§12. Определенный интеграл
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию
непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b]
произвольные числа x1, x2, x3, (, xn-1, удовлетворяющие условию:
ab, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны
равенства
.
§13. Определенный интеграл как функция верхнего предела
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке,
содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно
поставить в соответствие число
,
определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется
определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в
точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в
точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при
приращении аргумента (x:
(I(x) = I(x + (x) – I(x) =
.
Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для
приращения (I(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной
штриховкой. При малых величинах (x (здесь, так же как и везде в этом
курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем
в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут
быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается
приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке
двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)(x.
Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем
меньше величина (x.
Из сказанного следует формула для производной функции I(x):
.
является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной,
которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает
возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по
теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C
— некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления
определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая
первообразная функции f(x).
.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы
Ньютона-Лейбница.
.
.
. В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x – 1) и
применим формулу Ньютона-Лейбница:
= 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены
переменной в определенном интеграле:
.
Здесь ( и ( определяются, соответственно, из уравнений
((() = a; ((() = b, а функции f, (, (( должны быть непрерывны на
соответствующих промежутках.
.
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если
x = e, то t = 1. В результате получим:
.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к
исходной переменной интегрирования.
§14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше
определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что
невозможно осуществить условия n((; ((0 для бесконечного промежутка. Для
такого интеграла требуется специальное определение.
, если предел существует. Если этот предел не существует, то не
существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что
несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят,
что несобственный интеграл сходится.
Аналогично
.
, откуда следует
.
; этот предел не существует, следовательно, не существует или
расходится интеграл I.
; здесь предел также не существует, и интеграл расходится.
Упражнения
1. Найти производные от следующих функций:
.
PAGE
PAGE 72
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
