.

Шпора 2 по мат анализу

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 500
Скачать документ

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

R.

множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то
говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, …, xn). Множество D
называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется
множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных
превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, …, хn=cn; y=f(x1,
c2, …, cn) – функция одной переменной х1.

– функция двух переменных,

– функция трех переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, …, xn, y, которые связаны между
собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, …,
xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что
задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие
набору x1, x2, …, xn называется значением функции f в точке (x1, x2,
…, xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,…, xn) или
y =y(x1,x2,…, xn).

Переменные x1, x2, …, xn являются аргументами этой функции, а
переменная y – функцией от n переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных
по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция ?(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в
точке х0=?(t0). Тогда функция f(?(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием
двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f(?(t)) непрерывна в точке t0. ?

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=?(t), то |?(t)-?(t0)|0), а
после точки х0 убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х0 имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)>0
при х< х0 и f'(х)<0 при х > х0 , то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)<0 при х< х0 и f'(х)>0 при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью
второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки
х0 , в том числе и в самой точке х0 , существует первая производная
f'(х). Кроме того, в точке х0 существует вторая производная f”(х0).
Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что
f”(х0)=0. Посмотрим теперь на f”(х)как на первую производную от
функции

Допустим, что f”(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе
значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание
f'(х0)<0, при х < х0 и f'(х0)>0, при х > х0 . (для значений х из
достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается
минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f”(х0)<0 приводит к существованию максимума в точке х0 . Вывод: если f'(х0)=0, а f''(х0)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х0 . Если f'(х0)=0, а f''(х0)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

.

.

.

14.Условный экстремум функции m переменных.

.

15.Метод множителей Лагранжа.

.

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий
f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на
этом промежутке и обозначается (f(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( (f(x) dx )(=f(x);

2) (f( (x) dx= f(x)+C ;

3) d (f(x) dx= f(x)dx;

4) (d f(x)=f(x)+C ;

5) (kf(x)dx=k(f(x) dx;

6) ((f(x)+g(x))dx=( f(x) dx+(g(x) dx ;

(a ( 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

– обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо
равенство

,

.

), получаем формулу

,

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

),

,

,

.

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному
уравнению относительно вычисляемого интеграла.

20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование
рациональный алгебраических функций.

(см. дополн шпору)

22.Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A1 …n

с неопределенным коэф.B1 C1…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном
на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них
равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях,
получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на
отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек
х0 , х1 … хn , где

а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn = b2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, …, nДиаметром разбиения называется - длина максимального из отрезков разбиения.  и составим сумму (13)которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей.Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана..).Тогда сумма), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а, хn = b.Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.24.Свойства определенного интеграла.Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.и справедливо равенствоДок-во:3. Свойство линейности определенного интеграла:***4. Аддитивность определенного интеграла:, тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:Свойство монотонности.Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна ( любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел ( интеграл будет неотрицательным.. Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.(они не совпадают а интегралы совпадают).Д-во:и справедливо неравенство:8 aeXcUgd jy\^fh?‚OOaaaegd jyjEjj25.Интеграл с переменным верхним пределом.Теорема о его непрерывности.Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функциянепрерывна на этом отрезке.Доказательство: Дадим числу х приращение ?х так, чтобы х+?х([a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:a x0 x х+?х bПолучим:По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m(f(x)(M. То выполняются неравенства:(на этом следствие из теоремы закончилось)получаем:Отсюда следует, что при ?х?0 будет ?F?0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.26.Формула Ньютона-Лейбница.Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):( в качестве числа х0 взято число а).В этом тождестве положим х=а и получим ,Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:27.Замена переменных в определенном интеграле.Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=?(t) равенство (1)Справедливо при условиях:1. ?(?) = а, ?(?) = b,2. ?'(t) непрерывна на отрезке [?,?],3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[?(t)] определена непрерывна на отрезке [?,?].Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ?f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ?f[?(t)]?'(t)dt = F[?(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-ЛейбницаПолучаем(по условию 1)правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.28.Формула интегрирования по частям определенного интеграла.Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:Получим:29.Приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой(2)Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh+С; у2=С; у3=Аh2+Вh+С, откуда следует, что2Аh2+2С=у1+у3; С=у2 (3)Учитывая соотношение (3), имеемРассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2? равных отрезков точками a=x0 1, то ряд l расходится,

  Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
остается открытым.

  Доказательство. Согласно определению предела переменной величины,
равенство

означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства

где e   – наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

  Рассмотрим три случая:

  а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e   настолько малым, чтобы выполнялось неравенствоl + ??  < 1и, начиная с некоторого n , неравенствогде q = l + ??, в силу чего ( HYPERLINK "http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml" \l "tr1" см. теорему 1 ) ряд HYPERLINK "http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml" \l "1" (1) будет сходящимся;  б) пусть l > 1 . Выбираем e   так, чтобы

?? = l – 1 > 0

  Тогда l – ?? = 1 и

т.е. ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
расходится ( HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “tr1”
см. теорему 1 )

  в) пусть l = 1 . Тогда ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
может быть как сходящимся, так и расходящимся.

  В самом деле, для гармонического ряда

который расходится, имеем,

  С другой стороны, ряд

сходится, а для него также

потому что

  Таким образом, доказано, что если

то ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
сходится; если l > 1 , то ряд HYPERLINK
“http://xai-tower.kharkov.com/~math/book_online/ryad3.shtml” \l “1” (1)
расходится.

39.Интегральный признак Коши.

либо оба сходятся, либо оба расходятся.

ряд сходится.

сходится.

40.Знакопеременные ряды.

Числовой ряд, члены которого имеют различные знаки, называется
знакопеременным рядом.

Пусть дан знакопеременный ряд

. (1)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

. (2)

Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1)
сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1)
сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов
знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной
сходимости следует условная).

41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Пусть дан знакочередующийся ряд

(монотонно стремится к 0), тогда А сходится.

Доказательство.

.

возрастает.

.

.

Заметим, что:

.

42.Степенные ряды. Признак Абеля.

Признак Абеля.

Пусть дан ряд:

Доказательство.

Доказано.

43.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

44.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019