.

Шпаргалка по геометрии и алгебре

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 525
Скачать документ

Т.Сумма смежных углов = 180(

Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение
сторон друг.)

Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не
пересекаются.

Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой
можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и
другую.

2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых. Е

А В В А А В

С Д Д

Д С С

(ВАС (ДСА внутр. одностор. (1рис)

(ВАС (ДСА внутр. накрест лежащ. (2)

(ЕАВ (АСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. ( =,
то прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы
равны,(прямые| |.

Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. (1=(2

Но (1=(3 (вертикальные)((3=(2.Но (2 и (3-накрестлежщие.(По Т 1 a | | b(

Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр.
одност. (=180(, то прямые | |(

Для ТТ 1-3 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й

прямой, то внутр.накрестлеащие (=, со-

ответств.(=, сумма внутр.одност(=180(.

Перпедикулярные пр-е пересек-ся (90(.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести ( ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки (( данной прямой) можно опустить перпендикуляр( на
данную прямцю и только 1.

3. две прямые ( 3-й параллельны.

4. Если прямая ( 1-й из | | прямых, то она ( и другой.

Многоугольник (n-угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать
около окружности. (R- опис., r- впис.)

R = a / 2sin(180(/n); r = a / 2 tg (180()

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого( пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) – делит кажд. Медиану
в отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. ( пересек. в 1 тчке –

центр впис. Круга.

4. Все 3 (, восстановленные из середин сторон (, пересе. в 1 тчке –
центр опис. круга.

5. Средняя линия | | и = ( основания

H(опущ. на стор. a) = 2(p(p-a)(p-b)(p-c)

a

M(опущ на стор a) = ( ( 2b2+2c2 -a2

B (-‘’-)= 2( bcp(p-a) / b+c

p – полупериметр

a(=b(+c(-2bx, х-проекция 1-й из сторон

Признаки равенства (: 2(=, если = сотв.

1. 2 стороны и ( между ними.

2. 2 ( и сторона между ними.

3. 2 ( и сторона, противолеж. 1-му из (

4. три стороны

5. 2 стороны и ( , лежащий против большей из них.

Прямоугольный ( C=90( a(+b(=c(

NB! TgA= a/b; tgB =b/a;

sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c

Равносторонний ( H= (3 * a/2

S (= ( h a =( a b sin C

Параллелограмм

d(+d`(=2a(+ 2b(

S =h a=a b sinA(между а и b)

= ( d d` sinB (между d d`)

Трапеция S= (a+b) h/2 =(uvsinZ= Mh

Ромб S=a h =a(sinA= ( d d`

Окружность L= (Rn( / 180(,n(-центр(

Т.Впис.(= ( L , L-дуга,на ктрую опир(

S(cектора)= ( R((= (R(n( / 360(

Векторы.. Скалярное произведение

(а(b=|(a| |(b| cos ((a ((b),

|(a| |(b| – длина векторов

Скалярное произведение |(a|(x`; y`( и |(b|(x“; y“(, заданных своими
коорди-натами, =

|(a| |(b| = x` ( y` + x“ ( y“

Преобразование фигур

1. Центр. Симметрия

2. Осевая симметрия (()

3. Симм. Отн-но плоскости (()

4. Гомотетия (точки Х О Х“ лежат на 1 прямой и расст. ОХ“=k OX, k(0 –
это гомотетия отн-но О с коэфф. К .

5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

6. Поворот

7. Вращение – вокруг оси – преобр. Пространства, когда:

– все точки оси переходят сами в себя

– любая точка А( оси р А(А` так, что

А и А` ( (, ((р, (АОА` = (= const, О- точка пересеч. ( и р.

Результвт 2-х движений= композиции.

8. Паралeн.перенос (x,y,z)((x+a,y=b,x=c)

9. Преобразование подобюием – расст. Между тчками измен-ся в k раз

К=1 – движение.

Св-ва подобия.

