Pamatj?dzieni par rind?m: skait?u rindas defin?cija, rindas
parci?lsumma, konver?ences defin?cija.
Par rindu sauc virknes (a1, a2, a3,…, an,… ) locek?u bezgal?gu
summu.
an- rindas visp?r?gais loceklis. Rindas parci?lsumma-
Sn=a1+ a2+ a3+…+ an. Ja parci?lsummai eksist? gal?ga robe?a, kad n=>?
tad saka, ka rinda konver??, pret?j? gad?jum? rinda diver??. Rindu sauc
par konver?entu, ja t?s parci?lsumma virknei ir gal?ga robe?a. ?o robe?u
sauc par konver?entas rindas summu. Ja parci?lsummu nav gal?gas robe?as,
tad rindu sauc par diver?entu. Diver?entai rindai nav summas.
2.Pozit?vu sk. rindu konver?ences nepiecie?am? paz?me. Sn=a1+ a1+…+
an-1+ an; Sn-1=a1+ a1+…+ an-1; an=Sn- Sn-1; Pie??mums: rinda konver??
;
ja rinda konver??, tad robe?a kad n=>? ir
0.
Pozit?vu sk. rindu konver?ences pietiekam?s paz?mes.
a) Sal?dzin??anas paz?me: 0?an?bn , a) ja rinda
konver?? => konver??. b) ja rinda diver?? =>
diver??. c) ja , k?±?;k?0, tad abas
rindas uzvedas vien?di. b) Dalamb?ra paz?me: ,
S1 rinda diver??, S=1 paz?me nedod atbildi. c)
Ko?? paz?me , S1 rinda diver??,
S=1 j??em cita paz?me. d) Integr?l? paz?me: ,S=?,0
rinda diver??, cit?di konver??.
Altern?jo??s rindas, Leibnica paz?me, absol?t? un nosac?t? konver??
nce.
Rindu sauc par altern?jo?u, ja jebkuriem rindas blakus locek?iem ir
pret?jas z?mes: u1-u2+u3-…+(-1)n-1un+…, kur burti u1,u2,u3,…apz?m?
pozit?vus sk., ir mai?z?mju rindas. Leibnica paz?me: Mai?z?mju rinda
konver??, ja t?s locek?i tiecas uz nulli, visu laiku dilstot p?c
absol?t?s v?rt?bas. T?das rindas atlikumam ir t?sda pati z?me k?
pirmajam atmetajam loceklim un tas ir maz?ks par to p?c absol?t?s
v?rt?bas. Rinda konver??, ja izpild?s divi nosac?jumi: 1) an>an+1, 2)
. Absol?t? un nosac?t? konver?ence: Rinda u1+u2+…+un+…
(1) katr? zi?a konver??, ja konver?? pozit?va rinda
|u1|+|u2|+…+|un|+… (2), kas sast?d?ta no dot?s rindas locek?u
absol?taj?m v?rt?b?m. Dot?s rindas atlikums p?c absol?t?s v?rt?bas
nep?rsniedz atbilsto?o rindas (2) atlikumu. Dot?s rindas summa S p?c
absol?t?s v?rt?bas nep?rsniedz rindas (2) summu S’, t.i., |S|?S’.
Vien?d?ba ir tikai tad, ja visiem rindas (1) locek?iem ir viena un t?
pati z?me. Defin?cijas: Rindu sauc par absol?ti konver?entu, ja konver??
rinda, kas sast?d?ta no t?s locek?u absol?taj?m v?rt?b?m. Rindu sauc par
nosac?ti konver?entu, ja t? konver??, bet rinda, kas sast?d?ta no t?s
locek?u absol?taj?m v?rt?b?m, diver??.
