Коэффициент корреляции.
Величина cov((;() зависит от единиц измерения, в которых выражаются ( и
(. (Например, пусть ( и (—линейные размеры некоторой детали. Если за
единицу измерения принять 1 см, то cov((;() примет одно значение, а если
за единицу измерения принять 1 мм, то cov((;() примет другое, большее
значение (при условии cov((;()(0)). Поэтому cov((;() неудобно принимать
за показатель связи.
Чтобы иметь дело с безразмерным показателем, рассмотрим случайные
величины
Такие случайные величины называются нормированными отклонениями
случайных величин ( и (.
Каждая из случайных величин (* и (* имеет центром (математическое
ожидание) нуль и дисперсию, равную единице. Приведём доказательство для
случайной величины (*.
Ковариация (* и (* называется коэффициентом корреляции случайных величин
( и ( (обозначается ((().
Для независимых ( и ( (((=0, так как в этом случае cov((;()=0
Обратного заключения сделать нельзя. Случайные величины могут быть
связаны даже функциональной зависимостью (каждому значению одной
случайной величины соответствует единственное значение другой случайной
величины), но коэффициент их корреляции будет равен нулю.
Примеры:
.
2. Пусть закон совместного распределения случайных величин ( и ( задан
таблицей
(
( 1 2
1 1/5 0 1/5
2 0 3/5 3/5
3 1/5 0 1/5
2/5 3/5
Проведём вычисления:
;
.
Отсюда следует, что (((=0. При этом очевидно, что имеет место
функциональная зависимость случайной величины ( от случайной величины (.
Коэффициент корреляции ((( не меняет своей величины, если вместо
случайной величины ( рассматривать случайную величину (1=(+a или (2=k(
(a и
k—постоянные числа, k > 0), так как при перемене начала координат или
при изменении масштаба величины ( нормированное отклонение не меняется.
Сказанное в равной мере относится и к (.
Вставка! Полезно запомнить формулу
D(((()=D(+D(+2cov((;()
Отсюда следует свойство дисперсии для независимых ( и (:
D(((()=D(+D(
Свойства коэффициента корреляции.
–1(((((1
Если (((=1, то (=k(+b, где k и b—константы, k>0.
Если (((= –1, то (= k(+b, где k0
(((= – 1 при k
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