1. АВС((а); A`B`C` ((a`)

2. (p) ( (p`); [p)([p`); (((`; (A((A`

3. Не всякое подобие- гомотетия

NB! S` = k( S“; V ` = k 3 V “

Плоскости.

Т. Если прямая, ( к.-л. плоскости ( , | | к.-л. прямой, ( (, то она | |
(

Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их
пересеч.| | (а)и (b)

T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й ( | | двум
пересек. прямым другой (, то ( | | (.

Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.

Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только
1.

Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.

Т. Признак ( прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, (каждой из
2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть (.

Т. 2 ( к пл-сти | |.

Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых (, то и другая ( плоскости.

Т. Признак ( 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ( к др. п-сти, то
он ( этой л-сти.

Дано [a)( (,[a) ((,( ((= (p).Д-ть: ( ( (

Док-во. [a)( (=(М. Проведем (b) через М, (b)((p). (a)((b) – линейный (
двугранного угла между ( и (. Так как [a)( (((a)((b)( (a)((b)=90((( ( ((

Т. Если 2 пл-сти взаимно (, то прямая

1-й пл-сти ( линии пересеч. пл-стей, ( 2-й пл-сти.

Т. О 3-х (.. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ( наклонной,
необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ( проекции наклонной.

Многогранники

Призма. V = S осн ( a – прямая призма

a – боковое ребро , S пс- S (-го сечения

V = S пс ( а – наклонная призма

V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма – параллелепипед.

V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc

S=2(ab+ac+bc)

Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех (.

Фигуры вращения

Цилиндр V=(R(H; S= 2(R (R+H)

Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * (R(H

S= Sосн+ Sбок= (R (r + L); L-образующая

Сфера «оболочка» S= 4(R(

Шар М= 4/3 (R3

ARCSIN a

-(/2(arcsin a ((/2 sin(arcsin a)=a

arcsin (-a)= -arcsin a

a 0 1/2 (2/2 (3/2 1

arcsin a 0 (/6 (/4 (/3 (/2

SIN X= A

x=(-1)n arcsin a +(k

sin x=0 x=(k

sin x=1 x=(/2+2(k

sin x=-1 x=-(/2+2(k

ARCCOS a

0 (arccos a (( cos(arccos a)=a

arccos (-a)=( -arccos a

a 0 1/2 (2/2 (3/2 1

arccos a (/2 (/3 (/4 (/6 0

COS X= A

x=( arccos a +2(k

cos x=0 x=(/2+(k

cos x=1 x=2(k

cos x=-1 x=(+2(k

ARCTG a

-(/2(arctg a ((/2 tg(arctg a)=a

arctg (-a)= -arctg a

a 0 (3/3 1 (3

tg a 0 (/6 (/4 (/3

TG X= A

x=( arctg a +(k

sin(*cos(=1/2[sin((-()+sin((+()]

sin(*sin(=1/2[cos((-()-cos((+()]

cos(*cos(=1/2[cos((-()+cos((+b)]

sin(*cos(=1/2[sin((-()+sin((+()]

sin(*sin(=1/2[cos((-()-cos((+()]

cos(*cos(=1/2[cos((-()+cos((+b)]

sin(+sin(=2sin((+()/2 * cos((-()/2

sin(-sin(=2sin((-()/2 * cos((+()/2

cos(+cos(=2cos((+()/2 * cos((-()/2

cos(-cos(=-2sin((+()/2 * sin((-()/2

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2+2ab+b2

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a2-b2=(a-b)(a+b)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2)

