) dx )(=f(x);

2) (f( (x) dx= f(x)+C ;

3) d (f(x) dx= f(x)dx;

4) (d f(x)=f(x)+C ;

5) (kf(x)dx=k(f(x) dx;

6) ((f(x)+g(x))dx=( f(x) dx+(g(x) dx ;

(a ( 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

– обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо
равенство

), получаем формулу

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному
уравнению относительно вычисляемого интеграла.

20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование
рациональный алгебраических функций.

(см. дополн шпору)

22.Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A1 …n

с неопределенным коэф.B1 C1…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном
на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них
равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях,
получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на
отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек
х0 , х1 … хn , где

а = х0 1, то ряд l расходится,

Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
остается открытым.

Доказательство. Согласно определению предела переменной величины,
равенство

означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства

где e – наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Рассмотрим три случая:

а) пусть l 1 . Выбираем e так, чтобы

?? = l – 1 > 0

Тогда l – ?? = 1 и

т.е. ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
расходится ( HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “tr1”
см. теорему 1 )

в) пусть l = 1 . Тогда ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
может быть как сходящимся, так и расходящимся.

В самом деле, для гармонического ряда

который расходится, имеем,

С другой стороны, ряд

сходится, а для него также

потому что

Таким образом, доказано, что если

то ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
сходится; если l > 1 , то ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
расходится.

39.Интегральный признак Коши.

либо оба сходятся, либо оба расходятся.

ряд сходится.

сходится.

40.Знакопеременные ряды.

Числовой ряд, члены которого имеют различные знаки, называется
знакопеременным рядом.

Пусть дан знакопеременный ряд

. (1)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

. (2)

Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1)
сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1)
сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов
знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной
сходимости следует условная).

41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Пусть дан знакочередующийся ряд

(монотонно стремится к 0), тогда А сходится.

Доказательство.

возрастает.

Заметим, что:

42.Степенные ряды. Признак Абеля.

Признак Абеля.

Пусть дан ряд:

Доказательство.

Доказано.