Pak?pju rinda, t?s konver?ences interv?ls, ?bela teor?ma.Par pak?pju
rindu sauc ??da veida rindu: a0+a1x+ a2x2+ …+anxn+… (1) un ar?
visp?r?g?k? veid?: a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ …+an(x-x0)n+… (2), kur
x0 ir patst?v?gs lielums. Par rindu (1) saka, ka t? ir att?st?ta p?c x
pak?p?m, par rindu (2), ka t? att?st?ta p?c x-x0 pak?p?m. Konstantes a0,
a1,…, an,… sauc par pak?pju rindas koeficentiem. Pak?pju rinda
vienm?r konver?? v?rt?bai x=0. Attiec?b? uz konver?enci citos punktos
var rasties tr?s gad?jumi: a) var gad?ties, ka pak?pju rinda diver??
visos punktos, iz?emot x=0. T?da, piem, ir rinda
x+22×2+33×3+…+nnxn+…, kurai visp?r?gais loceklis nnxn=(nx)n p?c
absol?t?s v?rt?bas neierobe?oti aug, s?kot ar momentu, kad nx k??st
liel?ks par vienu. T?d?m pak?pju rind?m praktiskas noz?mes nav. b)
Pak?pju rinda var konver??t visos punktos. T?da, piem, ir rinda:
1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+…+(xn-1/(n-1)!)+…, kuras summa jebkurai x
v?rt?bai ir vien?da ar ex. c) Tipiskaj? gad?jum? pak?pju rinda vien?
punktu kop? konver??, cit?-diver??. Pak?pju rindas: a0+ a1x+
a2x2+…+anxn+… konver?ences apgabals ir k?ds interv?ls (-R;R), kas ir
simetrisks attiec?b? pret punktu x=0. Da?reiz tan? j?ieskaita abi gali
x=R, x=-R, da?reiz tikai viens, bet da?reiz abi gali j?izsl?dz.
Interv?lu (-R;R) sauc par pak?pju rindas konver?ences interv?lu,
pozit?vo sk. R par konver?ences r?diusu. ?bela teor?ma: Ja pak?pju rinda
a0+ a1x+ a2x2+…+anxn+… konver?? (absol?ti vai nosac?ti) k?d? punkt?
x0, tad t? konver?? absol?ti un vienm?r?gi jebkur? sl?gt? interv?l?
(a,b), kas atrodas interv?la (-|x0|,+|x0|) iek?ien?.
Funkciju izvirz??ana pak?pju rind?. Teilora un Maklorena rinda.
Ja funkciju f(x) var izvirz?t pak?pju rind? a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+
…+an(x-x0)n+…, tad izvirz?jums ir viens vien?gs un rinda sakr?t ar
Teilora rindu, kas att?st?ta p?c x-x0. pak?p?m. Teilora rinda: Par
Teilora rindu (kas att?st?ta p?c x-x0 pak?p?m) funkcijai f(x) sauc
pak?pju rindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+
(f’’(x0)/2!)(x-x0)2+…+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+…, ja x0=0, tad Teilora
rindai (att?st?tai p?c x pak?p?m) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+
(f’’(0)/2!)x2+…+(fn(0)/n!)xn+…. Maklorena rinda: Pamatojoties uz
Teilora rindu:
Pak?pju rindu lietojumi.
F-ju v?rt?bas tuvin?to apr??in??ana: 1+(1/2)+
(1/8)+ (1/8*6)+ (1/16*2)+ (1/32*120) ,E=10-3. Robe?u
apr??in??ana: x=>0; ex~1+x; sinx~x;
cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x; ln(1+x)~x; arctgx~x. Integr??u tuvin?ta
apr??in??anai: ; E=10-3;
; Diferenci?lvien?dojums tuvin?ta atvasin??ana:
.
Furj? rinda. Funkciju izvirz??ana Furj? rind?.
Furj? rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+ a2cos2x+ b2sin2x+…,
; .
ds=dxdy
f(x,y)=f(rcos(,rsin()=F(r,() (S((r*r(( dS=r*dr*d(
4. Plaknes fig?ras masas centra apr??in??ana c(xc,yc) Ioy- statiskais
moments attiec?b? pret y asi
apr??ina ??idruma pl?smu caur virsmu
17.Skal?rais lauks. Atvasin?jums dotaj? virzien?.
Ja katra apgabala d punktam, katr? laika moment? t, p?c noteikta likuma
piek?rtu funkciju u, tad saka, ka ir dots skal?rs lauks u=u(x,y,z,t) (1)
(2)
25.St?gas sv?rst?bu vien?dojums. (2u/(t2=a2*(2u/(x2 –st?gas sv. vien.
Atrisin?jums
26.Siltumvad??anas vien?dojums. (2u/(t=a2*(2u/(x2 –silt.vad. vien.
27. Parci?lie diferenci?lvien?dojumi, Ko?? probl?ma, Dirihl? probl?ma,
jaukta veida probl?ma
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