0 30( 45( 60( 90( 180 120( 135( 150( 270(

sin 0 1/2 (2/2 (3/2 1 0 (3/2 (2/2 1/2 -1

cos 1 (3/2 (2/2 1/2 0 -1 -1/2 -(2/2 -(3/2 0

tg 0 1/(3 1 (3 ( 0 -(3 -1 -1/(3 (

ctg ( (3 1 1/(3 0 ( -1/(3 -1 -(3 0

sin2+cos2=1 sin=±(1-cos2 sin(-()=-sin( tg(-()=-tg(

tg(ctg=1 cos=±(1-sin2 cos(-()=cos( ctg(-g)=-ctg(

tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2

sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2(=2sin((cos(

cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2(=cos2 (-sin2 (

cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin(cos tg2(=2tg(/1-tg(

cos((+()=cos((cos(-sin((sin( sin3(=3sin(-4sin3(

cos((-()=cos((cos(+sin((sin( cos3(=4cos3(-3cos(

sin((+()=sin((cos(+cos((sin( tg((+()=tg(+tg(

sin((-()=sin((cos(-cos((sin( 1-tg((tg(

2cos2(/2=1+cos( 2sin2(/2=1-cos(

cos 1 (3/2 (2/2 1/2 0 -1 -1/2 -(2/2 -(3/2 0

tg 0 1/(3 1 (3 ( 0 -(3 -1 -1/(3 (

ctg ( (3 1 1/(3 0 ( -1/(3 -1 -(3 0

sin2+cos2=1 sin=±(1-cos2 sin(-()=-sin( tg(-()=-tg(

tg(ctg=1 cos=±(1-sin2 cos(-()=cos( ctg(-g)=-ctg(

tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2

sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2(=2sin((cos(

cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2(=cos2 (-sin2 (

cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin(cos tg2(=2tg(/1-tg(

cos((+()=cos((cos(-sin((sin( sin3(=3sin(-4sin3(

cos((-()=cos((cos(+sin((sin( cos3(=4cos3(-3cos(

sin((+()=sin((cos(+cos((sin( tg((+()=tg(+tg(

sin((-()=sin((cos(-cos((sin( 1-tg((tg(

sin(2(-()=-sin( sin(3(/2-()=-cos(

cos(2(-()=cos( cos(3(/2-()=-sin(

tg(2(-()=-tg( tg(3(/2-()=ctg(

sin((-()=sin( ctg(3(/2-()=tg(

cos((-()=-cos( sin(3(/2+()=-cos(

sin((+()=-sin( cos(3(/2+()=sin(

cos((+()=-cos( tg((/2+()=-ctg(

sin((/2-()=cos( ctg((/2+()=-tg(

ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]

3).Периодическая с периодом 2(

4).Нечётная; sin (-x)=-sin x

5).Возрастает на отрезках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k(Z

Убывает на отрезках [(/2+2(k;3(/2+2(k], k(Z

6).Наибольшее значение=1 при х=(/2+2(k, k(Z

Наименьшее значение=-1 при х=-(/2+2(k, k(Z

7).Ноли функции х=(k, k(Z

8).MAX значение=1 х=(/2+2(k, k(Z

MIN значение=-1 х=-(/2+(+2(k, k(Z

9).x>0 на отрезках [2(k;(+2(k], k(Z

x<0 на отрезках [(+2(k;2(+2(k], k(ZY = C O S x1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]3).Периодическая с периодом 2(4).Чётная; cos (-x)=cos x5).Возрастает на отрезках [-(+2(k;2(k], k(ZУбывает на отрезках [2(k;(+2(k], k(Z6).Наибольшее значение=1 при х=2(k, k(ZНаименьшее значение=-1 при х=(=2(k, k(Z7).Ноли функции х=(/2+(k, k(Z8).MAX значение=1 х=2(k, k(ZMIN значение=-1 х=(+2(k, k(Z9).x>0 на отрезках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k(Z

x<0 на отрезках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k(ZY = T G x1).ООФ D(y)(все, кроме х=(/2+(k k(Z2).ОДЗ E(y)=R3).Периодическая с периодом (4).Нечётная; tg (-x)=-tg x5).Возрастает на отрезках (-(/2+(k;(/2+(k), k(Z6). Ноли функции х=(k, k(Z7). x>0 на отрезках ((k;(/2+(k), k(Z

x<0 на отрезках (-(/2+(k;(k), k(ZPAGE \# "'Стр: '#'PAGE \# "'Стр: '#'2cos2(/2=1+cos(2sin2(/2=1-cos(

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019